227
Matematika
Alternatif Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan sinus maka diperoleh: BC
A AB
y y
y
y y
o o
o o
o
sin sin
sin sin
sin
sin sin
= ⇔
= ⇔
=
⇔ =
⇔ 8 2
45 8
8 2 1
2 2
8
16 8
o o
o o
y =
= 1
2 30
atau Dengan mengingat konsep sudut pada segitiga yaitu
∠A +
∠B + ∠C = 180
o
sehingga 45
o
+ 30
o
+ x
o
= 180
o
atau x
o
= 105
o
. Dengan menggunakan aturan sinus kembali maka diperoleh:
AC x
AB y
b b
b
o o
o o
o
o
sin sin
sin sin
sin
sin =
⇔ =
⇔ =
⇔ =
⇔ 105
8 30
105 8
1 2
105 16
b b
o
= sin
16 105
. Dengan memanfaatkan tabel sinus atau kalkulator maka
diperoleh: b = 16.sin 105
o
= 16 × 0,9659 = 15,4548. Jadi, panjang sisi AC adalah 15,4548 satuan panjang.
2. Aturan Cosinus
Perhatikan Gambar 6.6 di bawah Pada segitiga i, diketahui panjang ketiga sisinya, sedangkan pada segitiga
ii, diketahui sebuah sudut dan dua buah sisi yang mengapitnya. Bagaimana cara Anda mengetahui ukuran
sudut dan sisi lainnya dari kedua segitiga tersebut? Pandu siswa memahami
proses penyelesaian pada contoh soal di samping.
Berikan ilustrasi berikut, ilustrasi ini bertujuan
untuk memberikan moti- vasi kepada siswa bahwa
ternyata sangat penting mempelajari prinsip ten-
tang aturan cosinus
Di unduh dari : Bukupaket.com
228
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
s s
s s
s
sd ii
i
Gambar 6.6. Segitiga jika diketahui s, s, s dan s, sd, s
Untuk menemukan konsep aturan kosinus dalam segitiga, pelajarilah Masalah 6.2 berikut.
Masalah-6.2
Dua kapal tanker berangkat dari titik yang sama dengan arah berbeda sehingga membentuk sudut
60◦. Jika kapal pertama bergerak dengan kecepatan 30 kmjam, dan kapal kedua bergerak dengan
kecepatan 25 kmjam. Tentukanlah jarak kedua kapal setelah berlayar selama 2 jam perjalanan.
Alternatif Penyelesaian
Untuk memudahkan penyelesaian masalah di atas, kita asumsikan bahwa pergerakan kapal membentuk segitiga
seperti gambar di bawah.
A
B C
b c
a 60
○
Gambar 6.7 Segitiga ABC dengan sudut A = 60
o
Dari gambar di atas, dapat kita misalkan beberapa hal sebagai berikut.
- Titik A merupakan titik keberangkatan kedua kapal tersebut.
Minta siswa untuk mema- hami Masalah 6.2 yaitu
menngenai jarak kedua kapal yang berangkat dari
titik yang sama dan arah berbeda.
Penyelesaian masalah ini melibatkan pengetahuan
tentang segitiga siku-siku. Arahkan siswa membuat
segitiga siku-siku pada gambar.
Dengan diselesaikannya permasalahan ini, dihara-
pkan prinsip tentang atur- an cosinus dapat dipaha-
Di unduh dari : Bukupaket.com
229
Matematika
- Besar sudut A merupakan sudut yang dibentuk lintasan kapal yang berbeda yaitu sebesar 60
. - AB merupakan jarak yang ditempuh kapal pertama
selama 2 jam dengan kecepatan 30 kmjam, sehingga AB = 60 km.
- AC merupakan jarak yang ditempuh kapal kedua selama 2 jam perjalanan dengan kecepatan 25 kmjam,
sehingga AC = 50 km. - BC merupakan jarak kedua kapal setelah menempuh
perjalanan selama 2 jam karena itu, pertanyaan yang harus dijawab adalah berapakah BC.
Agar kita dapat menentukan jarak BC, maka kita perlukan gambar berikut. Garis CP merupakan garis tinggi segitiga
ABC, dimana CP ⊥ AB. Misalkan panjang AP adalah x
maka panjang BP adalah c – x.
P
c
-x P
c
-x x
A B
C b
c a
Gambar 6.8 Segitiga ABC dengan garis tinggi CP
Perhatikan ∆ACP Dari ∆ACP berlaku: AC
2
= AP
2
+ CP
2
atau CP
2
= AC
2
– AP
2
. Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh,
maka CP
2
=b
2
- x
2
............................................................1 Dari ∆BPC berlaku: BC
2
= BP
2
+ CP
2
atau CP
2
= BC
2
– BP
2
. Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang sudah kita peroleh,
CP
2
= a
2
– c - x
2
= a
2
– c
2
+ 2cx – x
2
.............................2 Berdasarkan persamaan 1 dan 2 diperoleh:
b
2
- x
2
= a
2
– c
2
+ 2cx – x
2
mi oleh siswa. Jika siswa masih kurang memahami
mengenai permasalahan ini, guru sebaiknya men-
cari masalah lain yang tujuannya adalah mem-
bantu siswa dapat meng- konstruk prinsip tentang
atruan cosinus
Pandu siswa memanfaat- kan Gambar 6.8 untuk
mendapatkan berbagai data untuk menemukan
prinsip atau aturan con- sinus
Di unduh dari : Bukupaket.com
230
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
b
2
= a
2
– c
2
+ 2cx – x
2
+ x
2
b
2
= a
2
– c
2
+ 2cx atau
a
2
= b
2
+ c
2
- 2cx........................................................3 Berdasarkan ∆APC, diperoleh
cos A = x
b , maka x = b cos A.............................................4
dengan mensubstitusi persamaan. 4 ke dalam persamaan 3, maka diperoleh:
a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos A.....................................................5 Dengan mensubstitusi nilai-nilai yang telah diketahui ke
dalam persamaan 5 maka diperoleh a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos A = 50
2
+ 60
2
– 2×50×60×cos 60 = 2500 + 3600 – 600×
1 2
= 4100 – 300 = 3800
Maka jarak antara kedua kapal tanker tersebut setelah perjalanan selama 2 jam adalah 3800 km.
Berdasarkan Alternatif Penyelesaian pada Masalah 6.2 di atas, ditemukan aturan kosinus pada sebarang segitiga
sebagai berikut.
Aturan Cosinus Untuk sembarang segitiga
ABC, dengan panjang sisi- sisi
a, b, c dan
∠
A,
∠
B,
∠
C, berlaku a
2
= b
2
+ c
2
- 2bc cos A b
2
= a
2
+ c
2
- 2ac cos B c
2
= a
2
+ b
2
- 2ab cos C
Berdasarkan penyelesaian Masalah 6.2 yaitu menge-
nai jarak kapal dengan memanfaatkan bentuk se-
gitiga, diharapkan akan terbentuk prinsip menge-
nai aturan cosinus.
Di unduh dari : Bukupaket.com
231
Matematika
Contoh 6.2
Perhatikan gambar berikut. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga tersebut.
Gambar 6.9 Segitiga PQR dengan sudut P = 60
o
Alternatif Penyelesaian
Dengan menggunakan aturan cosinus maka diperoleh: RQ
2
= PR
2
+ PQ
2
– 2.PR.PQ.cos 60
o
2 x + 2
2
= x + 1
2
+ x – 1
2
– 2.x + 1.x – 1.cos 60
o
4x + 2 = x + 1
2
+ x – 1
2
– x + 1.x - 1 4x + 8 = x
2
+ 2x + 1 + x
2
– 2x + 1 – x
2
+ 1 x
2
– 4x – 5 = 0 ingat konsep persamaan kuadrat x – 5x + 1 = 0
sehingga nilai x yang ditemukan adalah x = 5 dan x = -1. Nilai x yang memenuhi adalah x = 5 sehingga panjang sisi-
sisi segitiga tersebut adalah 4, 6 dan 2 7 . Ajukan soal pada Contoh
6.2 kepada siswa. Minta siswa mengerjakan ter-
lebih dahulu. Ingatkan siswa konsep persamaan
kuadrat.
Di unduh dari : Bukupaket.com
232
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
3. Luas Segitiga
