68
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
=
11 −6
8 −7
4 ⎛
⎝ ⎜
⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎟
+
−1 −5 8
2 ⎛
⎝ ⎜
⎜ ⎞
⎠ ⎟
⎟
=
11 −7
3 1
4 2
⎛ ⎝
⎜ ⎜
⎞ ⎠
⎟ ⎟
Berdasarkan contoh di atas dapat disimpulkan bahwa hasil penjumlahan matriks
A + B + C = A + B + C =
11 −7
3 1
4 2
⎛ ⎝
⎜ ⎜
⎞ ⎠
⎟ ⎟
Sifat 2.2
Misalkan matriks A, B dan C berordo n x k. Penjumlahan
matriks A, B dan C memenuhi sifat asosiatif jika dan
hanya jika A + B+C = A+B + C.
2. Pengurangan Dua Matriks
Sebagai gambaran awal mengenai operasi pengurangan dua matriks, mari kita cermati contoh masalah berikut ini.
Mengorganisasikan siswa belajar dalam kelompok
dan melakukan diskusi interaktif untuk memecah-
kan masalah berikut dan meminta siswa menyaji-
kan masalah dalam pe- ngurangan dua buah
matriks serta menganali- sis sifat-sifat pengurangan
dua matriks. Menanyakan apakah sifat-sifat opera-
si penjumlahan matriks masih berlaku dalam
operasi pengurangan dua matriks?
Di unduh dari : Bukupaket.com
69
Matematika
Masalah-2.5
Sebuah pabrik tekstil hendak menyusun tabel aktiva mesin dan penyusutan mesin selama 1 tahun yang
dinilai sama dengan 10 dari harga perolehan sebagai berikut:
Lengkapilah tabel tersebut dengan menggunakan matriks
Jenis Aktiva
Harga Perolehan
Rp Penyusutan
Tahun I Rp Harga Baku
Rp
Mesin A
25.000.000 2.500.000
Mesin B
65.000.000 6.500.000
Mesin C
48.000.000 4.800.000
Alternatif penyelesaian
Misalkan: Harga perolehan merupakan matriks A =
25.000.000 65.000.000
48.000.000 ⎡
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎤ ⎦
⎥ ⎥
⎥
Penyusutan tahun pertama merupakan matriks B =
2.500.000 6.500.000
4.800.000 ⎡
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎤ ⎦
⎥ ⎥
⎥
Untuk mencari harga baku pada tabel tersebut adalah A – B =
25.000.000 65.000.000
48.000.000 ⎡
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎤ ⎦
⎥ ⎥
⎥ −
2.500.000 6.500.000
4.800.000 ⎡
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎤ ⎦
⎥ ⎥
⎥ =
22.500.000 58.500.000
43.200.000 ⎡
⎣ ⎢
⎢ ⎢
⎤ ⎦
⎥ ⎥
⎥
Di unduh dari : Bukupaket.com
70
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
Rumusan penjumlahan dua matriks di atas dapat kita diterapkan untuk memahami konsep pengurangan matriks
A dengan matriks B. Misalkan A dan B adalah matriks-matriks berordo m ×
n. Pengurangan matriks A dengan matriks B dideinisikan
sebagai jumlah matriks A dan lawan matriks –B, ditulis:
A-B=A+-B.
Matriks –B merupakan matriks yang setiap unsurnya berlawanan tanda dengan setiap unsur yang bersesuaian
dengan matriks B.
3. Perkalian Suatu Bilangan Real dengan Matriks
Dalam aljabar matriks, bilangan real k sering disebut sebagai skalar. Oleh karena itu perkalian real terhadap
matriks juga disebut sebagai perkalian skalar dengan matriks.
Sebelumnya, pada kajian pengurangan dua matriks, A – B = A
+ –B, –B dalam hal ini sebenarnya hasil kali bilangan –1 dengan semua elemen matriks B. Artinya, matriks –B
dapat kita tulis sebagai : –B = k.B, dengan k = –
1.
Secara umum, perkalian skalar dengan matriks dirumuskan sebagai berikut.
Misalkan A suatu matriks berordo m × n dengan elemen-ele-
men a
ij
dan k adalah suatu bilangan real. Matriks C adalah hasil perkalian bilangan real k dengan matriks A, dinotasikan C = k.A,
bila matriks C berordo m × n dengan elemen-elemennya diten- tukan oleh :
c
ij
=
k
. a
ij
untuk semua i dan j .
Mengorganisasikan siswa belajar dalam kelompok
dan melakukan diskusi interaktif untuk memecah-
kan masalah berikut dan meminta siswa menyaji-
kan masalah dalam pe- ngurangan dua buah
matriks serta menganali- sis sifat-sifat pengurangan
dua matriks. Menanyakan apakah sifat-sifat opera-
si penjumlahan matriks masih berlaku dalam
operasi pengurangan dua matriks?
Di unduh dari : Bukupaket.com
71
Matematika
Contoh 2.5
a Jika T =
− −
− −
2 4
12 4
5 5
,
Maka 2. H =
2 2
2 4
2 12 2
4 2
4 2
5 4
8 24
8 10
10 × −
× − ×
× − × −
×
=
− −
− −
.
b Jika S =
18 9
3 60
24 3
15 18
12 −
−
, Maka
1 3
S =
1 3
18 1
3 9
1 3
3 1
3 60
1 3
24 1
3 3
1 3
15 1
3 18
1 3
12 ×
× ×
× ×
× − ×
× × −
=
6 3
1 20
8 1
5 6
4 −
−
c Jika P =
16 24
40 60
36 72
, Maka 1
4 P
+ 3 4
P
=
1 4
12 1
4 24
1 4
40 1
4 60
1 4
36 1
4 72
3 4
12 3
4 24
3 ×
× ×
× ×
×
+
× ×
4 4
40 3
4 60
3 4
36 3
4 72
× ×
× ×
=
4 6
10 15
9 18
12 18
30 45
27 54
12 24
40 60
36 72
+
=
= P
Di unduh dari : Bukupaket.com
72
Buku Guru Kelas XI SMAMASMKMAK
4. Operasi Perkalian Dua Matriks dan Sifat-sifat- nya