364
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
b. Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P a, b dan berjari-jari r
Masalah-9.8
Gambar 9.19 : Yoyo menyinggung dinding
Seorang anak tampak asyik bermain yoyo bersama teman-temannya yang lain. Mainan Yoyo tersebut
dimainkan sambil sesekali berjalan dan bergesekan dengan lantai, kadang-kadang juga dengan lihainya
anak-anak tersebut melemparkannya sambil sesekali berjalan dan bersinggungan dengan tembok.
Dari gambar di atas jelas terlihat bahwa dinding yang disinggung yoyo selalu menyinggung di titik Ax
1
, y
1
. Garis di dinding yang dilalui yoyo dapat disebut garis
singgung dan titik yang bersinggungan antara yoyo dan dinding disebut titik singgung. Perhatikan bahwa jari-jari
yang melalui titik singgung Ax
1
, y
1
tegak lurus dengan dinding. Misalkan titik P adalah titik pusat lingkaran di a,
b. Berdasarkan keadaan di atas tentukanlah persamaan garis g tersebut
Alternatif Penyelesaian:
Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
. Perhatikan gambar 9.20. Gradien garis PA adalah m
y b
x a
PA
= −
−
1 1
. Masalah berikut
ini diberikan untuk membangun konsep
persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat
di a, b dan berjari- jari r. perlu dijelaskan
kepada siswa bahwa tutup botol yang dipermainkan
itu dianggap sebuah lingkaran yang melintasi
sebuah lintasan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
365
Matematika
Gambar 9.20 : Lingkaran dilalui titik Ax
1
, y
1
Garis singgung g tegak lurus garis PA, sehingga gradien garis singgung g adalah m
m x
a y
b
g PA
= − = −
− −
1
1 1
Persamaan garis singgung g adalah y – y
1
m
g
x – x
1
⇔ y y x
a y
b x
x −
= − −
− −
1 1
1 1
⇔ y – y
1
y1 – b = – x
1
– ax – x
1
⇔ yy
1
– yb – y
1 2
+ y
1
b = –x
1
x – x
1 2
– ax + ax
1
⇔ yy
1
– yb – y
1 2
+ yb = –x
1
x + x
1 2
+ ax – ax
1
⇔ xx
1
– xa + x
1
a + yy
1
– yb + y
1
b = x
1 2
– y
1 2
Karena Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
, maka diperoleh x
1
– a
2
+ y
1
– b
2
= r
2
⇔ x
1 2
– 2x
1
a + a
2
+ y
1 2
– 2y
1
b + b
2
= r
2
⇔ x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2x
1
– a
2
+ a
2
+ 2y
1
b – b
2
Di unduh dari : Bukupaket.com
366
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Substitusikan x
1 2
+ y
1 2
= r
2
+ 2x
1
– a
2
+ a
2
+ 2y
1
b – b
2
ke persamaan garis singgung di atas, diperoleh
xx
1
– xa + x
1
a + yy
1
– yb + y
1
b = r
2
+ 2x
1
a – a
2
+ 2
1
yb – b
2
⇔ xx
1
– xa + x
1
a + a
2
+ yy
1
– yb + y
1
b + b
2
= r
2
⇔ x – ax
1
– a+ y – by
1
– b = r
2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik Pa, b dan berjari-jari r yang melalui titik Ax
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
Sifat 9.6
Persamaan garis singgung yang melalui titik x
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
adalah x – ax
1
– q + y
1
– b = r
2
Contoh 9.12
Tentukan persamaan garis singgung lingkaran yang melalui titik 2, 4 dengan persamaan lingkarannya adalah x – 1
2
+ y – 2
2
= 5.
Alternatif Penyelesaian:
Persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y – 2
2
= 5 yang melalui titik 2, 4 adalah
x – ax
1
– a + y – by
1
– b = r
2
⇔ x – 1x
1
– 1 + y – 2y
1
– 2 = 5 ⇔ x – 12 – 1 + y – 24 –2 = 5
⇔ x – 11 + y – 22 = 5 ⇔ x – 1 + 2y – 4 = 5
⇔ x + 2y = 0 Ajak siswa untuk
memahami Sifat 9.6 tentang persamaan garis
singgung lingkaran dengan pusat lingkaran
a, b.
Minta siswa untuk memahami contoh 9.12
sebagai penerapan dari prinsip persamaan garis
singgung lingkaran yang berpusat di titik a, b.
Di unduh dari : Bukupaket.com
367
Matematika
Jadi persamaan garis singgung lingkaran x – 1
2
+ y – 2
2
= 5 adalah x + 2y = 0
Latihan 9.7
1. Misalkan titik Ax
1
, y
1
terletak pada lingkaran x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0. Tentukanlah persamaan garis singgung
pada lingkaran x
2
+ y
2
+ ax + by + c = 0 yang melalui titik Ax
1
, y
1
Alternatif Penyelesaian:
Jika diberikan lingkaran x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 dan diminta untuk menentukan persamaan garis singgung
lingkaran yang melalui titik Ax
1
, y
1
maka yang akan digunakan untuk menyelesaikan permasalahan tersebut
adalah dengan menggunakan konsep tentang persamaan lingkaran yang berpusat di titik Pa, b.
Karena persamaan lingkaran yang berpusat di PA, B adalah x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 maka persamaan lingkaran x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 berpusat di titik P
A B
− −
1 2
1 2
, Berdasarkan prinsip persamaan garis singgung yang
melalui titik x
1
, y
1
pada lingkaran x – a
2
+ y – b
2
= r
2
diperoleh persamaannya adalah x – a x
1
– a + y – b y
1
– b = r
2
Karena –a = A dan –b = B sehingga persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
+ 2Ax + 2By + C = 0 yang melalui Ax
1
, y
1
adalah
x a
x a
y b
y b
r −
−
+ −
−
= 1
2 1
2 1
2 1
2
1 1
2
2. Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x
2
+ y
2
+ 10x – 12y + 25 = 0 di titik
a. 5, 12 b. 1, 6
c. –5, 0 Minta siswa untuk
menyelesaikan latihan 9.7 Soal no 1 bertujuan untuk
memberitahukan kepada siswa bahwa persamaan
lingkaran juga dapat berbentuk x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 dengan
jari-jari P A
B −
−
1 2
1 2
, dan menerapkan prinsip
persamaan garis singgung lingkaran
Soal no 2 bertujuan untuk menerapkan tentang
konsep persamaan lingkaran x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 dengan jari-
jari P A
B −
−
1 2
1 2
,
Di unduh dari : Bukupaket.com
368
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian:
Berdasarkan persamaan lingkaran yang diberikan yaitu maka pusat lingkarannya adalah penyelesaian soal no 2
dapat digunakan prinsip yang ditemukan dalam soal no 1 sehingga
a. Untuk titik 5, 12 diperoleh
x a
x a
y b
y b
r −
−
+ −
−
= 1
2 1
2 1
2 1
2
1 1
2
⇔
x y
− −
− −
+
−
−
=
1 2
5 5
1 2
5 1
2 6
1 2
1 2
6 61
1
⇔
x y
+
+
+
− −
= 5
2 5
5 2
3 12
3 61
⇔ 30x + 36y – 521 = 0 b. Untuk titik 1, 6 diperoleh
x a
x a
y b
y b
r −
−
+ −
−
= 1
2 1
2 1
2 1
2
1 1
2
⇔ x y
− −
−
−
+ −
−
= 1
2 5
1 1
2 5
1 2
6 6
1 2
6 61
⇔ 14x + 12y – 245 = 0 c. Untuk titik –5, 0 diperoleh
x a
x a
y b
y b
r −
−
+ −
−
= 1
2 1
2 1
2 1
2
1 1
2
⇔
x y
− −
− −
−
+ −
−
= 1
2 5
5 1
2 5
1 2
6 1
2 6
61 1
⇔ 10x + 12y + 233 = 0
Di unduh dari : Bukupaket.com
369
Matematika
c. Persamaan Garis Singgung Lingkaran
Kategori