Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
86
BAB IV KOMBINATORIK
1. KAIDAH PENCACAHAN DAN PENJABARAN BINOM NEWTON
Ada beberapa il ust rasi persoal an yang berhubungan dengan cara yang mungkin t erj adi sepert i sebagai berikut :
Cont oh 1 : Misal kan t erdapat 3 buah cel ana dan 4 buah baj u. Permasalahannya adalah ada berapa banyak cara
seseorang memil ih cel ana dan baj u yang akan dipakai ? Cont oh 2 :
Misal kan ada 3 buku : Mat emat ika, Fisika dan Biol ogi. Jika seseorang ingin menumpuk dua buku secara vert ikal , ada berapa cara ia mel akukan penumpukan ?
Masal ah-masal ah t ersebut dapat diselesaikan dengan Kaidah Pencacahan yang dapat dit empuh dengan menggunakan sat u at au beberapa cara berikut :
-
at uran pengisian t empat f il l ing sl ot
-
permut asi
-
kombinasi
A. Aturan pengisian tempat
f illing slot s
Misal kan ada n t empat t ersedia dengan k
1
adal ah banyaknya cara mengisi t empat pert ama, k
2
adal ah banyaknya cara mengisi t empat kedua, dan set erusnya hingga k
n
adal ah banyaknya cara mengisi t empat ke-n. Maka banyaknya cara mengisi t empat adal ah k
1
x k
2
x
⋅⋅⋅
x k
n
. Cara ini disebut sebagai
at uran pengisian t empat dan sering disebut dengan kaidah perkal ian. Sebagai il ust rasi penyel esaian soal cont oh 1 adal ah sebagai berikut :
Tempat pert ama adal ah memil ih cel ana. Karena banyaknya cel ana ada 3, maka banyaknya cara memil ih cel ana ada 3 sedangkan banyaknya cara memilih baj u ada 4. Maka banyaknya cara memil ih
pasangan cel ana dan baj u ada 4
⋅
3 = 12 cara. Unt uk soal pada cont oh 2, banyaknya cara memil ih t empat pert ama ada 3 cara karena bukunya ada 3.
Unt uk memilih buku yang kedua hanya t inggal 2 cara karena sat u buku sudah dipil ih pada t empat pert ama. Banyaknya cara memil ih dua buku adal ah 3
⋅
2 = 6 cara. Cont oh 3 :
Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf R, A, J, I, N j ika a
huruf pert ama dimul ai dari huruf hidup vokal b
huruf pert ama dimul ai dari huruf mat i konsonan Sol usi :
a Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 2 yait u A at au I. Karena huruf A at au I sudah dipakai
sebagai huruf pert ama maka banyaknya cara memi l ih huruf kedua t inggal 4 cara. Misal kan huruf pert ama adalah A maka kemungkinan huruf kedua ada 4 yait u R, J, I at au N. Banyaknya cara
memil ih huruf ket iga ada 3 cara, huruf keempat ada 2 cara dan huruf kel ima t inggal 1 cara. Banyaknya cara menyusun huruf t ersebut ada 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara.
b Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 3 yait u R, J at au N. Banyaknya cara memil ih huruf
kedua, ket iga, keempat dan kel ima bert urut -t urut ada 4, 3, 2, dan 1 cara. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 cara.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
87
Cont oh 4 : Sembilan orang siswa akan duduk pada 5 kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan mereka ?
Sol usi : Kursi pert ama ada 9 kemungkinan. Karena seorang siswa t idak akan mungkin duduk pada 2 kursi
dal am wakt u yang bersamaan maka banyaknya kemungkinan yang duduk pada kursi kedua t inggal 8. Dan set erusnya.
Banyaknya cara susunan mereka adal ah 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15120. Cont oh 5 :
Dari l ima angka 0, 3, 4, 5, 7 akan dibent uk sebuah bil angan yang t erdiri dari 4 angka. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika :
a
angka-angkanya bol eh berul ang b
angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi :
a Angka pert ama sebagai ribuan dapat dipilih 4 kemungkinan yait u 3, 4, 5 at au 7. Angka 0 t idak
mungkin menj adi angka pert ama sebab akan menyebabkan bil angan yang dibent uk hanya t erdiri dari 3 angka. Karena boleh berul ang maka angka rat usan, puluhan dan sat uan masing-masing
dapat dipil ih 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 4 x 5 x 5 x 5 = 500 bil angan.
b Angka pert ama sebagai ribuan dapat dipilih 4 cara. Karena t idak bol eh berulang sedangkan sat u
angka sudah dipakai pada angka pert ama maka banyaknya cara memil ih angka kedua hanya t inggal 4 cara. Misal kan angka pert ama dipil ih 3 maka pil ihan pada angka kedua adal ah 0, 4, 5
at au 7. Banyaknya pil ihan pada angka ket iga ada 3 cara dan banyaknya pil ihan pada angka keempat ada 2 cara.
Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bil angan.
Cont oh 6 : Denny akan membent uk bil angan genap 3 angka yang angka-angkanya diambil dari 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.
Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a
angka-angkanya bol eh berul ang b
angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi :
a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 7 kemungkinan. Angka kedua dapat dipilih j uga dari
7 kemungkinan. Karena bil angan t ersebut genap maka angka sat uan hanya dapat dipil ih dari 4 kemungkinan yait u 2, 4, 6 at au 8.
Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 7 x 7 x 4 = 196 bil angan.
b Sebuah bilangan dikat akan genap at au ganj il cukup dengan mel ihat angka sat uannya. Karena
bil angan t ersebut genap maka pemil ihan pert ama dil akukan pada angka sat uan. Angka sat uan dapat dipil ih dari 4 kemungkinan, yait u 2, 4, 6 at au 8. Angka pul uhan dapat dipilih dari 6 cara
sedangkan angka rat usan dapat dipil ih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 5 x 6 x 4 = 120 bilangan.
Cont oh 7 : Dari t uj uh angka 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, Furkan akan membent uk sebuah bilangan 3 angka dan l ebih dari
600. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a
angka-angkanya bol eh berul ang b
angka-angkanya t idak bol eh berul ang
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
88
Sol usi : Sebuah bil angan 3 angka dikat akan l ebih dari 600 j ika digit rat usan sekurang-kurangnya 6.
a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 4 kemungkinan, yait u 6, 7, 8 at au 9. Angka kedua
dapat dipil ih j uga dari 7 kemungkinan. Angka sat uan j uga dapat dipil ih dari 7 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 4 x 7 x 7 = 196 bil angan.
b Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 4 kemungkinan, yait u 6, 7, 8 at au 9. Angka pul uhan
dapat dipil ih dari 6 cara sedangkan angka sat uan dapat dipilih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 4 x 6 x 5 = 120 bilangan.
Cont oh 8 : Hansen mendapat kan t ugas membent uk sebuah bil angan t iga angka kurang dari 500 yang angka-angka
adal ah 2, 3, 4, 5, 6, 7 at au 9. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a
angka-angkanya bol eh berul ang b
angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi :
Sebuah bil angan 3 angka dikat akan kurang dari 500 j ika digit rat usan kurang dari 5. a
Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 3 kemungkinan, yait u 2, 3 at au 4. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka sat uan j uga dapat dipilih dari 7 kemungkinan.
Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 3 x 7 x 7 = 147 bil angan. b
Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 3 kemungkinan, yait u 2, 3 at au 4. Angka pul uhan dapat dipil ih dari 6 cara sedangkan angka sat uan dapat dipilih dari 5 kemungkinan.
Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 3 x 6 x 5 = 90 bil angan. Cont oh 9 :
Dari t uj uh angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibent uk sebuah bil angan 3 angka dan lebih dari 500. Berapa banyak bil angan genap yang dapat dibent uk j ika :
a
angka-angkanya bol eh berul ang b
angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi :
a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 4 kemungkinan, yait u 5, 6, 8 at au 9. Angka kedua
dapat dipil ih dari 7 kemungkinan. Angka sat uan dapat dipilih dari 3 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 4 x 7 x 3 = 84 bil angan.
b Pada bagian inil ah t imbul sebuah permasal ahan.
Jika kit a menj awab banyaknya bil angan adalah 4 x 5 x 3 dengan al asan bahwa banyaknya bil angan yang mungkin unt uk angka rat usan ada 4 dan angka sat uan ada 3 sedangkan sisa bil angan t inggal 5
maka j awaban t ersebut adal ah kel iru. Jika angka rat usan yang dipilih adal ah 5 at au 9 maka banyaknya kemungkinan angka sat uan memang benar ada 3 yait u 4, 6 at au 8. Tet api bila angka
rat usan yang dipilih adalah 6 at au 8 maka angka sat uan yang mungkin dipi lih hanya t inggal 2. Sedangkan j ika kit a menj awab banyaknya bil angan adal ah 4 x 5 x 2 j uga mengandung kesal ahan
dengan al asan bahwa j ika angka rat usan yang ki t a pil ih adal ah 5 at au 9 maka kemungkin angka sat uan yang dipilih adalah t et ap 3. Lal u bagaimana cara kit a menj awab soal ini ?
Ada dua al t ernat if yang akan dibahas.
Al t ernat if 1 : Sudah dij el askan bahwa banyaknya kemungkinan unt uk angka rat usan ada 4 namun pemil ihan
angka rat usan t ernyat a menimbul kan dampak yang berbeda unt uk angka sat uan. Maka penyel esaian soal ini adal ah dengan membagi kasus t erhadap pemil ihan angka rat usan.
Kasus pert ama adal ah j ika angka rat usannya adalah 5 at au 9. Banyaknya cara memilih angka rat usan ada 2. Banyaknya kemungkinan angka sat uan t et ap ada 3 sedangkan angka pul uhan
t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus pert ama ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bil angan.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
89
Kasus kedua adal ah j ika angka rat usannya adal ah 6 at au 8. Banyaknya cara memilih angka rat usan ada 2, yait u 6 at au 8 t ersebut . Banyaknya kemungkinan angka sat uan t inggal 2. Penj elasannya
adal ah j ika angka rat usan yang dipil ih adal ah 6 maka kemungkinan angka sat uannya adal ah 4 at au 8 sedangkan j ika angka rat usan yang dipil ih adal ah 8 maka kemungkinan angka sat uannya adal ah 4
at au 6. Sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus kedua ini adal ah 2 x 5 x 2 = 20 bilangan.
Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 30 + 20 = 50 bilangan.
Al t ernat if 2 : Caranya sebenarnya sama dengan al t ernat if 1, t et api kit a memulainya dari angka sat uan.
Kit a bagi kasus pemil ihan angka sat uan menj adi 2 kasus. Kasus pert ama adal ah j ika angka sat uan yang dipil ih adalah 4. Banyaknya cara memilih hanya ada
1. Angka rat usan yang dipil ih t et ap ada 4 kemungkinan yait u 5, 6, 8 at au 9. Sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus pert ama ini adal ah 1 x 5 x 4 = 20
bil angan. Kasus kedua adal ah j ika angka sat uan yang dipil ih adal ah 6 at au 8. Banyaknya cara memilih ada 2.
Angka rat usan yang dipil ih t inggal 3 kemungkinan. Sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus kedua ini adal ah 2 x 5 x 3 = 30 bil angan.
Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 20 + 30 = 50 bilangan.
LAT IHAN 1. A
1. Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf K, A, N, T, O, R j ika
a. huruf pert ama dimul ai dari huruf hidup vokal
b. huruf pert ama dimul ai dari huruf mat i konsonan
2. Tuj uh orang siswa akan duduk pada 7 kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan mereka ?
3. Suat u kel uarga t erdiri dari 2 orang put era dan 3 orang put eri. Apabila kel ima orang t ersebut
berdiri sej aj ar dengan posisi yang put ra sel al u mengapit yang put ri, maka ada berapa f ormasi yang mungkin ?
4. Sebagai panit ia perl ombaan sepakbol a, Furkan mencoba menyusun t uj uh buah bendera A, B, C, D,
E, F dan G pada posisi sej aj ar. Ada berapa banyak cara penyusunan j ika diinginkan bendera A dan B berada di uj ung ?
5. Weki mencoba membent uk sebuah bilangan 3 angka dengan angka-angkanya t idak bol eh ada yang
sama dan angka-angka t ersebut diambil dari 3, 5, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk ?
6. Ada berapa banyak bilangan posit if genap t erdiri dari 5 angka berbeda dapat dibuat j ika t idak ada
sat u pun angka 5 sert a angka ribuan harus angka 0 ? 7.
Pada sebuah kl ub dansa, t erdapat 6 l aki-l aki dan 6 perempuan yang akan mel akukan lat ihan. Dal am lat ihan ini, l aki-laki harus dipasangkan dengan perempuan. Ada berapa banyak carakah
membent uk 6 pasangan ini ?
8. Edwin sedang menyusun suat u bil angan t iga angka dengan angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8. Jika
bil angan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut genap ?
9. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 8 dibuat bil angan yang t erdiri dari t iga angka berbeda. Di ant ara
bil angan-bil angan t ersebut yang t erl et ak ant ara 300 dan 800 ada sebanyak
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
90
10. Dari angka-angka : 1, 2, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bil angan yang t erdiri at as 3 angka. Jika
bil angan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut l ebih dari 245 ?
11. OSK 2003 Ada berapa banyak bil angan 4-angka digit yang semua angkanya genap dan bukan
merupakan kelipat an 2003 ? 12.
Sebuah bil angan 4 angka dibent uk dengan 3 angka di ant aranya adal ah 3, 4 dan 6. Jika keempat angkanya berbeda sert a bil angan t ersebut habis di bagi 3, maka ada berapa bil angan yang dapat
dibent uk ?
13. Hansen sedang membent uk sebuah bilangan 3 angka kurang dari 600 yang angka-angkanya diambil
dari 0, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a.
angka-angkanya bol eh berul ang b.
angka-angkanya t idak bol eh berul ang 14.
Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk ol eh Furkan dengan syarat : bil angan t ersebut 4 angka, l ebih dari 4000 dan angka-angkanya diambil dari 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 ?
a. angka-angkanya bol eh berul ang
b. angka-angkanya t idak bol eh berul ang
15. Put u Wira sedang merancang sebuah bendera 6 st rip vert ikal . Warna masing-masing st rip vert ikal
harus menggunakan sebagian at au kesel uruhan warna kuning, hij au, biru at au merah. Dal am berapa banyak rancangan ini dapat dibuat bil a dua st rip berdekat an t idak bol eh berwarna sama ?
16. Dari angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bil angan ganj il yang t ediri at as 3 angka.
Jika bil angan it u t idak memuat angka yang sama dan kurang dari 500, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ?
17. Ada berapa banyak bil angan genap 3 angka, angka-angkanya t idak berul ang dan kurang dari 600
dapat dibent uk j ika angka-angkanya diambil dari 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ? 18.
OSK 2004 Nomor pol isi mobil -mobil di suat u daerah sel al u t erdiri dari 4 angka. Jika j uml ah keempat angka pada set iap nomor j uga harus genap sert a angka 0 t idak bol eh menj adi angka
pert ama, maka ada berapa banyak sist em penomoran mobil yang dapat dibent uk ?
19. Buah bent eng pada permainan cat ur mempunyai kemampuan unt uk bergerak at au ” memakan”
buah l awan pada pet ak-pet ak yang berada pada sat u garis horizont al at au sat u garis vert ikal dengan dirinya. Hansen mencoba menyusun 3 buah bent eng yang ket iganya dianggap berbeda
warna pada papan cat ur 8 x 8 sehingga ket iga bent eng t ersebut t idak sal ing ” makan” . Ada berapa cara penyusunan yang dapat dil akukannya ?
20. Pada suat u t urnamen diikut i ol eh 6 t im dengan sist em pert andingan sebagai berikut : Tim F
mel awan Tim E dan t im yang kal ah sebagai j uara 6 sedangkan yang menang menghadapi t im D. Yang kal ah sebagai j uara 5 sedangkan pemenangnya menghadapi t im C. Yang kal ah sebagai j uara
4 sedangkan pemenangnya menghadapi t im B. Yang kal ah sebagai j uara 3 sedangkan pemenangnya menghadapi t im A. Yang kal ah sebagai j uara 2 sedangkan pemenangnya j uara 1.
Ada berapa banyak susunan j uara yang dapat dibuat ?
B. Permut asi