102
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Berdasarkan langkah-langkah pemecahan masalah di atas, dapat disimpulkan
Sifat 2.6
Misalkan matriks A berordo n × n dengan n
∈
N. Jika det
A ≠ 0, A
−
=
1
1 det
A adj Adan AA
-1
= A
-1
A = I, I adalah matriks identitas perkalian matriks
e. Sifat-Sifat Invers Matriks
Misalkan matriks
A =
− −
2 1
3 2
det A = 2-2 – 1-3 = -1
A adj
−
= =
− −
−
1
1 1
1 2
1 3
2 det
A A
= −
−
2
1 3
2
A adj
− −
− −
= =
− −
−
= −
1 1
1 1
1 1
1 2
1 3
2 2
1 3
2 det
A A
= A
Perhatikan uraian di atas diperoleh bahwa A
- 1
- 1
= A.
Coba buktikan sifat berikut setelah kamu mempelajari invers matriks
Sifat 2.7
Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m
∈
N. Jika det
A A
= �
dan det
A A
− −
=
1 1
maka A A
-1
=1
Arahkan siswa mene- mukan sifat-sifat invers
matriks melalui berbagai contoh-contoh dan me-
minta siswa untuk mem- buktikan sifat tersebut se-
cara umum.
Di unduh dari : Bukupaket.com
103
Matematika
Sifat 2.8
Misalkan matriks A dan B berordo m × m dengan m
∈
N. detA ≠ 0, Jika A
-1
adalah invers matriks A, maka
A
-1 -1
= A.
Perhatikan pertanyaan, apakah AB
- 1
= B
- 1
× A
- 1
Misalkan matriks
A= 2
1 3
2 −
−
dan
B= −
−
2
1 3
det A = 2-
2 – 1-3 = -1
A adj
−
= =
− −
−
=
− −
1
1 1
1 2
1 3
2 2
1 3
2 det
A A
det B
= 0-2 – 3-1 = 3
B B
B
−
= =
− −
= −
−
1
1 1
3 1
3 2
1 3
1 2
3 det
adj
A
B A
B × =
− −
×
− −
× = −
2 1
3 2
2 1
3 1
6 3
Dengan demikian dipereloh det AB = -
3 – 0 = -3. Selanjutnya,
det AB
AB Adj AB
−
= =
− −
−
=
−
1
1 1
3 3
6 1
1 2
1 3
AB
−
= −
1
1 2
1 3
Di unduh dari : Bukupaket.com
104
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
B A
-1 -1
= −
−
− −
=
− 1
1 3
2 3
2 1
3 2
1 2
1 3
Dari perhitungan di atas diperoleh AB
- 1
= B
- 1
A
- 1
.
Sifat 2.9
Misalkan matriks A dan B berordo n × n dengan n
∈
N. det
A ≠ 0 dan detB ≠ 0, Jika A
-1
dan B
-1
adalah invers matriks
A, dan B maka AB
-1
= B
-1
A
-1
.
Coba kamu diskusikan dengan temanmu satu kelompok, apakah
AB
- 1
= A
- 1
B
- 1
. Jika tidak, beri alasannya.
Uji Kompetensi 2.2
1. Misalkan A sebarang matriks persegi. Jika pertukaran elemen-elemen sebarang dua baris atau dua kolom dari
matriks A, maka buktikan bahwa nilai determinannya
berubah tanda. 2. Misalkan
A sebarang matriks persegi. Buktikan bahwa jika semua unsur dalam suatu baris atau kolom
matriks A dikalikan dengan sebuah bilangan k∈R,
maka determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.
3. Jika B matriks persegi dengan det B × 0, tunjukkan
