79
Matematika
matriks B, A.B
=
a
a a
a a
a a
a a
b b
b b
b b
11 21
31 12
22 32
13 23
33 11
21 31
12 22
3
.
2 2
13 23
33
b b
b
= +
+ +
+ +
a b a b
a b a b
a b a b
a b a
11 11
12 21
13 31
21 11
22 21
23 31
31 11
32
. .
. .
. .
. ..
. .
. .
. .
. b
a b a b
a b a b
a b a b
a b
21 33
31 11
12 12
22 13
32 21
12 22
22 23
3
+ +
+ +
+
2 2
31 12
32 22
33 32
11 13
12 23
13 33
21 13
2
a b a b
a b a b
a b a b
a b a
. .
. .
. .
. +
+ +
+ +
2 2
23 23
33 31
13 32
23 33
33
. .
. .
. b
a b a b
a b a b
+ +
+
Sekarang, silahkan tentukan hasil perkalian matriks B
terhadap matriks A. Kemudian, simpulkan apakah berlaku
atau tidak sifat komutatif pada perkalian matriks? Berikan alasanmu
b Mari kita tentukan hasil perkalian matriks
1 3
5 2
4 6
2 1
3 2
4
.
, dengan menggunakan konsep perkalian dua matriks di atas, diperoleh:
1 3
5 2
4 6
2 1
3 2
4 1 2
2 1 3 2
4 1 5 2
6 1 1 3
= +
+ +
. .
. .
. .
. .
+ +
+ +
+ +
+
=
2 2 3 3
4 2 5 3
6 2 1 4
2 0 3 4
4 0 5 4
6 0 4
10 16
. .
. .
. .
. .
. .
. 7
7 17
27 4
12 20
.
Dengan menggunakan hasil diskusi yang kamu peroleh pada contoh a dan b, silahkan periksa apakah matriks
2 1
3 2
4
dapat dikalikan terhadap matriks
1 3
5 2
4 6
? Berikan penjelasanmu
a. Sifat Asosiatif dan Distributif Operasi Perkalian Matriks
Misalkan Matriks A =
5 12
3 1
; B =
− −
5 12
3 1
C =
2 1
1 1
−
A × B =
5 12
3 1
5 12
3 1
×
− −
Arahkan siswa mencer- mati beberapa contoh
untuk lebih memahami sifat-sifat operasi per-
kalian matriks. Pastikan bahwa siswa mengetahui
bahwa operasi perkalian matriks tidak memenuhi
sifat komutatif, tetapi me- menuhi sifat assosiatif.
Di unduh dari : Bukupaket.com
80
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
A × B =
− +
− +
− −
25 36
60 12
15 3
36 1
A × B =
11 48
12 35
−
B × A =
− −
×
5 12
3 1
5 12
3 1
B × A =
− +
− −
+ −
25 36
60 12
15 3
36 1
B × A =
11 48
12 35
−
Berdasarkan hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa perkalian matriks tidak memenuhi
sifat komutatif sebab A × B ≠ B × A
Mari kita cek sifat asosiatif A
×
B
×
C
= 5
12 3
1 5
12 3
1 2
1 1
1
× −
−
× −
A
×
B
×
C
= 5
12 3
1 7
23 8
13
× −
−
A
×
B
×
C
= 34
61 1
83 −
Sekarang perhatikan hasil perkalian matriks A
×
B
×
C
= 5
12 3
1 5
12 3
1 2
1 1
1
× −
−
× −
A
×
B
×
C
= 11
48 12
35 2
1 1
1 −
×
− −
A
×
B
×
C
= 34
61 1
83 −
Dari hasil perhitungan di atas dapat disimpulkan A × B × C = A
× B × C.
Di unduh dari : Bukupaket.com
81
Matematika
Sifat 2.3
Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p
dan C berordo p × q dengan m, n, p, q ∈ N. Perkalian
matriks memenuhi sifat asosiatif jika dan hanya jika A × B × C = A ×
B × C.
Perhatikan kembali matriks A, B, dan C di atas.
Matriks A =
5 12
3 1
; B =
− −
5 12
3 1
dan C =
2 1
1 1
−
A × B
+ C = 5
12 3
1 5
12 3
1 2
1 1
1
× −
−
+ −
=
5 12
3 1
3 13
2
× −
= 24
23 10
24 −
A × B + A × C =
5 12
3 1
5 12
3 1
5 12
3 1
2 1
×
− −
+
×
− −
1 1
=
11 48
12 35
13 25
2 11
−
+
− −
=
24 23
10 24
−
Dari hasil perhitungan di atas, dapat disimpulkan bahwa
A × B + C = A × B + A × C.
Sifat 2.4
Misalkan matriks A berordo m × n, B berordo n × p dan
C berordo n × p dengan m, n, p, q
∈
N. Perkalian matriks memenuhi sifat distributif operasi perkalian terhadap
operasi pen–jumlahan matriks jika dan hanya jika A × B + C = A × B + A × C.
Di unduh dari : Bukupaket.com
82
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Nah, sekarang mari kita cermati untuk perkalian berulang suatu matriks
A berordo p × q.
Diketahui matriks A =
1 1
−
.
Tentukanlah A
2013
Contoh 2.7
Alternatif Penyelesaian
Mari cermati langkah-langkah berikut
A
2
= A.A =
1 1
1 1
1 1
1 1
1 −
−
= −
−
= −
.
. =
= −1
Jika A
2
= – I, maka A
4
= I. Artinya, untuk setiap pangkat
matriks A
kelipatan 4, akan ditemukan matriks identitas. Selanjutnya, 2013 dapat kita tuliskan sebagai berikut:
2013=4.503+1. Akibatnya,
A
2013
= A
4.503+1
= A
4 503
.A
1
. Matriks
A
4
= I, dan I
n
= I, n
= 1,2,3,…, akibatnya berlaku, A
4 503
= I. Oleh karena itu, A
2013
= I. A = A =
1 1
−
.
Dari hasil pembahasan Contoh 2.7, secara umum dapat kita nyakan dalam deinisi berikut ini.
Deinisi 2.7
Misalkan matriks A berordo p × q dan n
∈
N. A
A A
A A
n n faktor
= × × × …
A
2013
pada contoh di atas, dengan A=
1 1
−
, kebetulan memiliki pola untuk menentukan hasilnya. Namun,
jika kamu menjumpai masalah untuk menentukan A
n
, n
bilangan asli dapat kamu kerjakan dengan menentukan hasil kali matriks
A sebanyak n faktor. Arahkan siswa untuk
mencermati pertanyaan kritis di samping. A
4
=I belum tentu berlaku un-
tuk sebarang matriks A. Misalkan matriks
A = 1 1
1 1
A
4
= 8 8
8 8
Di unduh dari : Bukupaket.com
83
Matematika
Pertanyaan Kritis:
Apakah A
4
= I berlaku untuk sembarang matriks persegi berordo 2 × 2 ?
Uji Kompetensi 2.1
1. Hasil penjumlahan matriks
p p
q +
+
+
=
2
3 2
5 6
6 3
4 9
8 5
.
Tentukan nilai p dan q.
2. Misalkan matriks A =
p +
2 3
2 5
B =
p q
6 6
3 +
Bila 3A = B, Tentukan nilai p dan q.
3. Diberikan matriks A =
4 3
2 5
− −
B =
4 3
6 3
−
dan C =
− −
−
26
3 2
35
Tunjukkan bahwa A
+ B = B
2
. + C. 4. Tentukanlah hasil perkalian matriks-matriks berikut
a.
1 2
2 5
4 1
5 2
4
c.
− −
2 3
1 1
1 1
1 1
1 1
b.
2 7
1 6
5 7
3 1
−
d.
1 1
1 1
3 5
3 4
6 2
5 3
5. Apa yang dapat kamu jelaskan tentang operasi pembagian matriks? Misalnya diketahui persamaan
matriks A.C = B, dengan matriks A dan B matriks yang diketahui. Bagaimana kita menentukan matriks C?
Paparkan di depan kelas
6. Berikan dua matriks yang memenuhi kesamaan: i.
A + B
2
= A
2
+ B
2
ii. A
2
– B
2
= A – B.A
+ B Berikan soal-soal pada
Uji Kompetensi 2.1 se- bagai pekerjaan rumah
sesuaikan dengan materi yang telah dipelajari. Hal
ini berguna untuk me- ngukur penguasaan siswa
terhadap konsep dan prin- sip matematika yang telah
dipelajari.
Di unduh dari : Bukupaket.com
84
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
7. Seorang agen perjalanan menawarkan paket perjalanan ke Danau Toba. Paket I terdiri atas 3 malam menginap,
2 tempat wisata dan 4 kali makan. Paket II dengan 4 malam menginap, 5 tempat wisata dan 8 kali makan.
Paket III dengan 3 malam menginap, 2 tempat wisata dan tidak 1 makan. Sewa hotel Rp 250.000,00 per
malam, biaya pengangkutan ke tiap tempat wisata Rp 35.000,00, dan makan di restoran yang ditunjuk Rp
75.000,00. a Dengan menggunakan perkalian matriks, tentukan
matriks biaya untuk tiap paket. b Paket mana yang menawarkan biaya termurah?
8. Sebuah perusahaan angkutan menawarkan tiket pulang bersama ke Provinsi Jawa Timur. Perusahaan angkutan
tersebut mempunyai tiga jenis bus, yaitu Excecutif, Economi, dan AC. Setiap bus dilengkapi dengan
kursi penumpang untuk kelas umum, mahasiswa dan pelajar. Jumlah kursi penumpang tiga jenis bus tersebut
disajikan pada tabel di bawah ini.
Eksekutif Ekonomi
AC
Umum 40
42 41
Mahasiswa 33
41 35
Pelajar 30
39 28
Perusahaan telah mendaftar jumlah penumpang yang mengikuti perjalanan wisata ke negara A, seperti pada
tabel berikut.
Kategori penumpang
Jumlah penumpang
Umum 123
Mahasiswa 109
Pelajar 94
Di unduh dari : Bukupaket.com
85
Matematika
Berapa banyak bus yang harus disediakan untuk perjalaan tersebut?
9. Tentukanlah B
3
– 4B
2
+ B – 4 I, dengan matriks I
merupakan matriks identitas
berordo 3 × 3 dan matriks
B =
1 1
2 1
2 1
2 1
1
10. Jika matriks D =
1 1
2 1
2 1
2 1
1
, maka tentukanlah matriks D
3
– 4D
2
+ D + 4.I, dengan matriks I merupakan matriks
identitas berordo 3 × 3
11. Tentukanlah nilai x dan y yang memenuhi syarat berikut ini
a R =
p q
2
dan R
2
= I b S =
. .
3 2
1 5
− −
dan S
2
= p.S + q. I
I adalah matriks identitas berordo 2 ×2.
Projek
Rancang sebuah permasalahan terkait pekerjaan tukang pos yang melibatkan matriks. Beri bobot
lintasan kenderaan dari sisi jarak atau biaya dalam pelaksanaan tugas mengantar surat atau barang
dari rumah ke rumah penduduk. Selesaikan tugas ini secara berkelompok. Buat laporan hasil
kerjamu dan sajikan di depan kelas. Tugas proyek ini, sebagai
tugas kelompok. Setelah tugas ini dikerjakan da-
lam waktu tertentu, minta siswa untuk menyajikan
laporannya di depan ke- las.Gunakan rubrik pe-
nilaian projek yang telah disajikan di bagain akhir
buku ini.
Di unduh dari : Bukupaket.com
86
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
5. Determinan Dan Invers Matriks a. Determinan Matriks.
