Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
118
3. PRINSIP INKLUSI EKSKLUSI, PELUANG KEJADIAN MAJEMUK
A. Prinsip Inklusi Eksklusi
Prinsip Inkl usi dan Ekskl usi PIE adal ah bent uk pal i ng umum dari prinsip penambahan pada himpunan. Perhat ikan gabungan dua himpunan pada diagram venn di bawah.
Himpunan A Himpunan A
∩
B Himpunan B
−
A Misal kan S adal ah suat u himpunan t erhingga dengan A dan B sembarang dua himpunan bagian dari S.
Maka unt uk mencacah banyaknya unsur di dal am A
∪
B, kit a dapat mel akukannya dengan mencacah banyaknya unsur himpunan A dan himpunan B
−
A dan kemudian menj uml ahkannya. Karena
⏐
B
−
A
⏐
=
⏐
B
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐
maka :
⏐
A
∪
B
⏐
=
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 1 Cat at an : Not asi
⏐
A
∪
B
⏐
dal am buku l ain kadang-kadang dit ul is dengan nA
∪
B. Dengan kat a l ain, ket ika mencacah unsur-unsur A dan B sendiri-sendiri, unsur-unsur irisan A dan B
t ercacah dua kal i sehingga unt uk mengat asi pencacahan ganda ini, kit a harus mengurangkan hasil pencacahan dari
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐
dengan pada A
∩
B sekal i. Sel ain rumus pada persamaan 3. 1. 1, pada gabungan dua himpunan berl aku persamaan :
⏐
A
∪
B’
⏐
=
⏐
S
⏐ −
⏐
A
∪
B
⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 2 dengan t anda “ ’ ” menyat akan kompl emen.
Sesuai hukum de Morgan berl aku : A
∪
B’ = A’
∩
B’
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 3 A
∩
B’ = A’
∪
B’
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 4 Perhat ikan gabungan t iga himpunan berikut :
Ket ika mencacah unsur-unsur A a + d + f + g, B b + d + e + g dan C c + e + f + g sendiri-sendiri, unsur-unsur irisan t epat A dan B d, irisan t epat A dan C f sert a irisan t epat B dan C e t ercacah
dua kali sedangkan irisan A, B dan C g t ercacah t iga kali. Maka unt uk mengat asi pencacahan ganda ini, kit a harus mengurangkan hasil pencacahan
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐
+
⏐
C
⏐
masing-masing sekali dengan A
∩
B,
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
119
A
∩
C dan B
∩
C. Namun ket ika kit a menghit ung
⏐
A
∪
B
∪
C
⏐
=
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐
+
⏐
C
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐ −
⏐
A
∩
C
⏐ −
⏐
B
∩
C
⏐
, irisan A, B dan C A
∩
B
∩
C bel um t ercacah sama sekal i. Unt uk mengat asi hal t ersebut kit a masih harus menambahkan
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐
+
⏐
C
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐ −
⏐
A
∩
C
⏐ −
⏐
B
∩
C
⏐
dengan
⏐
A
∩
B
∩
C
⏐
sekal i. Maka didapat rumus :
⏐
A
∪
B
∪
C
⏐
=
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐
+
⏐
C
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐ −
⏐
A
∩
C
⏐ −
⏐
B
∩
C
⏐
+
⏐
A
∩
B
∩
C
⏐
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 5
⏐
A
∪
B
∪
C’
⏐
=
⏐
S
⏐ −
⏐
A
∪
B
∪
C
⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 6 Jika dikembangkan unt uk gabungan 4 himpunan akan didapat kan :
⏐
A
∪
B
∪
C
∪
D
⏐
=
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐
+
⏐
C
⏐
+
⏐
D
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐ −
⏐
A
∩
C
⏐ −
⏐
A
∩
D
⏐− ⏐
B
∩
C
⏐ −
⏐
B
∩
D
⏐ −
⏐
C
∩
D
⏐
+
⏐
A
∩
B
∩
C
⏐
+
⏐
A
∩
B
∩
D
⏐
+
⏐
A
∩
C
∩
D
⏐
+
⏐
B
∩
C
∩
D
⏐ −
⏐
A
∩
B
∩
C
∩
D
⏐
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 7
⏐
A
∪
B
∪
C
∪
D’
⏐
=
⏐
S
⏐ −
⏐
A
∪
B
∪
C
∪
D
⏐ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. A. 8 Demikian set erusnya.
Cont oh 57 : Dari 65 siswa yang disurvei didapat kan dat a bahwa ada 20 siswa yang menyukai Fisika dan 35
menyukai Mat emat ika. Jika t erdapat 25 siswa yang t idak menyukai Mat emat ika maupun Fisika maka ada berapa siswa yang menyukai Mat emat ika dan Fisika ?
Sol usi : Misal kan F adal ah himpunan siswa yang menyukai Fisika dan M adal ah himpunan siswa yang menyukai
Mat emat ika.
⏐
F
⏐
= 20 ;
⏐
M
⏐
= 35 ;
⏐
S
⏐
= 65 ;
⏐
F
∪
M’
⏐
= 25
⏐
S
⏐
=
⏐
F
∪
M
⏐
+
⏐
F
∪
M’
⏐ Æ
⏐
F
∪
M
⏐
= 40
⏐
F
∪
M
⏐
=
⏐
F
⏐
+
⏐
M
⏐ −
⏐
F
∩
M
⏐
40 = 20 + 35
− ⏐
F
∩
M
⏐ Æ
⏐
F
∩
M
⏐
= 15 Banyaknya siswa yang menyukai Mat emat ika dan Fisika ada 15 orang.
Cont oh 58 : Sebuah survei dil akukan t erhadap sekumpul an siswa. Dari survei t ersebut didapat bahwa 133 orang
menyukai sedikit nya sat u dari 3 pel aj aran Fisika, Mat emat ika at au Kimia. Sembilan puluh enam di ant aranya menyukai Mat emat ika, 70 menyukai Fisika dan 66 menyukai Kimia. Dari 96 siswa yang
menyukai Mat emat ika, 40 di ant arnya menyukai Fisika dan 45 di ant aranya menyukai Kimia. Banyaknya siswa yang menyukai Fisika dan Kimia ada sebanyak 28 orang. Ada berapa banyak siswa
yang menyukai ket iga mat a pel aj aran t ersebut ? Sol usi :
Misal kan banyaknya siswa yang menyukai ket iga pel aj aran =
⏐
F
∩
M
∩
K
⏐
= x Dari dat a didapat yang menyukai Mat emat ika dan Fisika ada sebanyak 40 maka banyaknya siswa yang
menyukai Mat emat ika dan Fisika t et api t idak menyukai Kimia = 40
−
x Dari dat a didapat yang menyukai Mat emat ika dan Kimia ada sebanyak 45 maka banyaknya siswa yang
menyukai Mat emat ika dan Kimia t et api t idak menyukai Fisika = 45
−
x. Dari dat a didapat yang menyukai Fisika dan Kimia ada sebanyak 28 maka banyaknya siswa yang
menyukai Fisika dan Kimia t et api t idak menyukai Mat emat ika = 28
−
x. Banyaknya siswa yang hanya menyukai Mat emat ika = 96
−
40
−
x
−
x
−
45
−
x = 11 + x Banyaknya siswa yang hanya menyukai Fisika = 70
−
40
−
x
−
x
−
28
−
x = 2 + x Banyaknya siswa yang hanya menyukai Kimia = 66
−
28
−
x
−
x
−
45
−
x = x
−
7 Jika digambarkan dal am diagram venn maka :
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
120
96 + 2 + x + 28
−
x + x
−
7 = 133 x = 14
Maka banyaknya siswa yang menyukai ket iga pelaj aran ada sebanyak 14 orang. Cont oh 59 :
Sebuah sekolah memil iki 760 siswa. Ada 71 siswa yang mengikut i Kl ub Musik dan 110 siswa yang t idak mengikut i Kl ub Sains. Pada Kl ub Sains, j uml ah siswa l aki-l aki 30 l ebih banyak daripada siswa
perempuan. Lima pul uh sembilan siswa dengan 35 di ant aranya perempuan mengikut i Kl ub Musik maupun Kl ub Sains. Diket ahui j uga bahwa 86 siswa l aki-l aki t idak mengikut i Kl ub Sains maupun Kl ub
Musik. Set engah dari siswa yang mengikut i Kl ub Musik t et api t idak mengikut i Kl ub Sains adal ah l aki- l aki. Hit ungl ah :
a.
Banyaknya siswa l aki-l aki dan siswa perempuan di sekol ah t ersebut ? b.
Banyaknya siswa perempuan yang t idak mengikut i Kl ub Musik maupun Kl ub Sains. Sol usi :
Misal kan banyaknya siswa l aki-l aki yang mengikut i Kl ub Musik t et api t idak mengikut i Kl ub Sains = x. Maka banyaknya siswa perempuan siswa l aki-l aki yang mengikut i Kl ub Musik t et api t idak mengikut i
Kl ub Sains j uga = x.
⏐
S
⏐
= 760 ;
⏐
Musik
⏐
= 71 ;
⏐
Sains’
⏐
= 110 sehingga
⏐
Sains
⏐
= 760
−
110 = 650 Karena ada 59 siswa yang mengikut i Kl ub Sains maupun Kl ub Musik dengan 35 di ant aranya perempuan
maka ada 24 siswa l aki-laki mengikut i Kl ub Sains maupun Kl ub Musik. Misal kan banyaknya siswa perempuan yang mengikut i Kl ub Sains t et api t idak mengikut i Kl ub Musik =
p. Karena pada Kl ub Sains, j umlah siswa l aki-l aki 30 l ebih banyak daripada siswa perempuan maka banyaknya siswa l aki-l aki yang mengikut i Kl ub Sains t et api t idak mengikut i Kl ub Musik = p + 41.
Perhat ikan diagram venn berikut .
Pada Kl ub Sains berl aku : 24 + 35 + p + 41 + p = 650
p = 275
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
121
Pada Kl ub Musik berlaku : x + x + 24 + 35 = 71
x = 6 Secara kesel uruhan :
86 + 650 + 6 + 6 + y = 760 y = 12
a.
Banyaknya siswa l aki-l aki = 86 + 6 + 24 + 275 + 41 = 432 Banyaknya siswa perempuan = 12 + 6 + 35 + 275 = 328
b. Banyaknya siswa perempuan yang t idak mengikut i Kl ub Musik maupun Kl ub Sains = y = 12
Cont oh 60 : Sebanyak n orang pengurus sebuah organisasi akan dibagi ke dal am empat komisi mengikut i ket ent uan
berikut : i set iap anggot a t ergabung kedal am t epat dua komisi, dan ii set iap dua komisi memil iki t epat sat u anggot a bersama. Berapakah n ?
Sol usi : a set iap anggot a t ergabung ke dal am t epat dua komisi
b set iap dua komisi memil iki t epat sat u anggot a bersama Karena ada 4 komisi maka banyaknya pasangan komisi yang bisa dibuat adalah
4
C
2
= 6. Karena banyaknya pasangan komisi ada 6 maka banyaknya anggot a minimal adalah 6 sebab j ika
kurang dari 6 maka akan ada seorang anggot a yang t ergabung dalam l ebih dari 2 komisi. Jika t erdapat l ebih dari 6 anggot a maka akan ada seorang anggot a yang masuk dal am sebuah komisi
t et api t idak masuk ke dalam t iga komisi l ain. Hal ini bert ent angan dengan a bahwa seorang anggot a t ergabung ke dal am t epat dua komisi. Akibat nya banyaknya anggot a ada 6 orang.
Cont oh pembagian keenam anggot a ke dal am empat komisi yang memenuhi a dan b adal ah : Misal kan komisi t ersebut adal ah A, B, C dan D dengan a
i
menyat akan anggot a ke-i dengan 1
≤
i
≤
6. Komisi A
Komisi B Komisi C
Komisi D a
1
a
1
a
2
a
3
a
2
a
4
a
4
a
5
a
3
a
5
a
6
a
6
Coba kerj akan dengan Prinsip Inkl usi Ekskl usi. Cont oh 61 :
Suat u
kat a biner yang panj angnya n adalah suat u barisan sekuens angka-angka 0 at au 1 yang panj angnya n. Berapa banyak kat a biner dengan panj ang 10 yang diawal i dengan t iga angka 0 at au
diakhiri dengan dua angka 1 ? Sol usi :
Banyaknya kat a biner dengan panj ang 10 yang diawal i dengan t iga angka 0 adalah sama dengan memil ih angka 0 at au 1 pada 7 angka t erakhir sebab 3 angka pert ama t idak dapat dipil ih. Pil ihannya
masing-masing angka hanya 0 at au 1. Banyaknya cara =
⏐
A
⏐
= 2
7
. Banyaknya kat a biner dengan panj ang 10 yang diakhiri dengan dua angka 1 adal ah sama dengan
memil ih angka 0 at au 1 pada 8 angka pert ama sebab 2 angka t erakhir t idak dapat dipil ih. Pil ihannya masing-masing angka hanya 0 at au 1. Banyaknya cara =
⏐
B
⏐
= 2
8
.
Tet api ada kej adian kat a biner t ersebut diawal i dengan t iga angka 0 dan diakhiri dengan dua angka 1. Banyaknya kat a ini =
⏐
A
∩
B
⏐
= 2
5
. Banyaknya kat a biner yang dapat disusun =
⏐
A
∪
B
⏐
=
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐
Maka banyaknya kat a biner yang dapat disusun = 2
7
+ 2
8
−
2
5
= 352
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
122
Cont oh 62 : Ada berapa banyak bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang t idak habis dibagi 2
dan t idak habis dibagi 5 ? Sol usi :
Misal kan A’ adal ah himpunan bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang t idak habis dibagi 2 dan B’ adal ah himpunan bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang t idak
habis dibagi 5 sert a S adal ah himpunan bil angan bulat ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000. Maka A menyat akan himpunan bilangan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang habis
dibagi 2 dan B menyat akan himpunan bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang habis dibagi 5.
⏐
S
⏐
= 1000 Persoal an yang dit anyakan adal ah A’
∩
B’ . Dengan hukum de Morgan maka A’
∩
B’ = A
∪
B’
⏐
A
⏐
=
⎣
2 1000
⎦
= 500 dan
⏐
B
⏐
=
⎣
5 1000
⎦
= 200 dengan t anda
⎣α⎦
menyat akan bil angan bul at t erbesar kurang dari at au sama dengan
α
. Maka A
∩
B akan menyat akan himpunan bil angan bul at yang habis dibagi 2 dan 5 at au habis dibagi 10.
⏐
A
∩
B
⏐
=
⎣
10 1000
⎦
= 100
⏐
A
∪
B
⏐
=
⏐
A
⏐
+
⏐
B
⏐ −
⏐
A
∩
B
⏐
= 600
⏐
A
∪
B’
⏐
=
⏐
S
⏐ −
⏐
A
∪
B
⏐
= 400 Maka banyaknya bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang t idak habis dibagi 2 dan
t idak habis dibagi 5 = 400 buah.
LAT IHAN 3. A
1. Pada suat u kl ub Musik, 14 orang bermain piano at au git ar, 8 orang adalah pemain piano dan 5
orang memainkan kedua al at t ersebut . Ada berapa orang yang memainkan git ar ? 2.
Dari 100 orang siswa t erdapat 30 siswa yang hanya menyukai sepakbol a saj a. yang menyukai bol a vol l y ada 50 siswa. Ada berapa siswa yang t i dak menyukai sepak bol a maupun bol a vol l y ?
3. Dari 240 siswa kel as 3 suat u SMA, t erdapat 50 orang menyukai sepakbola, 60 orang menyukai
bul ut angkis dan 55 menyukai cat ur. Tiga pul uh siswa menyukai sepakbol a dan bulut angkis sement ara 10 siswa menyukai bul ut angkis dan cat ur t et api t idak menyukai sepakbol a. Ada 20
siswa yang menyukai ket iga hobi t ersebut . Jika ada 150 siswa yang t idak menyukai sat u pun di ant ara ket iga hobi t ersebut , maka ada berapa siswa yang menyukai sepakbol a dan cat ur t et api
t idak menyukai bul ut angkis ?
4. Ada berapa banyak bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang t idak habis
dibagi 2 dan t idak habis dibagi 7 ? 5.
Ada berapa banyak bil angan bul at ant ara 1 dan 1000 t ermasuk 1 dan 1000 yang t idak habis dibagi 2, 3 dan 7 ?
6. Tent ukan banyaknya bil angan yang t idak habis dibagi 3, 7 dan 11 dan t erl et ak ant ara 79 dan 2120
t idak t ermasuk 79 dan 2120. 7.
Di dal am suat u kel as beberapa orang mempel aj ari Bahasa Inggris sedangkan sisanya mempel aj ari Bahasa Jerman t et api t idak ada siswa yang mempel aj ari keduanya. Juml ah siswa perempuan yang
mempel aj ari Bahasa Inggris dan siswa l aki-l aki yang mempel aj ari Bahasa Jerman adal ah 16 orang. Ada 11 siswa yang mempelaj ari Bahasa Inggris dan ada 10 siswa perempuan di kel as. Sel ain siswa
perempuan yang mempel aj ari Bahasa Inggris, ada 16 orang siswa di kel as. Berapa banyakkah t ot al siswa di kelas ?
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
123
B. Peluang Kej adian Maj emuk
Kategori