334
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
B. PETA KONSEP
Masalah Otentik
Lingkaran
Melalui sebuah titik
di luar lingkaran
Pusat di a, b
jari-jari r
Gradien m Gradien m
Melalui x, y pada
lingkaran Melalui x, y
pada lingkaran
Pusat di 0, 0
jari-jari r Pusat di
0, 0 jari-jari r
Pusat di a, b
jari-jari r
Bentuk Umum
Persamaan Lingkaran
Tempat Kedudukan Titik pada Lingkaran
Persamaan Garis Singgung
Lingkaran
Di unduh dari : Bukupaket.com
335
Matematika
1. Menemukan Konsep Persamaan Lingkaran
Lingkaran adalah sebuah bangun datar yang sering digunakan sebagai alat bantu dalam menjelaskan ilmu
pengetahuan lain maupun dalam berbagai penyelesaian masalah kehidupan sehari
-hari.
Pada bab ini akan dibahas tentang lingkaran dan
beberapa hal dasar yang pada akhirnya membantu kita untuk menemukan konsep tentang lingkaran itu sendiri.
Masalah-9.1
Gunung Sinabung di Kabupaten Karo, Sumatera Utara kembali meletus sekitar pukul 12.00 WIB hari
Selasa tanggal 17 September 2013. Material yang dikeluarkan lebih banyak dibanding letusan pertama
dua hari lalu. Akibat letusan ini banyak warga yang mengungsi. Pemerintah setempat pun memberikan
peringatan agar masyarakat yang berada pada radius 3 km dari puncak gunung Sinabung harus
segera mengungsi dan daerah tersebut harus bebas dari aktivitas dan dikosongkan untuk sementara.
Bantulah pemerintah kabupaten Karo untuk menentukan daerah mana saja masyarakatnya
harus mengungsi. Petunjuk: Gunakan Peta Kabupaten Karo
Alternatif Penyelesaian
Gambar 9.1: Peta Kabupaten Karo
C. MATERI PEMBELAJARAN
Menjelaskan kepada siswa kompetensi-
kompetensi dasar yang harus dimiliki siswa
setelah menyelesaikan materi lingkaran.
Tanyakan kepada siswa tentang konsep lingkaran
yang digunakan dalam kehidupan nyata seperti
ban sepeda, jam dinding, dan jenis yang lain.
Selanjutnya ajak siswa untuk memahami
Masalah 9.1. masalah ini adalah masalah yang
benar-benar terjadi yaitu mengenai letusan gunung
Sinabung. Ajak siswa untuk memahami Peta
Kabupaten Karo tempat terjadinya letusan gunung
itu. Beri pemahaman kepada siswa bahwa yang
merupakan titik lingkaran adalah puncak gunung
Sinabung.
Berikan juga informasi kepada siswa bahwa
wilayah Indonesia banyak sekali gunung berapinya,
sehingga jika ada kejadian seperti ini perlu
diinformasikan kepada siswa akan bahaya letusan
gunung berapi tersebut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
336
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Pertama kali yang dilakukan adalah membuat radius jari- jari sepanjang 3 km dari titik pusatnya yaitu puncak
Gunung Sinabung. Setelah itu tariklah secara melingkar dan terbentuklah sebuah lingkaran. Berdasarkan daerah
lingkaran yang dibuat tersebut ternyata terdapat beberapa desa yang penduduknya harus mengungsi karena berada
pada daerah radius 3 km yaitu Desa Simacem, Bekerah, Sigaranggarang, dan Kutatonggal di Kecamatan Naman
Teran, serta Desa Sukameriah di Kecamatan Payung.
Deinisi 9.1
Lingkaran adalah tempat kedudukan titik-titik pada suatu bidang yang berjarak sama terhadap sebuah titik
tertentu
Masalah-9.2
Misalkan Gambar 9.1 pada Masalah 9.1 dipindahkan ke bidang koordinat cartesius dan gunung Sinabung
berpusat di P0, 0 dan jari-jarinya r = 3. Misalkan
salah satu desa yaitu Sigaranggarang berada pada titik Sx, y pada lingkaran tersebut, tentukanlah
persamaan lingkaran tersebut
Alternatif penyelesaian
Gambar 9.2: Lingkaran pusat P0, 0 dan jari-jari r = 3
Ajak juga siswa untuk bersikap saling mengasihi
sesamanya jika terjadi bencana alam, sehingga
mereka dapat menolong sesamanya melalui
perbuatan sekecil apapun.
Berdasarkan penyelesaian masalah 9.1 fasilitasi
siswa untuk membuat deinisi 9.1 dan memahami
deinisi yang telah dibuat Selanjutnya ajak siswa
untuk memahami masalah 9.2. Setelah siswa
memahami maksud dari Masalah 9.2 suruh siswa
untuk menyelesaikan masalah tersebut. Tujuan
diselesaikannya masalah 9.2 ini adalah agar siswa
dapat menentukan rumus dari bentuk lingkaran
yang berpusat di titik 0, 0 dan berjari-jari
r. Pandu siswa untuk menyelesaikan masalah
9.2 dan ingatkan kembali kepada siswa tentang
rumus jarak dua titik sebagai bekal awal untuk
menyelesaikan masalah tersebut.
Di unduh dari : Bukupaket.com
337
Matematika
jarak titik Sx, y ke titik P0, 0 dapat ditentukan dengan rumus:
PS x
y =
− +
−
2 2
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka r
x y
x y
r =
− +
− ⇔
− +
− =
2 2
2 2
Kuadratkan kedua ruas sehingga diperoleh x – 0
2
+ y – 0
2
= r
2
⇔ x
2
+ y
2
= r
2
Diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh
x
2
+ y
2
= 3
2
⇔ x
2
+ y
2
= 9 Sifat 9.1
Persamaan lingkaran yang berpusat di P0, 0 dan memiliki jari-jari
r adalah x
2
+ y
2
= r
2
Atau dengan kata lain
Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak r
terhadap titik P0, 0 maka L {x, y | x
2
+ y
2
= r
2
}
Contoh 9.1
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan jari-jari sebagai berikut:
a. 3 b. 4
c. 5 d. 6
Dengan diselesaikannya Masalah 9.2,
pastikan siswa dapat mendeinisikan
bentuk baku persamaan
lingkaran yang berpusat di titik 0, 0 dan berjari-
jari r sehingga siswa memahami arti dari Sifat
9.1
Sebagai bentuk uji tentang pemahaman
siswa terhadap Deinisi 9.2, suruh siswa untuk
memahami contoh 9.1 dan menyelesaikannya dengan
caranya sendiri.
Di unduh dari : Bukupaket.com
338
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Alternatif Penyelesaian
a. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 3 adalah
x
2
+ y
2
= 3
2
⇔
x
2
+ y
2
= 9
b. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 4 adalah
x
2
+ y
2
= 4
2
⇔
x
2
+ y
2
= 16
c. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 5 adalah
x
2
+ y
2
= 5
2
⇔
x
2
+ y
2
= 25
d. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik P0, 0 dengan panjang jari-jari 6 adalah
x
2
+ y
2
= 6
2
⇔
x
2
+ y
2
= 36
Masalah-9.3
Misalkan gambar pada masalah 1 dipindahkan ke bidang koordinat Kartesius dan gunung Sinabung
berpusat di Pa, b dan jari-jarinya r = 3 Misalkan
salah satu desa yaitu Sukameriah berada pada titik Sx, y, tentukanlah persamaan lingkaran tersebut
Alternatif Penyelesaian:
Gambar 9.3: Lingkaran pusat Pa, b dilalui titik Sx, y
Selanjutnya ajak siswa untuk mengamati masalah
9.3 dan suruh siswa untuk menyelesaikannya
dengan caranya sendiri, selanjutnya fasilitasi siswa
jika ada yang bertanya. Agar siswa memahami
dengan baik masalah yang diberikan suruh
siswa untuk mencoba m e n g g a m b a r k a n n y a
selanjutnya ajak siswa untuk menyimpulkan hasil
dari penyelesaian masalah yang diberikan. Tujuan
dari menyelesaikan masalah ini adalah
agar siswa dapat
mendeinisikan bentuk
baku dari persamaan lingkaran yang berpusat
di titik 0, 0 dan berjari-
Di unduh dari : Bukupaket.com
339
Matematika
Jarak titik Sx, y ke titik Pa, b adalah PS
x a
y b
= −
+ −
2 2
Diketahui bahwa jari-jarinya adalah r dan PS = r, maka r
x a
y b
x a
y b
r =
− +
− ⇔
− +
− =
2 2
2 2
Dikuadratkan kedua ruas maka diperoleh x – a
2
+ y – b
2
= r
2
Berdasarkan informasi diketahui bahwa r = 3, maka diperoleh
x – a
2
+ y – b
2
= 3
2
⇔ x – a
2
+ y – b
2
= 9
Sifat 9.2
Persamaan lingkaran yang berpusat di Pa, b dan
memiliki jari-jari r adalah x – a
2
+ y – b
2
= r
2
Atau dengan kata lain Jika L adalah himpunan titik-titik yang berjarak
r terhadap titik
Pa, b maka L {x, y | x – a
2
+ y – b
2
= r
2
}
Contoh 9.2
Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di 2, 2 dan berjari
-jari r = 2. jari r. Seperti halnya
menyelesaikan Masalah 9.2, ingatkan kembali
siswa tentang rumus jarak dua titik sebagai bekal
awal untuk menyelesaikan masalah tersebut.
Dengan diselesaikannya Masalah 9.3,
pastikan siswa dapat mendeinisikan
bentuk baku persamaan
lingkaran yang berpusat di titik a, b dan berjari-
jari r sehingga siswa memahami arti dari sifat
9.2.
Sebagai bentuk uji tentang pemahaman siswa
terhadap Sifat 9.2, suruh siswa untuk memahami
contoh 9.2 dan 9.3 serta menyelesaikannya dengan
caranya sendiri.
Di unduh dari : Bukupaket.com
340
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Gambar 9.4 : Lingkaran pusat 2, 2 dan
r = 2
Alternatif Penyelesaian:
x – a
2
+ y – b
2
= r
2
a = 2; b = 2; c = 2
⇔ x – 2
2
+ y – 2
2
= 2
2
⇔ x – 2
2
+ y – 2
2
= 4 Jadi persamaan lingkaran yang berpusat di 2, 2 dan
berjari-jari r = 2 adalah x – 2
2
+ y – 2
2
= 4
Contoh 9.3
Tentukan titik pusat dan jari-jari lingkaran berikut a. x – 2
2
+ y + 2
2
= 4 b. x + 2
2
+ y + 2
2
= 9 c. x + 2
2
+ y – 2
2
= 16 d. x + 2
2
+ y
2
= 16
Di unduh dari : Bukupaket.com
341
Matematika
Alternatif Penyelesaian:
a. x – 2
2
+ y + 2
2
= 4 ⇔ x – 2
2
+ y + 2
2
= 2
2
a = 2; b = –2; r = 2 lingkaran tersebut berpusat di titik 2, – 2 dan berjari-
jari 2 b. x + 2
2
+ y + 2
2
= 9 ⇔ x + 2
2
+ y + 2
2
= 3
2
a = –2; b = –2; r = 3 Lingkaran tersebut berpusat di titik –2, –2 dan berjari-
jari 3 c. x + 2
2
+ y – 2
2
= 16 ⇔ x + 2
2
+ y – 2
2
= 4
2
a = –2; b = 2; r = 4 Lingkaran tersebut berpusat di titik –2, 2 dan berjari-
jari 4 d. x + 2
2
+ y
2
= 16 ⇔ x + 2
2
+ y
2
= 16 a = –2; b = 0; r = 4
Lingkaran tersebut berpusat di titik –2, 0 dan berjari- jari 4
2. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran
Kategori