Aturan pengisian tempat KAIDAH PENCACAHAN DAN PENJABARAN BINOM NEWTON

Eddy Hermanto, ST Kombinatorik 86

BAB IV KOMBINATORIK

1. KAIDAH PENCACAHAN DAN PENJABARAN BINOM NEWTON

Ada beberapa il ust rasi persoal an yang berhubungan dengan cara yang mungkin t erj adi sepert i sebagai berikut : Cont oh 1 : Misal kan t erdapat 3 buah cel ana dan 4 buah baj u. Permasalahannya adalah ada berapa banyak cara seseorang memil ih cel ana dan baj u yang akan dipakai ? Cont oh 2 : Misal kan ada 3 buku : Mat emat ika, Fisika dan Biol ogi. Jika seseorang ingin menumpuk dua buku secara vert ikal , ada berapa cara ia mel akukan penumpukan ? Masal ah-masal ah t ersebut dapat diselesaikan dengan Kaidah Pencacahan yang dapat dit empuh dengan menggunakan sat u at au beberapa cara berikut : - at uran pengisian t empat f il l ing sl ot - permut asi - kombinasi

A. Aturan pengisian tempat

f illing slot s Misal kan ada n t empat t ersedia dengan k 1 adal ah banyaknya cara mengisi t empat pert ama, k 2 adal ah banyaknya cara mengisi t empat kedua, dan set erusnya hingga k n adal ah banyaknya cara mengisi t empat ke-n. Maka banyaknya cara mengisi t empat adal ah k 1 x k 2 x ⋅⋅⋅ x k n . Cara ini disebut sebagai at uran pengisian t empat dan sering disebut dengan kaidah perkal ian. Sebagai il ust rasi penyel esaian soal cont oh 1 adal ah sebagai berikut : Tempat pert ama adal ah memil ih cel ana. Karena banyaknya cel ana ada 3, maka banyaknya cara memil ih cel ana ada 3 sedangkan banyaknya cara memilih baj u ada 4. Maka banyaknya cara memil ih pasangan cel ana dan baj u ada 4 ⋅ 3 = 12 cara. Unt uk soal pada cont oh 2, banyaknya cara memil ih t empat pert ama ada 3 cara karena bukunya ada 3. Unt uk memilih buku yang kedua hanya t inggal 2 cara karena sat u buku sudah dipil ih pada t empat pert ama. Banyaknya cara memil ih dua buku adal ah 3 ⋅ 2 = 6 cara. Cont oh 3 : Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf R, A, J, I, N j ika a huruf pert ama dimul ai dari huruf hidup vokal b huruf pert ama dimul ai dari huruf mat i konsonan Sol usi : a Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 2 yait u A at au I. Karena huruf A at au I sudah dipakai sebagai huruf pert ama maka banyaknya cara memi l ih huruf kedua t inggal 4 cara. Misal kan huruf pert ama adalah A maka kemungkinan huruf kedua ada 4 yait u R, J, I at au N. Banyaknya cara memil ih huruf ket iga ada 3 cara, huruf keempat ada 2 cara dan huruf kel ima t inggal 1 cara. Banyaknya cara menyusun huruf t ersebut ada 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara. b Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 3 yait u R, J at au N. Banyaknya cara memil ih huruf kedua, ket iga, keempat dan kel ima bert urut -t urut ada 4, 3, 2, dan 1 cara. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 cara. Eddy Hermanto, ST Kombinatorik 87 Cont oh 4 : Sembilan orang siswa akan duduk pada 5 kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan mereka ? Sol usi : Kursi pert ama ada 9 kemungkinan. Karena seorang siswa t idak akan mungkin duduk pada 2 kursi dal am wakt u yang bersamaan maka banyaknya kemungkinan yang duduk pada kursi kedua t inggal 8. Dan set erusnya. Banyaknya cara susunan mereka adal ah 9 x 8 x 7 x 6 x 5 = 15120. Cont oh 5 : Dari l ima angka 0, 3, 4, 5, 7 akan dibent uk sebuah bil angan yang t erdiri dari 4 angka. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a angka-angkanya bol eh berul ang b angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi : a Angka pert ama sebagai ribuan dapat dipilih 4 kemungkinan yait u 3, 4, 5 at au 7. Angka 0 t idak mungkin menj adi angka pert ama sebab akan menyebabkan bil angan yang dibent uk hanya t erdiri dari 3 angka. Karena boleh berul ang maka angka rat usan, puluhan dan sat uan masing-masing dapat dipil ih 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 4 x 5 x 5 x 5 = 500 bil angan. b Angka pert ama sebagai ribuan dapat dipilih 4 cara. Karena t idak bol eh berulang sedangkan sat u angka sudah dipakai pada angka pert ama maka banyaknya cara memil ih angka kedua hanya t inggal 4 cara. Misal kan angka pert ama dipil ih 3 maka pil ihan pada angka kedua adal ah 0, 4, 5 at au 7. Banyaknya pil ihan pada angka ket iga ada 3 cara dan banyaknya pil ihan pada angka keempat ada 2 cara. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 4 x 4 x 3 x 2 = 96 bil angan. Cont oh 6 : Denny akan membent uk bil angan genap 3 angka yang angka-angkanya diambil dari 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a angka-angkanya bol eh berul ang b angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi : a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 7 kemungkinan. Angka kedua dapat dipilih j uga dari 7 kemungkinan. Karena bil angan t ersebut genap maka angka sat uan hanya dapat dipil ih dari 4 kemungkinan yait u 2, 4, 6 at au 8. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 7 x 7 x 4 = 196 bil angan. b Sebuah bilangan dikat akan genap at au ganj il cukup dengan mel ihat angka sat uannya. Karena bil angan t ersebut genap maka pemil ihan pert ama dil akukan pada angka sat uan. Angka sat uan dapat dipil ih dari 4 kemungkinan, yait u 2, 4, 6 at au 8. Angka pul uhan dapat dipilih dari 6 cara sedangkan angka rat usan dapat dipil ih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 5 x 6 x 4 = 120 bilangan. Cont oh 7 : Dari t uj uh angka 1, 3, 5, 6, 7, 8, 9, Furkan akan membent uk sebuah bilangan 3 angka dan l ebih dari 600. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a angka-angkanya bol eh berul ang b angka-angkanya t idak bol eh berul ang Eddy Hermanto, ST Kombinatorik 88 Sol usi : Sebuah bil angan 3 angka dikat akan l ebih dari 600 j ika digit rat usan sekurang-kurangnya 6. a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 4 kemungkinan, yait u 6, 7, 8 at au 9. Angka kedua dapat dipil ih j uga dari 7 kemungkinan. Angka sat uan j uga dapat dipil ih dari 7 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 4 x 7 x 7 = 196 bil angan. b Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 4 kemungkinan, yait u 6, 7, 8 at au 9. Angka pul uhan dapat dipil ih dari 6 cara sedangkan angka sat uan dapat dipilih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 4 x 6 x 5 = 120 bilangan. Cont oh 8 : Hansen mendapat kan t ugas membent uk sebuah bil angan t iga angka kurang dari 500 yang angka-angka adal ah 2, 3, 4, 5, 6, 7 at au 9. Berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a angka-angkanya bol eh berul ang b angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi : Sebuah bil angan 3 angka dikat akan kurang dari 500 j ika digit rat usan kurang dari 5. a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipilih 3 kemungkinan, yait u 2, 3 at au 4. Angka kedua dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Angka sat uan j uga dapat dipilih dari 7 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 3 x 7 x 7 = 147 bil angan. b Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 3 kemungkinan, yait u 2, 3 at au 4. Angka pul uhan dapat dipil ih dari 6 cara sedangkan angka sat uan dapat dipilih dari 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 3 x 6 x 5 = 90 bil angan. Cont oh 9 : Dari t uj uh angka 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9 akan dibent uk sebuah bil angan 3 angka dan lebih dari 500. Berapa banyak bil angan genap yang dapat dibent uk j ika : a angka-angkanya bol eh berul ang b angka-angkanya t idak bol eh berul ang Sol usi : a Angka pert ama sebagai rat usan dapat dipil ih 4 kemungkinan, yait u 5, 6, 8 at au 9. Angka kedua dapat dipil ih dari 7 kemungkinan. Angka sat uan dapat dipilih dari 3 kemungkinan. Banyaknya bil angan yang t erbent uk ada 4 x 7 x 3 = 84 bil angan. b Pada bagian inil ah t imbul sebuah permasal ahan. Jika kit a menj awab banyaknya bil angan adalah 4 x 5 x 3 dengan al asan bahwa banyaknya bil angan yang mungkin unt uk angka rat usan ada 4 dan angka sat uan ada 3 sedangkan sisa bil angan t inggal 5 maka j awaban t ersebut adal ah kel iru. Jika angka rat usan yang dipilih adal ah 5 at au 9 maka banyaknya kemungkinan angka sat uan memang benar ada 3 yait u 4, 6 at au 8. Tet api bila angka rat usan yang dipilih adalah 6 at au 8 maka angka sat uan yang mungkin dipi lih hanya t inggal 2. Sedangkan j ika kit a menj awab banyaknya bil angan adal ah 4 x 5 x 2 j uga mengandung kesal ahan dengan al asan bahwa j ika angka rat usan yang ki t a pil ih adal ah 5 at au 9 maka kemungkin angka sat uan yang dipilih adalah t et ap 3. Lal u bagaimana cara kit a menj awab soal ini ? Ada dua al t ernat if yang akan dibahas. Al t ernat if 1 : Sudah dij el askan bahwa banyaknya kemungkinan unt uk angka rat usan ada 4 namun pemil ihan angka rat usan t ernyat a menimbul kan dampak yang berbeda unt uk angka sat uan. Maka penyel esaian soal ini adal ah dengan membagi kasus t erhadap pemil ihan angka rat usan. Kasus pert ama adal ah j ika angka rat usannya adalah 5 at au 9. Banyaknya cara memilih angka rat usan ada 2. Banyaknya kemungkinan angka sat uan t et ap ada 3 sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus pert ama ini adalah 2 x 5 x 3 = 30 bil angan. Eddy Hermanto, ST Kombinatorik 89 Kasus kedua adal ah j ika angka rat usannya adal ah 6 at au 8. Banyaknya cara memilih angka rat usan ada 2, yait u 6 at au 8 t ersebut . Banyaknya kemungkinan angka sat uan t inggal 2. Penj elasannya adal ah j ika angka rat usan yang dipil ih adal ah 6 maka kemungkinan angka sat uannya adal ah 4 at au 8 sedangkan j ika angka rat usan yang dipil ih adal ah 8 maka kemungkinan angka sat uannya adal ah 4 at au 6. Sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus kedua ini adal ah 2 x 5 x 2 = 20 bilangan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 30 + 20 = 50 bilangan. Al t ernat if 2 : Caranya sebenarnya sama dengan al t ernat if 1, t et api kit a memulainya dari angka sat uan. Kit a bagi kasus pemil ihan angka sat uan menj adi 2 kasus. Kasus pert ama adal ah j ika angka sat uan yang dipil ih adalah 4. Banyaknya cara memilih hanya ada 1. Angka rat usan yang dipil ih t et ap ada 4 kemungkinan yait u 5, 6, 8 at au 9. Sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus pert ama ini adal ah 1 x 5 x 4 = 20 bil angan. Kasus kedua adal ah j ika angka sat uan yang dipil ih adal ah 6 at au 8. Banyaknya cara memilih ada 2. Angka rat usan yang dipil ih t inggal 3 kemungkinan. Sedangkan angka pul uhan t inggal 5 kemungkinan. Banyaknya bil angan unt uk kasus kedua ini adal ah 2 x 5 x 3 = 30 bil angan. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 20 + 30 = 50 bilangan. LAT IHAN 1. A 1. Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf K, A, N, T, O, R j ika a. huruf pert ama dimul ai dari huruf hidup vokal b. huruf pert ama dimul ai dari huruf mat i konsonan 2. Tuj uh orang siswa akan duduk pada 7 kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan mereka ? 3. Suat u kel uarga t erdiri dari 2 orang put era dan 3 orang put eri. Apabila kel ima orang t ersebut berdiri sej aj ar dengan posisi yang put ra sel al u mengapit yang put ri, maka ada berapa f ormasi yang mungkin ? 4. Sebagai panit ia perl ombaan sepakbol a, Furkan mencoba menyusun t uj uh buah bendera A, B, C, D, E, F dan G pada posisi sej aj ar. Ada berapa banyak cara penyusunan j ika diinginkan bendera A dan B berada di uj ung ? 5. Weki mencoba membent uk sebuah bilangan 3 angka dengan angka-angkanya t idak bol eh ada yang sama dan angka-angka t ersebut diambil dari 3, 5, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk ? 6. Ada berapa banyak bilangan posit if genap t erdiri dari 5 angka berbeda dapat dibuat j ika t idak ada sat u pun angka 5 sert a angka ribuan harus angka 0 ? 7. Pada sebuah kl ub dansa, t erdapat 6 l aki-l aki dan 6 perempuan yang akan mel akukan lat ihan. Dal am lat ihan ini, l aki-laki harus dipasangkan dengan perempuan. Ada berapa banyak carakah membent uk 6 pasangan ini ? 8. Edwin sedang menyusun suat u bil angan t iga angka dengan angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8. Jika bil angan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut genap ? 9. Dari angka 3, 5, 6, 7 dan 8 dibuat bil angan yang t erdiri dari t iga angka berbeda. Di ant ara bil angan-bil angan t ersebut yang t erl et ak ant ara 300 dan 800 ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Eddy Hermanto, ST Kombinatorik 90 10. Dari angka-angka : 1, 2, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bil angan yang t erdiri at as 3 angka. Jika bil angan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut l ebih dari 245 ? 11. OSK 2003 Ada berapa banyak bil angan 4-angka digit yang semua angkanya genap dan bukan merupakan kelipat an 2003 ? 12. Sebuah bil angan 4 angka dibent uk dengan 3 angka di ant aranya adal ah 3, 4 dan 6. Jika keempat angkanya berbeda sert a bil angan t ersebut habis di bagi 3, maka ada berapa bil angan yang dapat dibent uk ? 13. Hansen sedang membent uk sebuah bilangan 3 angka kurang dari 600 yang angka-angkanya diambil dari 0, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a. angka-angkanya bol eh berul ang b. angka-angkanya t idak bol eh berul ang 14. Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk ol eh Furkan dengan syarat : bil angan t ersebut 4 angka, l ebih dari 4000 dan angka-angkanya diambil dari 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 ? a. angka-angkanya bol eh berul ang b. angka-angkanya t idak bol eh berul ang 15. Put u Wira sedang merancang sebuah bendera 6 st rip vert ikal . Warna masing-masing st rip vert ikal harus menggunakan sebagian at au kesel uruhan warna kuning, hij au, biru at au merah. Dal am berapa banyak rancangan ini dapat dibuat bil a dua st rip berdekat an t idak bol eh berwarna sama ? 16. Dari angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bil angan ganj il yang t ediri at as 3 angka. Jika bil angan it u t idak memuat angka yang sama dan kurang dari 500, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ? 17. Ada berapa banyak bil angan genap 3 angka, angka-angkanya t idak berul ang dan kurang dari 600 dapat dibent uk j ika angka-angkanya diambil dari 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ? 18. OSK 2004 Nomor pol isi mobil -mobil di suat u daerah sel al u t erdiri dari 4 angka. Jika j uml ah keempat angka pada set iap nomor j uga harus genap sert a angka 0 t idak bol eh menj adi angka pert ama, maka ada berapa banyak sist em penomoran mobil yang dapat dibent uk ? 19. Buah bent eng pada permainan cat ur mempunyai kemampuan unt uk bergerak at au ” memakan” buah l awan pada pet ak-pet ak yang berada pada sat u garis horizont al at au sat u garis vert ikal dengan dirinya. Hansen mencoba menyusun 3 buah bent eng yang ket iganya dianggap berbeda warna pada papan cat ur 8 x 8 sehingga ket iga bent eng t ersebut t idak sal ing ” makan” . Ada berapa cara penyusunan yang dapat dil akukannya ? 20. Pada suat u t urnamen diikut i ol eh 6 t im dengan sist em pert andingan sebagai berikut : Tim F mel awan Tim E dan t im yang kal ah sebagai j uara 6 sedangkan yang menang menghadapi t im D. Yang kal ah sebagai j uara 5 sedangkan pemenangnya menghadapi t im C. Yang kal ah sebagai j uara 4 sedangkan pemenangnya menghadapi t im B. Yang kal ah sebagai j uara 3 sedangkan pemenangnya menghadapi t im A. Yang kal ah sebagai j uara 2 sedangkan pemenangnya j uara 1. Ada berapa banyak susunan j uara yang dapat dibuat ?

B. Permut asi