26
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Tabel 1.7: Tabel nilai Z = 500x + 600y
x, y
Nilai Z = 500x + 600 y
0, 12 Z – 500.0 + 600.12
= 7200 2, 8
Z – 500.2 + 600.8 = 7200
4, 7 Z – 500.4 + 600.7
= 7200 5, 10
Z – 500.5 + 600.10 = 7200
Gambar 1.8: Nilai fungsi Z = 500x + 600 y atau garis selidik
Berdasarkan gambar dan nilai fungsi Z = 500x + 600y pada tabel di atas, jelas bahwa makin ke kanan atas garis
K = 500x + 600y nilai k makin besar, sebaliknya jika garis K = 500x + 600y digeser ke kiri bawah maka nilai k
makin kecil.
Jadi, untuk menentukan nilai variabel x dan y yang meminimumkan fungsi Z = 500x + 600y, dapat diperoleh
dengan menggeser ke kiri atau ke kanan, ke atas atau ke bawah graik persamaan garis K = 500x + 600y dengan k
bilangan bulat. Guru mengajak siswa
mengasosiasi hubungan titik koordinat dengan
daerah bersih yang ter-
dapat pada graik
Guru mengajak siswa untuk mencermati kem-
bali Masalah 1.4 hingga ditemukan penyelesaian-
nya dengan menggunakan prinsip garis selidik.
Perkaya pengetahuan siswa melalui kemam-
puan menginterpretasikan setiap penyelesaian suatu
masalah program linear.
Di unduh dari : Bukupaket.com
27
Matematika
Oleh karena itu, nilai dan membuat fungsi Z = 500x + 600y bernilai minimum, yaitu 4800.
Benar, bahwa untuk menentukan nilai minimum fungsi sasaran Z = 500x + 600y dapat juga melalui Uji Titik-Titik
Sudut daerah penyelesaian. Hal ini dapat dicermati pada tabel berikut.
Tabel 1.8: Nilai Z = 500x + 600y
Z = 500x + 600y
A
0,12 Z = 500.0 + 600.12 = 7.200
B
2,8 Z = 500.2 + 600.8 = 5.800
C
6,3 Z = 500.6 + 600.3 = 4.800
Dari ke tiga titik sudut yang terdapat di daerah penyelesaian sistem, benar bahwa nilai minimum fungsi sasaran
Z = 500x + 600y adalah Rp 4.800, yaitu pada titik C 6,3. Namun, jika seandainya fungsi sasaran diubah menjadi,
Memaksimumkan: Z = 500x + 600y maka menentukan nilai maksimum fungsi tersebut dengan menggunakan Uji
Titik Sudut menghasilkan kesimpulan yang salah, yaitu nilai Z maksimum adalah 7.200; di titik C6, 3. Hal ini
kontradiksi dengan bahwa masih banyak lagi titik-titik lain yang mengakibatkan nilai Z makin lebih dari 7.200.
Jadi, supaya uang pembelian total menjadi minimum sebaiknya dibeli 6 kapsul Fluin dan 3 kapsul Fluon dan
uang pembeliannya adalah Rp 4800.
Untuk memperkaya pengetahuan dan ketrampilan kamu, mari kita selesaikan masalah kelompok tani transmigran
yang disajikan pada awal bab ini.
Contoh 1.2
Telah diketahui model matematika masalah tersebut, yaitu Dengan nilai fungsi pada
tabel di atas, Guru mem- bimbing siswa untuk
mengetahui perubahan nilai garis, hingga siswa
mampu menyimpulkan cara menentukan nilai
optimum fungsi tujuan
dengan teliti. Dengan nilai fungsi pada tabel di
atas, Guru membimbing siswa untuk mengetahui
perubahan nilai garis , hingga siswa mampu
menyimpulkan cara me- nentukan nilai optimum
fungsi tujuan dengan teli- ti.
Ajak siswa mampu me- nemukan hubungan eksis-
tensi nilai fungsi sasaran dengan daerah penyele-
saian. Ingatkan siswa, bahwa
belum tentu setiap sistem pertidaksamaan linear
yang memiliki daerah penyelesaian juga memili-
ki nilai fungsi tujuan.
Dengan pengalaman siswa menggambarkan
graik suatu sistem perti- daksamaan linear, bim-
bing siswa untuk mencoba menggambarkan graik
setiap pertidaksamaan pada Contoh 1.2.
Di unduh dari : Bukupaket.com
28
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
1
0 02 0 05
10 10
8 1550
5 3
460 2
5 1000
10 ,
, x
y x
y x
y x
y x
+ ≤
+ ≤
+ ≤
+
≤ →
+ atau
8 8
1550 5
3 460
y x
y kendala lahan
kendala waktu kenda
≤ →
+ ≤
→
lla pupuk
x y
≥ ≥
Fungi Tujuan
Maksimumkan: Zx, y = 40x + 30y dalam satuan ribuan rupiah. 2
Kita akan menentukan banyak hektar tanah yang seharusnya ditanami pada dan jagung agar pendapatan kelompok tani
tersebut maksimum.
Alternatif Penyelesaian
Langkah pertama, kita menentukan daerah penyelesaian yang memenuhi sistem 1.
Mari cermati gambar di bawah ini.
600 y
600
x
400
400 200
200 -200
-200
-400 -400
-600
-600
Gambar 1.5: Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 1.
Selanjutnya kita akan memilih dua titik yang terdapat di daerah penyelesaian untuk membantu menentukan
arah pergeseran garis selidik K = 40x + 30y dalam ribuan rupiah.
Ajukan pertanyaan-per- tanyaan kepada siswa
untuk memastikan ket- rampilan mereka meng-
gambarkan daerah penyelesaian sistem 1.
Misalnya apakah ada yang kurang dengan
graik daerah penyele- saian sistem 1?
Apakah syarat positif un- tuk setiap variabel sudah
dipenuhi? Daerah penyelesaian
sistem tersebut berbentuk segitiga siku-siku yang
berada pada kuadran I. Guru mengajak siswa un-
tuk mencoba menyelidi- ki arah persegeran nilai
graik garis selidik K = 40x + 30y pada dae-
rah penyelesian hingga siswa berhasi menemukan
titik yang mengakibatkan garis tersebut bernilai
maksimum.
Di unduh dari : Bukupaket.com
29
Matematika
Misal, dipilih titik 20,20, sehingga diperoleh persamaan garis 40x + 30y = 1400. Sedangkan untuk titik
50, 100, diperoleh persamaan garis 40x + 30y = 5000. Garis selidik K = 40x + 30y bernilai maksimum pada saat
garis melalui titik 0 153 1
3 ,
. Artinya,bahwa dengan
harga padi dan jagung pada saat itu, kelompok tani memilih menaman jagung. Karena dengan menanam palawija
tersebut, mereka dapat mengahasilkan jagung sebanyak kuintal dan memiliki pendapatan sebesar Rp 4.600.000.
Dari pembahasan Masalah 1.4 dan Masalah 1.1, mari kita tuliskan dan cermati bersama kesimpulan berikut ini, yang
kita nyatakan dalam deinisi.
Deinisi 1.3
Fungsi sasarantujuan merupakan suatu rumusan fungsi yang memenuhi semua keterbatasan pada suatu
masalah program linear. Fungsi sasarantujuan merupakan fungsi linear yang
terkait dengan setiap nilai variabel dalam semua kendala program linear.
Mari kita cermati kembali fungsi sasaran untuk setiap Masalah 1.1 sampai Masalah 1.4.
i Maksimumkan: Zx, y = 40x + 30y dalam satuan ribuan rupiah.
ii Minimumkan: Zx
1
, x
2
, x
3
, x
4
, x
5
, x
6
12,5x
1
+ 20x
2
+ 15x
3
+ 10x
4
+ 5x
3
. iii Minimumkan:
Zx
11
, x
12
, x
13
, x
21
, x
22
, x
23
17x
11
+ 22x
12
+ 15x
13
+ 18x
21
+ 16x
22
+ 12x
23
. dalam puluh ribu rupiah.
iv Minimumkan: Zx, y = 500x + 600y Berdasarkan pembaha-
san Masalah 1.1 sam- pai Masalah 1.4, bersa-
ma siswa merumuskan
Deinisi 1.3.
Di unduh dari : Bukupaket.com
30
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Fungsi sasaran bagian i dan iv hanya memuat dua variabel, yaitu variabel x dan y, sedangkan pada bagian ii
dan iii memuat enam variabel. Bahkan, terdapat masalah yang memuat n banyak variabel.
Oleh karena itu, secara umum dapat ditulis bentuk umum fungsi sasaran dari suatu masalah program linear,
yaitu: Maksimumkan Minimumkan
Zx
1
, x
2
, ...,x
n
= C
1
x
1
+ C
2
x
2
+ ... + C
n
x
n
Nilai maksimum atau minimum fungsi Z adalah nilai terbesar atau terkecil dari fungsi objektif yang merupakan
solusi optimum masalah program linear. Namun dalam kesempatan ini, kita mengkaji hanya
untuk n = 2, sehingga fungsi sasaran menjadi Zx
1
, x
2
= C
1
x
1
+ C
2
x
2
.
Deinisi 1.4
Garis selidik adalah graik persamaan fungsi sasaran tujuan yang digunakan untuk menentukan solusi
optimum maksimum atau minimum suatu masalah program linear.
Untuk menentukan persamaan garis selidik K = C
1
x
1
+ C
2
x
2
dengan k bilangan real, kita memilih minimal dua titik x, y yang terdapat di daerah penyelesaian. Dengan dua
titik tersebut, nilai optimum fungsi sasaran dapat ditemukan melalui pergeseran garis selidik di daerah penyelesaian.
Namun pada kasus tertentu, garis selidik tidak dapat digunakan untuk menentukan nilai optimum suatu fungsi
sasaran. Mari kita cermati masalah berikut ini. Beri penjelasan kepa-
da siswa batasan kajian fungsi sasaran meskipun
Z x x x
C x C x
C x
n n
n 1
2 1 1
2 2
, ,...,
... .
= +
+ +
Banyak variabel yang ter- dapat pada fungsi tujuan
sama dengan banyak vari- abel yang terdapat pada
sistem pertidaksamaan program linear.
Berikan penjelasan ke- pada siswa, kajian untuk
n 2, dapat diselesaikan dengan menggunakan
metode simpleks. Diharapkan guru mem-
berikan deskripsi tentang metode simpleks
Bersama dengan siswa, guru menyimpulkan dei-
nisi garis selidik. Pastikan siswa mengenali
garis selidik dalam suatu masalah program linear.
Di unduh dari : Bukupaket.com
31
Matematika
Masalah-1.5
Apakah kamu pernah melihat tanaman hias seperti di bawah ini? Tahukah kamu berapa harga satu
tanaman hias tersebut?
Gambar 1.6: Tanaman Hias Aglaonema dan Sansevieria Sumber:
www.aksesdunia.com
Setiap enam bulan, seorang pemilik usaha tanaman hias memesan tanaman hias dari agen besar; Aglaonema
A dan Sansevieria S yang berturut-turut memberi laba sebesar Rp5.000.000,00 dan Rp3.500.000,00 per unit
yang terjual. Dibutuhkan waktu yang cukup lama untuk menghasilkan satu tanaman hias dengan kualitas super.
Oleh karena itu agen besar memiliki aturan bahwa setiap Ajak siswa untuk me-
ngenal jenis-jenis bunga yang disaji-
kan pada Masalah 1.5. Mintalah siswa untuk
merumuskan masalah yang dihadapi pengusaha
bunga tersebut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
32
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20 dari seluruh pesanan tanaman hias lain. Pemilik usaha tanaman hias
memiliki lahan yang hanya cukup untuk 10 tanaman hias A saja atau 15 tanaman hias S. Dalam keadaan demikian,
berapa banyak tanaman hias A dan S sebaiknya dipesan per semester jika diketahui bahwa pada akhir semester
tanaman hias lama pasti habis terjual dan pemilik usaha tersebut ingin memaksimumkan laba total?
Alternatif Penyelesaian
Untuk memudahkan kita dalam membahas masalah ini, misalkan x : banyak tanaman hias A yang dipesan
y : banyak tanaman hias S yang dipesan. Pernyataan ”Oleh karena itu agen besar memiliki aturan
bahwa setiap pemesanan tanaman hias A paling sedikit 20 dari seluruh pesanan tanaman hias lain”, dapat dituliskan
sebagai berikut.
x x
y ≥
+ 1
5 atau 4x – y
≥ 0. Untuk memperoleh laba, pemilik harus
mempertimbangan keterbatasan lahan sebagai daya tampung untuk tiap-tiap tanaman hias.
Misal, L : luas kebun tanaman hias,
L
x
: luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias A,
L
y
: luas kebun yang diperlukan untuk 1 tanaman hias S.
Sesuai keterangan pada masalah di atas, luas kebun hanya dapat menampung 10 tanaman hias A atau 15 tanaman
hias S. Pernyataan ini, dimodelkan sebagai berikut: L
L L
L
x y
= =
1 10
1 15
dan
Di unduh dari : Bukupaket.com
33
Matematika
Tentu luas kebun yang diperlukan untuk x banyak tananam hias A dan y banyak tanaman hias S tidak melebihi
luas kebun yang ada. Oleh karena itu, dapat dituliskan; x
L y
L L
x y
. .
1 10
1 15
3 2
30
+
≤ +
≤ atau
Selanjutnya, pemilik kebun mengharapkan laba sebesar Rp5.000.000,00 dari 1 tanaman hias A yang terjual
dan Rp3.500.000,00 dari 1 tanaman hias S yang terjual. Oleh karena itu, untuk sebanyak x tanaman hias A yang
terjual dan sebanyak y tanaman hias S yang terjual, dapat dituliskan sebagai laba total pemilik kebun; yaitu:
Z = 5x + 3.5y dalam juta rupiah. Jadi secara lengkap, model matematika masalah
program linear pemilik kebun tanaman hias dinyatakan sebagai berikut.
Menentukan x dan y yang memenuhi kendala: 4
3 2
30 x
y x
y x
y − ≥
+ ≤
≥ ≥
Dengan fungsi tujuan:
Maksimumkan: Z = 5x + 3.5y dalam juta rupiah. Selanjutnya, kita akan menentukan daerah penyelesaian
sistem pertidaksamaan linear 1. Tentunya, diharapkan keterampilan kamu dalam menggambarkan daerah
penyelesaian sistem tersebut sudah makin meningkat. Sekaligus juga, kamu harus makin terampil dalam memilih
titik dalam daerah penyelesaian untuk menentukan nilai maksimum fungsi sasaran.
Di unduh dari : Bukupaket.com
34
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Mari kita cermati gambar berikut ini.
20
20 y
x 10
-10 -10
-20 -20
10
P 30
11 120
11 ,
Q10,0
Gambar 1.7: Daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan 1.1
Namun, pada kenyataannya, ditemukannya titik P
30 11
120 11
,
sebagai titik optimum masalah di atas mengakibatkan hal yang tidak mungkin terjadi untuk
menemukan 2 8
11 tanaman hias A dan 10
10 11
tanaman hias S. Cara yang mungkin diterapkan adalah dengan metode
pembulatan. Mari kita cermati hasil pembulatan ke atas atau ke
bawah titik P 2 8
11 10
10 11
,
i P
1
2,10 : ternyata di luar daerah penyelesaian OPQ. ii P
2
2,11 : ternyata di luar daerah penyelesaian OPQ. iii P
3
3,10 : merupakan titik di daerah penyelesaian, tetapi nilai Z pada titik 3, 10 hanya sebesar
Rp50.000.000,00, memiliki selisih sebesar Rp1.800.000,00 dengan nilai optimum di
titik P.
iv P
4
3,11 : ternyata di luar daerah penyelesaian OPQ. Bersama dengan siswa,
Guru menginterpre- sentasikan makna titik
P 2 8
11 10
10 11
,
d a l a m konteks masalah yang di-
kaji. Ingatkan siswa bahwa
hasil yang diperoleh dari perhitungan matemati-
ka harus memiliki mak- na dalam kehidupan se-
hari-hari.
Di unduh dari : Bukupaket.com
35
Matematika
Gambar 1.8: Titik x,y yang terdapat di daerah penyelesaian OPQ
Dalam kertas berpetak, di dalam daerah penyelesaian cermati titik-titik yang dekat dengan titik P 2
8 11
10 10
11 ,
. Tetapi titik yang kita inginkan, yaitu x, y harus untuk x dan y merupakan bilangan bulat.
Titik 4,9 merupakan titik yang terdekat dengan titik P 2
8 11
10 10
11 ,
dan x dan y merupakan bilangan bulat
dan mengakibatkan nilai optimum fungsi tujuan bernilai Rp51.500.000,00.
Dari beberapa masalah yang telah dibahas di atas, masalah program linear memiliki nilai optimum
maksimum atau minimum terkait dengan eksistensi daerah penyelesaian. Oleh karena itu terdapat tiga kondisi
yang akan kita selidiki, yaitu: Motivasi siswa untuk
mengajukan ide-ide atau masalah program linear
yang pernah dihadapi mereka dalam kehidupan
sehari-hari mereka. Jika ada, ajak siswa untuk
menyelesaikannya.
Di unduh dari : Bukupaket.com
36
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
1. tidak memiliki daerah penyelesaian 2. memiliki daerah penyelesaian fungsi sasaran hanya
memiliki nilai maksimum atau hanya memiliki nilai minimum
3. memiliki daerah penyelesaian fungsi sasaran memiliki nilai maksimum dan minimum.
1. Tidak memiliki daerah penyelesaian
