428
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
1.Menemukan Konsep Turunan Suatu Fungsi
Turunan merupakan salah satu dasar atau fundasi dalam analisis sehingga penguasaan kamu terhadap berbagai
konsep dan prinsip turunan fungsi membantu kamu memecahkan suatu permasalahan dalam kehidupan sehari-
hari. Suatu fungsi dapat dianalisis berdasarkan ide naik turun, keoptimalan dan titik beloknya dengan menggunakan
konsep turunan. Pada bagian berikut, kita akan mencoba mengamati berbagai permasalahan nyata dan mempelajari
beberapa kasus dan contoh untuk menemukan konsep turunan. Kita memulainya dengan menemukan konsep
persamaan garis tangensinggung.
1.1 Menemukan Konsep Garis Sekan dan Garis Tangen
Coba kamu amati dan cermati berbagai masalah nyata yang diajukan, bermanfaat sebagai sumber abstraksi kita dalam
menemukan konsep dan hubungan antara garis sekan atau tali busur dan garis singgung.
Masalah-11.1
Seorang pemain ski meluncur kencang di permukaan es yang bergelombang. Dia meluncur turun kemudian
naik mengikuti lekukan permukaan es sehingga di suatu saat, dia melayang ke udara dan turun kembali
ke permukaan. Perhatikan gambar di bawah.
Gambar 11.1 Bermain ski
C. MATERI PEMBELAJARAN
Perkenalkan kepada siswa materi yang akan
disampaikan. Bangun motivasi siswa dengan
memberikan informasi kebergunaan konsep ini
di kehidupan sehari- hari, seperti aplikasi
di berbagai bidang
geometri, isika, teknik .dan lain-lain
Ajukan Masalah 11.1 kepada siswa sebagai
salah satu masalah nyata terkait garis sekan
dan garis tangen. Beri kesempata kepada siswa
untuk memahami kasus dan mempelajari sketas
pada Gambar 11.2. Minta siswa untuk
menuliskan apa yang diketahui, dan ditanyakan,
m e n g i n t e r p r e t a s i masalah dalam gambar,
untuk menunjukkan pergerakan pemain ski
dan menemukan konsep Ingat kembali konsep
gradien persamaan garis yang dipelajari di SMP
dan di Bab IV kelas XI. Minta siswa menyebutkan
kembali konsep gradien tersebut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
429
Matematika
Permasalahan
Secara analitik, misalkan bahwa bukit es disketsa pada bidang dimensi dua dengan sudut pandang tegak lurus ke
depan dan papan ski adalah sebuah garis lurus sehingga terdapat dua garis lurus. Dapatkah kamu tunjukkan
hubungan kedua garis tersebut?
Alternatif Penyelesaian
Coba kamu amati gambar di bawah ini. Misalkan deskripsi permasalahan di atas ditampilkan dalam bentuk gambar
berikut.
Gambar 11.2 Garis sekan, garis singgung dan garis normal
Posisi tegak pemain terhadap papan ski adalah sebuah garis yang disebut garis normal. Papan ski yang
menyinggung permukaan bukit es di saat melayang ke udara adalah sebuah garis yang menyinggung kurva disebut
garis singgung. Jadi, garis singgung tegak lurus dengan garis normal. Tujuan kita adalah mendapatkan persamaan
garis singgung PGS.
Misalkan pemain ski mulai bergerak dari titik Qx
2
, y
2
dan melayang ke udara pada saat titik Px
1
, y
1
sehingga ia akan bergerak dari titik Q mendekati titik P. Garis
yang menghubungkan kedua titik disebut garis tali busur atau garis sekan. Sepanjang pergerakan tersebut, terdapat
banyak garis sekan yang dapat dibentuk dari titik Q menuju
titik P dengan gradien awal m y
y x
x
sec
= −
−
2 1
2 1
. Minta siswa mengamati
gambar di atas kembali dan meminta mengajukan
berbagai pertanyaan terkait gambar serta
menemukan pemaknaan istilah tali busur, garis
normal, dan garis singgung pada kurva.
Minta siswa mengamati setiap garis yang dibentuk
titik Q dan P, kemudian mencari hubungan garis
normal, garis sekan dan garis tangen.
Minta siswa mengamati gambar. Jika kurva fx
disamping adalah lintasan yang dilalui peluncur maka
setiap titik pada kurva akan dilalui sehingga
perpindahan peluncur dianggap perpindahan
setiap Q ke arah titik P. terkait hubungannya
dengan garis sekan dan garis tangen.
Di unduh dari : Bukupaket.com
430
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Coba kamu amati proses matematis berikut. Misalkan x
2
= x
1
+ ∆x dan y
2
= y
1
+ ∆y sehingga: jika ∆x makin kecil maka Q akan bergerak mendekati P atau jika
∆x → 0 maka Q
→ P. Perhatikan gambar
Gambar 11.3 Gradien garis sekan mendekati gradien garis singgung
Karena y = f x maka gradien garis sekan PQ adalah m
m y
x f x
f x x
x
PQ
= =
= −
−
sec
∆ ∆
2 1
2 1
. m
f x x
f x x
x x
m f x
x f x
x
PQ PQ
= +
− +
− ⇔
= +
−
1 1
1 1
1 1
∆ ∆
∆ ∆
Deinisi 11.1
Misalkan f : R → R adalah fungsi kontinu dan titik
Px
1
, y
1
dan Qx
1
+ ∆x, y
1
+ ∆y pada kurva f. Garis sekan menghubungkan titik P dan Q dengan gradien
m f x
x f x
x
sec
= +
−
1 1
∆ ∆
Amati kembali gambar di atas. Jika titik Q mendekati P maka ∆x →0 sehingga diperoleh garis singgung di titik P
dengan gradien:
m f x
x f x
x
PGS x
= +
−
→
lim .
∆
∆ ∆
1 1
jika limitnya ada
Meminta siswa mencoba menggambarkan tali
busur garis sekan PQ, dengan posisi titik Q
berada pada kurva yang semakin mendekati posisi
titik P. Arahkan siswa menganalisis perubahan
gerakan tali busur PQ, untuk menemukan
pengertian garis sekan. Tanya siswa, terdapat
berapa banyakkah garis sekan yang dapat dibuat
dari pergerakan titik Q ke titik P pada gambar di
samping? Arahkan siswa secara
kelompok menuliskan ciri-ciri garis sekan dan
menuliskan pengertian garis sekan, garis tangen.
Arahkan siswa mencari gradien garis sekan.
Minta siswa menyebutkan kembali konsep gradien
pada garis lurus. Hasil diskusi dijelaskan
oleh masing – masing kelompok.
Pandu siswa untuk membentuk Deinisi 11.1
berikut. Minta siswa memberikan penjelasan
Deinisi 11.1 dengan uraian kata-katanya
sendiri. Guru memandu dan mengarahkan bila
Di unduh dari : Bukupaket.com
431
Matematika
Deinisi 11.2
Misalkan f adalah fungsi kontinu bernilai real dan
titik Px
1
, y
1
pada kurva f. Gradien garis singgung di
titik Px
1
, y
1
adalah limit gradien garis sekan di titik Px
1
, y
1
, ditulis:
m m
f x x
f x x
PGS x
x
= =
+ −
→ →
lim lim
sec ∆
∆
∆ ∆
1 1
Jika limitnya ada
Contoh 11.1
Tentukanlah persamaan garis singgung di titik dengan absis x = –1 pada kurva fx = x
4
.
Alternatif Penyelesaian.
Misalkan x
1
= –1 dan y
1
= –1
4
= 1 sehingga titik singgung P-1,1. Jadi, gradien garis singgung adalah:
m f
x f
x x
PGS x
= − +
− −
− + − −
→
lim
∆
∆ ∆
∆
4 4
1 1
1 1
m f
x f
x m
x x
PGS x
PGS x
= − +
− −
⇔ =
− + − −
⇔
→ →
lim lim
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
4 4
1 1
1 1
m m
x x
x
PGS x
= − +
+ − − +
− −
→
lim [
][ ]
∆
∆ ∆
∆
2 2
2 2
1 1
1 1
⇔ =
− + + −
− + + −
− + − −
→
m x
x x
PGS x
lim [
][ ][
]
∆
∆ ∆
∆ ∆
2 2
1 1
1 1
1 1
xx m
x x
x x
m x
PGS x
PGS x
⇔ =
− + +
− +
⇔ =
− +
→ →
lim [
][ ]
lim[
∆ ∆
∆ ∆
∆ ∆
∆
2
1 1
2 1
][ ]
2
1 2
4 +
− +
= − ∆x
Jadi, persamaan garis singgung adalah y – 1 = –4x – –1 atau y + 4x + 3 = 0. Perhatikan gambar berikut.
Arahkan siswa memahami Deinisi 11.2.
Tanya siswa, apa arti dari lim
∆x m
→0 sec
? Arahkan kembali ke Gambar 11.3.
Guru mengajukan bebe- rapa contoh dan mengajak
siswa bersama-sama men- coba menyelesaikan soal
yang diajukan.
Minta siswa menjabarkan − +
1
4
∆x tanpa menggu- nakan Binomial Newton.
muncul jawaban yang menyimpang dari deinisi.
Ingatkan siswa bahwa materi Limit Fungsi pada
Bab X di kelas X adalah materi prasyarat terhadap
pelajaran ini.
Di unduh dari : Bukupaket.com
432
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Gambar 11.4 Garis singgung dan garis normal kurva fx = x
4
di titik P-1,1
1.2 Turunan sebagai Limit Fungsi
