159
Matematika
C. MATERI PEMBELAJARAN
1. Garis dan Gradien
Memulai subbab ini, kita awali dengan mengingat kembali materi yang sudah pernah kamu pelajari di SMP
Kelas VIII tentang bagaimana menentukan persamaan garis lurus dan gradien suatu garis. Coba perhatikan bentuk
persamaan garis dan gradien garis di bawah ini.
1. Garis dengan persamaan ax + by = c gradien
m a
b = −
. 2. Garis dengan persamaan y = ax + c gradien m = a.
3. Garis dengan persamaan y – y
1
= px – x
1
gradien m = p
4. Garis dengan persamaan
y y
x x
y y
x x
− −
= −
−
1 1
2 1
2 1
gradien
m y
y x
x =
− −
2 1
2 1
. a, b, c, x
1
, y
1
∈ R Mari kita amati gambar di bawah ini
-10 -10
10 y
x 10
-5 -5
5
5
A B
C
I
3
: 3x – 5y = 15 I
2
: x + 5y = 10 I
1
: 2x + 2y = 4
Gambar 4.1: Tiga perpotongan 3 garis lurus
Menjelaskan kepada siswa kompetensi-kom-
petensi dasar yang ha- rus dimiliki siswa setelah
menyelesaikan materi program persamaan garis
lurus. Tanyakan kepa- da siswa tentang konsep
persamaan garis lurus yang digunakan dalam
berbagai bidang dalam kehidupan.
Guru mengajak siswa un- tuk mengingat kembali
materi tentang garis dan gradien yang telah di pe-
lajari di SMP melalui per- samaan berikut.
Selanjutnya ajak siswa un- tuk mencermati Gambar
4.1. Pastikan siswa memili-
ki keterampilan dalam menggambar garis l
1
, l
2
, dan l
3
. Dengan menga- jukan pertanyaan-per-
tanyaan, misalnya sebut- kan titik potong garis l
1
dengan sumbu x dan sum- bu y.
Dengan menggunakan konsep gradien, ajak
siswa memerika gradien masing-masing garis.
Di unduh dari : Bukupaket.com
160
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Dari gambar di atas, tentunya kamu dapat menentukan gradien dan titik titik potong antara garis dan titik potong
garis dengan setiap sumbu y dan sumbu x . i. Dari persamaan garis l
1
, kamu sudah dapat mengetahui gradien garis tersebut. Tetapi, gradien garis l
1
dapat juga ditentukan melalui dua titik pada garis tersebut,
misalnya A dan B. Tentunya hasilnya pasti sama. ii. Demikian halnya untuk garis l
2
dan l
3
. Dengan adanya persamaan garis atau dengan melalui
titik potong garis, tentunya bukan sesuatu yang sulit menentukan gradien garis tersebut.
Mari kita telaah kondisi berikut ini. Di jalan yang lurus dan datar mungkin kelajuan
mobil dapat diusahakan tetap. Gerak pesawat terbang pada ketinggian tertentu akan memiliki kecepatan tetap.
Kecepatan tetap dapat disajikan sebagai garis lurus. Kedua contoh tadi adalah contoh dari gerak lurus beraturan
GLB, lintasan benda berupa garis lurus dan arah gerak selalu tetap sehingga perpindahan dapat diganti dengan
jarak dan kelajuan tetap dapat diganti dengan kecepatan tetap. Sebuah benda yang bergerak dengan kecepatan tetap
akan menempuh jarak yang sama untuk selang waktu t yang sama.
Gambar 4.2: Graik jarak terhadap waktu
Dari Gambar 4.2, minta siswa untuk membaca
graik dan menarik kesim- pulan dengan mempresen-
tasikan di depan kelas. Faktor pengali “k”
dengan waktu akan meng- hasilkan besar jarak.
Dalam Gambar 4.2, k = 10. Nilai k tersebut me-
rupakan gradien kecepa- tan.
Di unduh dari : Bukupaket.com
161
Matematika
Bandingkan graik pada Gambar 4.2 dengan graik di bawah ini.
5 5
-5 -5
10 10
-10
-10
Gambar 4.3
I
6
: x = -5 I
5
: x – y = 2
I
4
: x + y = 2
Kita sebut gradien l
4
adalah m
4
=-1 gradien l
5
adalah m
5
= 1. Dari Gambar 4.1, 4.2, dan 4.3 dapat kita rangkum gradien
tiap-tiap garis: a
l x
y
1
2 2
4 :
+ =
dengan
m
1
1 = −
; b
l x
y
2
5 10
: + =
dengan
m
2
1 5
= −
; c
l x
y
3
3 5
15 :
− =
dengan
m
3
3 5
=
; d
v v t
: = 10
dengan
m
v
= 10
; e
l x
y
4
2 : +
=
dengan
m
4
1 = −
; d
l x
y
5
2 : −
=
dengan
m
5
1 =
. Kesimpulan yang bisa kita tarik dari ke enam garis di
atas kecuali garis l
6
, setiap garis memiliki kemiringan terhadap sumbu x atau garis yang dimaksud membentuk
sudut terhadap sumbu x. Oleh karena itu, garis tidak mempunyai gradien mengapa?
Berikut ini kita akan mengkaji masalah tentang penampungan air yang terjadi di daerah-daerah yang
kesulitan air untuk keperluan sehari-hari. Pastikan siswa mema-
hami perbedaan graik pada Gambar 4.2 dan
4.3melalui mengajukan pertanyaan-pertanyaan.
Misalnya, coba sebutkan minimal dua titik yang
dilalui garis l
4
, l
5
, l
6
. Selanjutnya minta siswa
untuk menentukan gradi- en setiap garis tersebut.
Ajak siswa berpikir untuk menemukan alasan, me-
ngapa garis l
6
tidak memi- liki gradien.
Jika siswa kesulitan me- nemukan alasannya, ber-
ikan petunjuk melalui
graik yang menggambar- kan bahwa gradien me-
rupakan kemiringan garis.
Di unduh dari : Bukupaket.com
162
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Masalah-4.1
Keluarga Pak Bambang memiliki sumur dan mesin pompa untuk menyediakan air untuk keperluan
minum, cuci dan mandi. Setelah melalui proses penyaringan, air sumur tersebut dialirkan ke bak
mandi keluarga tersebut. Setiap hari, keluarga Pak Bambang memerlukan 1000 liter air, yang diperoleh
dengan dua kali mengisi bak mandi setiap pengisian 500 liter. Karena keterbatasan daya listrik di rumah
Pak Bambang, mesin pompa hanya dapat digunakan pada saat alat-alat listrik lain di rumah tersebut tidak
dioperasikan. Jumlah air yang tertampung setiap menit dinyatakan dalam tabel berikut ini.
Tabel 4.1: Volume air pada bak mandi setiap menit.
Waktu menit
1 2
3 4
5 6
7 …
Volume Liter
2 5
8 11
14 17
20 23
…
a Dengan tanpa menunggu bak mandi hingga penuh, dapatkah kamu memberi tahu Pak Bambang tentang
durasi waktu hingga bak tersebut penuh? b Jika Pak Bambang ingin mengurangi 50 durasi waktu
pengisian bak mandi tersebut, berapakah volume air pe rmenit yang ditambah?
Alternatif Penyelesaian
Hubungan volume air pada bak mandi dengan waktu dapat dideskripsikan pada graik berikut ini.
10 1
2 3
4 5
6 7
8 9
waktu menit 10
0,2 1,5
2,8 3,11
4,14 5,17
6,20 7,23
20 30
volume air laut
Gambar 4.4: Hubungan volume air dengan waktu.
Motivasi siswa untuk menyadari kebermaknaan
matematika dalam ke- hidupan sehari-hari.
Berikan waktu kepada siswa untuk memaha-
mi Masalah 4.1 hingga siswa mampu menemukan
masalah yang dihadapi keluarga Pak Bambang.
Ajukan pertanyaan-per- tanyaan kepada siswa
untuk mengetahui ke- terampilan siswa dalam
membaca graik hubu- ngan volume air dengan
waktu. Misalnya, minta siswa
menyelidiki kebenaran persamaan l: -3t + v = 2.
Atau tanyakan siswa kon- sep menentukan persa-
maan garis lurus yang
telah dipelajari pada ke- las VIII SMP.
Di unduh dari : Bukupaket.com
163
Matematika
Sebaran koordinat waktu dan volume air berada pada satu garis lurus, dengan persamaan l : –3t + v = 2 tunjukkan.
Persamaan –3t + v = 2 atau v = 3t + 2 memiliki gradien m = 3.
a Ternyata, gradien persamaan garis tersebut merupakan faktor penentu besar tidaknya durasi waktu yang
dibutuhkan untuk mengisi bak mandi keluarga Pak Bambang, selain konstanta. Karena volume air pada
saat bak mandi penuh adalah 500 liter, akibatnya:
500 = 3t + 2 diperoleh t = 166 menit atau 2,76 jam. Jadi durasi waktu yang dibutuhkan Pak Bambang
hingga bak mandi tersebut penuh adalah 166 menit. b Coba kamu kerjakan. Jika kamu kesulitan, tanyakan
kepada gurumu
Alternatif Penyelesaian
Volumen bak mandi penuh adalah 500 liter, tetapi Pak Bambang ingin waktu yang dibutuhkan hingga bak penuh
berkurang 50. Artinya, volume air per menit harus diperbesar. Misal, k adalah volume air permenit.
Akibatnya : 500 = k 83 + 2, diperoleh k = 6. Jadi, untuk mengurangi 50 waktu mengisi bak hingga
penuh, debit air permenit harus ditambah 3 liter. Cermati gambar di bawah ini, terdapat garis horizontal
y = b, garis vertikal x = a dan garis l
1
dengan persamaan ax + by = c. Tentu kamu sudah tahu mana dari ketiga garis
tersebut yang memiliki gradien. Pastikan siswa memaha-
mi makna persamaan l: -3t + v = 2 atau v = 3t
+ 2 dengan mengajukan pertanyaan-pertanyaan.
Misalnya, apa arti angka 3 dan 2 pada persamaan
tersebut.
Angka 3 pada persamaan tersebut berarti volume
bak selalu bertambah 3 liter untuk setiap menit.
Sedangkan angka 2 be- rarti, volume awal bak
mandi.
Berikan waktu kepa- da siswa untuk menco-
ba menyelesaikan per- tanyaan b. Berikan
apresiasi kepada siswa yang mampu menjawab
dengan benar atau seperti alternatif penyelesaian di
samping.
Di unduh dari : Bukupaket.com
164
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
5 5
-5 -10
10 10
l ax by c
1
: +
= y b
�=
x a
�=
Garis Horinzontal
Garis Vertical -5
-10 Gambar 4.5: Garis vertikal, horizontal, dan garis
l
1
: ax + by = c.
Ø Untuk memastikan pemahaman kamu akan eksistensi gradien suatu garis, dengan memperhatikan bentuk
persamaan garis l
1
: ax + by = c a,b dan c merupakan bilangan real, selidiki syarat untuk:
• m 0;
• m 0;
• m = 0 dan
• garis l tidak memiliki gradien.
Rangkum secara rinci untuk setiap syarat yang kamu temukan
Secara geometri, gradien atau kemiringan garis dijelaskan melalui graik berikut ini.
Dari titik A ke B titik, terdapat suatu kenaikan perubahan tegak sebesar dan perubahan mendatar sebesary
2
– y
1
. Jadi kemiringan x
2
– x
1
garis itu dinyatakan:
m perubahan kenaikan
perubahan mendatar y
y x
x x
x =
= −
− ≠
2 1
2 1
2 1
,
Koordinasi siswa untuk berdiskusi menyelesaikan
masalah di samping. Persamaan garis l
1
: ax + by = c a,b dan c merupa-
kan bilangan real: a
m b
− ▪ m 0 jika a 0 dan b
0, atau a 0 dan b 0.
▪ m 0 jika a 0 dan b 0 atau a 0 dan b
0. ▪ m = 0 jika a = 0 dan b
≠ 0. ▪ Garis l tidak memiliki
gradien jika b = 0.
Di unduh dari : Bukupaket.com
165
Matematika
• •
1 1
, y x
A
2 2
, y x
B
x
y
1 2
x x
−
1 2
y y
−
1
y
2
y
1
x
2
x
Gambar 4.6
α
O C
D
Gambar 4.6
Pada Gambar 4.6, mari kita cermati segitiga siku- siku OBC, dengan siku-siku di titik C. Dengan mengingat
kembali konsep perbandingan sudut pada segitiga siku- siku yang telah kamu pelajari pada kelas X, kita akan
menentukan nilai tangen sudut
a
. α
Sudut α merupakan besar sudut yang dibentuk garis yang
melaui titik A dan B terhadap sumbu x. Ø Perhatikan kembali Gambar 4.6, apakah besar
∠BAD = besar
∠ α? Berikan Alasannya.
Alternatif Penyelesaian:
Perhatikan gambar di bawah ini. ∠
α dan ∠β merupakan sudut-sudut sepihak dalam, dengan ∠
α + ∠β = 180
o
atau = 180
o
- ∠
α. Sedangkan
∠ β dan ∠BAD merupakan dua sudut berpelurus,
dituliskan: ∠
β + ∠BAD = 180
o
atau ∠
β =180
o
- ∠BAD.
Ingatkan siswa akan kon- sep hubungan antar sudut
pada materi garis dan sudut pada kelas VII SMP.
∠BAD = ∠ α.
Minta siswa menyajikan hubungan
∠BAD = ∠ α di
depan kelas. Jika siswa menemukan
jawaban seperti alternatef jawaban di samping, be-
rikan apresiasi. Demikian jika ada cara lain yang
ditemukan siswa.
Di unduh dari : Bukupaket.com
166
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Akibatnya: ∠BAD = ∠
α.
Contoh 4.1
Tentukan nilai tangen sudut setiap garis seperti pada gambar di bawah ini.
Gambar 4.7: Sudut-sudut yang dibentuk oleh garis l
1
dan l
2
.
Keterangan:
Sudut merupakan sudut yang dibentuk oleh garis l
1
dengan Sumbu-X dan
b
merupakan sudut yang dibentuk oleh garis l
2
dengan Sumbu-X Sudut
α merupakan besar sudut yang dibentuk garis yang melaui titik A dan B terhadap sumbu x.
Di unduh dari : Bukupaket.com
167
Matematika
Alternatif Penyelesaian
Pada Gambar 4.7, kita akan menentukan nilai
tan α
dan
tan β
. Dengan segitiga siku-siku POR kita akan tentukan
tan α
, sedangkan dengan segitiga siku-siku QOS kita akan menentukan
tan β
. a Cermati segitiga POR.
Panjang sisi PO = 6, dan OR = 6.
tan a =
= = OR
PO 6
6 1
Nilai
tan α
tersebut, mari kita bandingkan dengan gradien garis l
1
: y – x = 6. ; m
1
= 1. Hubungan
m
1
dengan nilai,
tan α
dituliskan sebagai berikut; m
1
=
tan α
. b Dengan cara yang sama untuk segitiga SQO, diketahui
panjang sisi QO dan OS berturut-turut adalah 8 dan 8. Oleh karena itu,
tan 180 8
8 1
− =
= =
β OQ
OS
. Gradien garis l
2
: x + y =8. ; m
2
= -1. Hubungan m
2
dengan nilai
tan 180
− β
dituliskan sebagai berikuti:
m
2
180 =
− = −
tan tan
β β
.
Bepikir Kritis
Ø Dari pembahasan contoh 4.1 , kesimpulan apa yang dapat ditarik ?
Ø Cermati kembali Gambar 4.7, coba tentukan nilai tangen sudut PTQ
Jadi, hubungan gradien dengan besar sudut yang dibentuk garis dengan sumbu x adalah sebagai berikut:
Misal garis l: ax + by = c, dengan a, b, c ∈ R, a dan
b tidak keduanya nol. Jika garis l membentuk sudut sebesar
α berlawanan arah jarum jam dari sumbu x positif terhadap sumbu x, maka tan
α = m. Bersama dengan siswa,
guru menyimpulkan dari pembahasan Contoh 4.1
tentang konsep gradien suatu garis dengan nilai
tangen sudut yang terkait garis.
Untuk pertanyaan kritis, berikan kesempatan kepa-
da siswa untuk mencoba menyelesaikan. Bentuk
kelompok belajar yang heterogen untuk mem-
bentuk sikap kemampuan bekerja sama antar siswa.
Minta siswa untuk mampu menggambarkan setiap
persamaan garis.
Ingat......
sin 180 sin
cos 180 cos
tan 180 tan
o o
o
α α
α α
α α
− =
− =
− =
Di unduh dari : Bukupaket.com
168
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Sekarang perhatikan ΔPTQ. ▪ ∠PTQ = θ
▪ PQ = 8 ▪ PT = QT =
7 2 ▪ TR = 7
▪ PR = RQ = 7 T
P R
Q θ
2
α 180
o
– β θ
1
Perhatikan ΔTRQ, tan θ
1
= 1, atau θ
1
= 45
o
. Dengan cara yang sama, diperoleh
θ
2
= 45
o
. Karena θ
1
+ θ
2
, maka θ
= 90
o
. Jadi tan
∠PTQ = tidak terdeinisi.
Pertanyaan Menantang: Diberikan persamaan garis:
l
1
: x + y = 3
l
2
: - x + y = 3
l
3
: x – y = 3
l
4
: x + y = -3
Hitunglah besar sudut yang dibentuk setiap garis dengan sumbu-
x.
Untuk menentukan besar sudut yang dibentuk setiap garis l
1
, l
2
, l
3
, dan l
4
dapat ditemukan dengan menentukan gradien setiap garis.
Untuk menjawab per- tanyaan menantang, beri
kepada siswa untuk meng- gali ide-ide untuk me-
mecahkan masalah terse- but.
Guru hanya diperkenakan memberikan petunjuk-pe-
tunjuk untuk menyele- saikan pertanyaan terse-
but. Misalnya, arahkan siswa
untuk menggambarkan l
1
, l
2
, l
3
, dan l
4
dalam koordi- nat kartesius.
Ingatkan siswa bagaima- na menentukan besar
sudut yang dibentuk garis terhadap sumbu x.
Di unduh dari : Bukupaket.com
169
Matematika
▪ Gradien l
1
; m
1
= -1. Karena m
1
= tan α
1
= -1, maka = 135
o
. ▪ Gradien l
2
; m
2
= 1. Karena m
2
= tan α
2
= 1, maka = 45
o
. ▪ Gradien l
3
; m
3
= 1. Karena m
3
= tan α
3
= 1, maka = 225
o
. ▪ Gradien l
4
; m
4
= -1. Karena m
4
= tan α
4
= –1, maka = 315
o
.
Uji Kompetensi 4.1
1. Tentukan gradien setiap garis pada graik berikut ini.
Gambar 4.8
Minta siswa mengi- ngat kembali nilai tangen
sudut-sudut istimewa se- perti yang telah dipelajari
pada Bab 8 Kelas X SMA.
Motivasi siswa untuk mengasah pengetahuan
dan keterampilan mere- ka tentang gradien garis
melalui pemberi tugas mengerjakan soal-soal
pada Uji Kompotensi 4.1. Guru harus memeriksa
semua hasil pekerjaan siswa sebagai salah satu
cara membangun keper- cayaan diri siswa dan
mengapresiasi hasil pe- mikiran mereka.
Di unduh dari : Bukupaket.com
170
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Jika ada garis yang tidak memiliki gradien, berikan alasannya
2. Tentukan nilai p untuk setiap koordinat di bawah ini. a.
A 2,p dan B2,2p – 3 dengan m = 7. b.
A 12 – 3p,4 dan B8,7p – 3 dengan m = 5. c.
A 5 – 6p,3p dan B8,7p – 3 dengan
m =
1 2
. 3. Jika
Px
p
, y
p
dan Qx
q
, y
q
, tentukan syarat yang harus dipenuhi agar garis yang melalui titik tersebut memiliki
gradien yang positif. 4. Tentukanlah nilai k untuk setiap persamaan garis
berikut, untuk a.
g
1
: 3kx – 6y = 20 dengan gradiennya sama dengan gradien g
2
: 3kx – 2y = 16. b.
l
1
: 3k + 2x + ky = 12 dengan gradiennya sama dengan gradien l
2
: 7x + k – 6y = 16. 5. Cermati graik berikut ini.
i
Di unduh dari : Bukupaket.com
171
Matematika
ii
Gambar 4.9
Tentukan persamaan garis untuk masing-masing garis pada gambar i dan ii. Selanjutnya hitunglah nilai
tangen setiap sudut yang diberikan pada gambar. 6. Perhatikan gambar di bawah ini.
Gambar 4.10
Tentukan besar sudut
α
. 7. Diberikan dua persamaan garis:
l : 2x + 3y = 6 g: 4x – 5y = 0
Tentukan nilai sinus sudut yang dibentuk oleh garis l dan g .
Di unduh dari : Bukupaket.com
172
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
8. Gradien suatu garis sama dengan nilai tangen sudut yang dibentuk garis dengan sumbu X. Tentukan
persamaan garis melalui titik potong garis 3x + 4y = 12 dan x – 4y = 0 dan memiliki gradien sama dengan nilai
tangen sudut pada soal No.6.
9. Diberikan dua persamaan garis: l
1
: a
1
x + b
1
y = c
1
; a
1
≠ 0, b
1
≠ 0 dan l
2
: a
2
x + b
2
y = c
2
; a
2
≠ 0, b
2
≠ 0. a
1
, a
2
, b
1
, b
2
, c
1
, c
2
bilangan real. Tentukan syarat yang harus dipenuhi apabila:
a. m
1
m
2
b. m
1
m
2
dimana: m
1
: gradien garis l
1
dan m
2
: gradien garis l
2.
10. Perhatikan gambar garis di bawah ini.
Gambar 4.11
Tentukanlah persamaan garis paling sedikit dua garis yang:
a. Sejajar dengan garis g b. Tegak lurus dengan garis g
Di unduh dari : Bukupaket.com
173
Matematika
2. Hubungan Antar Garis a. Garis Garis Sejajar
Kategori