Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
96
f . O, L, I, M, P, I, A, D, E ?
g. M, A, T, E, M, A, T, I, K, A ?
4. OSP 2006 Ada berapa banyaknya bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibent uk dengan cara
mengubah susunan angka dari 2504224 ? 5.
Banyaknya bil angan t iga angka yang memiliki sedikit nya sat u buah angka 4 dan sat u buah angka 5 adal ah
······
6. Banyaknya bil angan 5 angka yang memenuhi hasi l kal i angka-angkanya sama dengan 45 ada
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. Dal am suat u rapat OSIS yang t erdiri dari 6 orang siswa 2 di ant ara kakak beradik dal am posisi
mel ingkar. Ada berapa f ormasi duduk mel ingkar yang bisa t erbent uk j ika kakak beradik t ersebut harus berdekat an ?
8. Sama dengan nomor 5 t et api kakak beradik t ersebut t idak bol eh berdekat an.
9. OSP 2003 Empat pasang suami ist eri menont on pagel aran orkest ra. Tempat duduk mereka harus
dipisah ant ara kel ompok suami dan kelompok ist eri. Unt uk masing-masing kelompok disediakan 4 buah t empat duduk bersebel ahan dalam sat u barisan. Ada berapa banyak cara memberikan
t empat duduk kepada mereka ?
10. OSP 2009 Seekor semut hendak mel angkah ke makanan yang berada sej auh 10 langkah di
depannya. Semut t ersebut sedang mendapat kan hukuman, ia hanya bol eh mel angkah ke depan sebanyak kel ipat an t iga l angkah dan sel ebi hnya harus mel angkah ke bel akang. Tent ukan
banyaknya cara mel angkah agar bisa mencapai makanan, j ika ia harus mel angkah t idak l ebih dari dua pul uh l angkah. Cat at an : j ika semut mel angkah dua kal i dimana masing-masing melangkah
sekal i ke bel akang, maka dianggap sama saj a dengan dua l angkah ke bel akang.
C. Kombinasi
Def inisi dari kombinasi : Suat u kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang t ersedia t iap unsur t ersebut berbeda adal ah
suat u pilihan dari r unsur t adi t anpa memperhat ikan urut annya. Kat a kunci yang membedakan ant ara kombinasi dan permut asi adal ah
memperhat ikan at au t idak memperhat ikan urut an.
Banyaknya kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang t ersedia dengan r
≤
n dirumuskan dengan:
r r
n n
C
r n
⋅ −
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1. C. 1 Dengan memperhat ikan rumus di at as dan membandingkannya dengan rumus permut asi didapat
bahwa
n
P
r
≥
n
C
r
. Kapan t anda kesamaan t erj adi ? Pada buku l ain penul isan
n
C
r
dapat dit ul iskan dengan not asi at au
at au Cn, r yang memil iki pengert ian yang sama.
n r
C ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ r
n
Cont oh 22 : Ada berapa banyak cara memil ih 3 orang siswa dari 8 orang siswa yang akan dit unj uk sebagai
Pengurus Kelas.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
97
Sol usi : Persoal an ini berbeda dengan cont oh 14. Pada cont oh 14, urut an diperhat ikan karena ada Ket ua,
Wakil Ket ua dan Sekret aris. Pada cont oh 22, j ika kit a memil ih A, B dan C sebagai pengurus kel as maka hal t ersebut sama saj a dengan memil ih A, C dan B sebagai pengurus kel as. Perhat ikan bahwa urut an
t idak diperhat ikan.
Maka banyaknya cara ada
8
C
3
=
3 3
8 8
⋅ −
=
3 5
5 6
7 8
⋅ x
x x
=
3 6
7 8
x x
= 56 cara. Cont oh 23 :
Ada berapa cara membent uk t im t erdiri dari 2 l aki-l aki dan 2 wanit a yang diambil dari 8 orang l aki- l aki dan 6 orang wanit a ?
Sol usi : Banyaknya cara memilih 2 l aki-l aki dari 8 l aki-l aki adal ah
8
C
2
= 28. Banyaknya cara memilih 2 wani t a dari 6 wanit a adal ah
6
C
2
= 15. Dengan kaidah perkal ian, maka banyaknya cara membent uk t im t erdiri dari 2 l aki-l aki dan 2 wanit a
yang diambil dari 8 orang laki-l aki dan 6 orang wanit a adal ah 28 x 15 = 420 cara. Cont oh 24 :
Ada berapa banyak cara memilih secara acak 2 bola merah, 3 bol a put ih dan 1 bol a kuning dari dalam kot ak yang berisi 5 bol a merah, 4 bola put ih, 3 bol a kuning dan 4 bol a hij au ?
Sol usi : Banyaknya cara memilih 2 bol a merah dari 5 bol a merah adalah
5
C
2
= 10. Banyaknya cara memilih 3 bol a put ih dari 4 bol a put ih adal ah
4
C
3
= 4. Banyaknya cara memilih 1 bol a kuni ng dari 3 bol a kuning adal ah
3
C
1
= 3. Maka banyaknya cara memil ih 2 bola merah, 3 bola put ih dan 1 bol a kuning adal ah 10 x 4 x 3 = 120
cara. Cont oh 25 :
Jika t erdapat 8 siswa dan 7 siswi maka ada berapa cara membent uk panit ia beranggot akan 7 orang dengan syarat sedikit nya 5 siswi harus masuk dal am kepanit iaan t ersebut ?
Sol usi : Karena sedikit nya 7 orang panit ia t ersebut t erdiri dari 5 siswi, maka akan ada t iga kasus dal am
persoal an ini yait u panit ia t erdiri dari 5 siswi dan 2 siswa at au 6 siswi dan 1 siswa at au semuanya siswi.
Banyaknya susunan kasus pert ama adal ah
7
C
5
x
8
C
2
= 588 Banyaknya susunan kasus kedua adalah
7
C
6
x
8
C
1
= 56 Banyaknya susunan kasus ket iga adal ah
7
C
7
x
8
C = 1
Maka banyaknya cara membent uk panit ia adal ah 588 + 56 + 1 = 645. Cont oh 26 :
Seorang siswa harus menj awab 8 soal dari 10 soal yang diuj ikan dengan 5 soal pert ama harus dij awab. Ada berapa cara siswa t ersebut unt uk memil ih soal -soal yang akan dikerj akan ?
Sol usi : Lima soal pert ama harus dikerj akan yang berart i bukan merupakan pil ihan. Maka siswa t ersebut hanya
memil ih 3 soal dari 5 soal t ersisa. Banyaknya cara memilih =
5
C
3
= 10.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
98
Cont oh 27 : Ada berapa kat a t erdiri dari 3 huruf berbeda yang dapat dibuat apabil a disyarat kan bahwa kat a
t ersebut t erdiri dari sedikit nya 1 vokal dan sedikit nya sat u konsonan ? Sol usi :
Kemungkinan kat a t ersebut t erdiri dari 2 vokal 1 konsonan at au 1 vokal 2 konsonan. Kemungkinan pert ama menghasil kan kat a sebanyak
5
C
2
x
21
C
1
= 210 Kemungkinan kedua menghasil kan kat a sebanyak
5
C
1
x
21
C
2
= 1050 Banyaknya kat a = 210 + 1050 = 1260
Jika huruf -huruf nya t idak harus berbeda maka banyaknya kat a yang dapat t erbent uk = 2730. Rumus kombinasi
rumus 1.C.1 t ersebut dapat digunakan unt uk menghit ung banyaknya himpunan bagian yang t erdiri dari beberapa unsur dari suat u himpunan. Unt uk menghit ung banyaknya himpunan
bagian dari suat u himpunan t ermasuk himpunan kosong, dil ambangkan dengan { } yang t erdiri dari n unsur at au elemen t el ah dipel aj ari sewakt u SLTP yang dirumuskan dengan :
Banyaknya himpunan bagian A = 2
n
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1. C. 2 Cont oh 28 :
Misal kan himpunan A = {a, b, c, d}. Ada berapa banyak himpunan bagian A ? Sebut kan ? Sol usi :
Banyaknya himpunan bagian A = 2
4
= 16 t erdiri dari : Himpunan kosong yait u { } ada 1.
Himpunan bagian t erdiri dari 1 el emen yait u {a}, {b}, {c} dan {d} ada 4. Himpunan bagian t erdiri dari 2 el emen yait u {a, b}, {a, c}, {a, d}, {b, c}, {b, d} dan {c, d} ada 6.
Himpunan bagian t erdiri dari 3 el emen yait u {a, b, c}, {a, b, d}, {a, c, d} dan {b, c, d} ada 4. Himpunan bagian t erdiri dari 4 el emen yait u {a, b, c, d} ada 1
Bagaimana bil a kit a hanya ingin menghit ung banyaknya himpunan bagian yang t erdiri dari r el emen saj a ? Misal kan A adalah himpunan yang t erdiri dari n el emen. Banyaknya himpunan bagian t erdiri dari
r el emen dirumuskan dengan :
Banyaknya himpunan bagian A yang t erdiri dari r el emen =
n
C
r
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1. C. 3 Pada cont oh 28 didapat banyaknya himpunan bagian A yang t erdiri dari 3 el emen =
4
C
3
= 4. Banyaknya himpunan bagian A yang t erdiri dari 2 el emen =
4
C
2
= 6. Cont oh 29 :
Perhat ikan gambar.
Jika seseorang akan berj al an dari t it ik A ke t it ik B. Ada berapa banyak cara j al an t erpendek yang dapat dipil ihnya ?
Sol usi : Ada 11 l angkah yang harus dil akukan bagi orang t ersebut .
Persoal an ini sama saj a dengan mengisi 7 kot ak dari 11 kot ak yang ada dengan obyek ke kanan. Maka banyaknya cara j al an t erpendek yang dapat dipil ih =
11
C
7
= 330. Jadi, banyaknya cara j al an t erpendek yang dapat dipil ih orang t ersebut adal ah 330.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
99
Cont oh 30 : Ada berapa banyaknya himpunan bagian dari kat a OLIMPIADE ?
Sol usi : Banyaknya elemen dari kat a OLIMPIADE ada 8 yait u, O, L, I, M, P, A, D dan E karena huruf I muncul
dua kal i. Banyaknya himpunan bagian = 2
8
= 256
LAT IHAN 1. C
1. Jika
n
C
3
= 2n, maka t ent ukan
2n
C
7
. 2.
Dari 8 pemain bul ut angkis 5 di ant aranya put era akan dibent uk t im pasangan ganda campuran. Maka ada berapa pasangan ganda campuran yang dapat dibent uk ?
3. Dari sekelompok remaj a t erdiri at as 10 orang pria dan 7 wanit a dipilih 2 pria dan 3 wanit a, maka
ada berapa banyaknya cara memil ih ? 4.
Ada berapa banyak segit iga yang dapat dibuat dengan ket iga t it ik sudut segit iga t ersebut adal ah t it ik sudut -t it ik sudut suat u bal ok ?
5. Jika t erdapat 20 t it ik dengan t i dak ada t iga t it ik yang berada pada sat u garis l urus, maka
banyaknya segit iga yang dapat dibuat dengan ket iga t it ik sudut nya dipil ih dari 20 t it ik t ersebut adal ah
⋅⋅⋅⋅
6. Jika t erdapat 20 t it ik dengan 5 t i t ik berada pada sat u garis l urus, maka banyaknya segit iga yang
dapat dibuat dengan ket iga t it ik sudut nya dipilih dari 20 t it ik t ersebut adal ah
⋅⋅⋅⋅
7. OSK 2006 Dal am suat u pert emuan t erj adi 28 j abat t angan sal aman. Set iap dua orang sal aing
berj abat t angan pal ing banyak sekal i. Banyaknya orang yang hadir dal am pert emuan t ersebut pal ing sedikit adal ah
8. Dal am suat u pert emuan, set iap dua orang akan t epat bersal aman sat u kal i. Jika banyakya
sal aman yang t erj adi ada 45. Maka ada berapa orang yang hadir pada pert emuan t ersebut ? 9.
Liga It al ia t erdiri dari 20 t im dan berlaku f ormat kompet isi dengan sist em Home and Away di
ant ara 2 t im t epat t erj adi dua pert andingan. Ada berapa banyak pert andingan kesel uruhan ? Dal am suat u pert andingan t im yang memenangkan pert andingan mendapat kan nil ai 3, yang kal ah
0 dan seri mendapat kan nil ai 1. Pada akhir kompet isi j umlah nil ai sel uruh t im adal ah 1000. Ada berapa pert andingan yang berakhir dengan imbang ?
10. Dari 10 orang siswa yang t erdiri 7 orang put era dan 3 orang put eri akan dibent uk t im yang
berangot akan 5 orang. Jika disyarat kan anggot a t im t ersebut pal ing banyak 2 orang put eri, maka ada berapa banyak kemungkinan t im yang dapat dibent uk ?
11. SMA Negeri 5 Bengkul u akan memil ih 6 orang waki l sekol ah unt uk mengkut i suat u kont es. Kel ima
wakil sekol ah t ersebut akan dipilih dari 6 siswa put eri dan 5 siswa put era. Jika dipersyarat kan bahwa j umlah siswa put era minimal 4 orang, ada berapa cara memil ih wakil sekol ah t ersebut ?
12. Del egasi Indonesia ke suat u pert emuan pemuda int ernasional t erdiri dari 5 orang. Ada 7 orang
pria dan 5 orang wanit a yang mencal onkan diri unt uk menj adi anggot a del egasi. Jika
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
100
dipersyarat kan bahwa pal ing sedikit seorang anggot a it u harus wanit a, banyaknya cara memil ih anggot a del egasi adal ah
⋅⋅⋅⋅
13. OSP 2005 OSK 2008 Ada berapa banyak himpunan X yang memenuhi {1, 2}
⊆
X
⊆
{1, 2, 3, 4, 5} ? 14.
Hansen memil iki 8 orang sahabat dekat dengan 2 orang di ant aranya berpacaran. Pada suat u hari, ia ingin mengundang 5 dari 8 sahabat dekat nya t ersebut . Dengan berapa cara ia dapat
mengundang j ika 2 orang sahabat nya yang berpacaran harus diundang keduanya at au t idak mengundang keduanya ?
15. Sebuah kel as akan mengikut i l omba Fut sal . Dari 12 orang siswa put era akan dipilih 2 orang
berposisi sebagai kiper, 4 orang sebagai pemain bel akang dan 3 orang sebagai penyerang dan t idak ada pemain yang merangkap pada posi si l ain. Ada berapa cara memil ihnya ?
16. Dal am sebuah grup 15 anak-anak t erdapat 7 pramuka. Dal am berapa cara kit a dapat memil ih 12
anak sehingga di dalamnya t erdapat a.
t epat 6 anak pramuka b.
sedikit nya 6 anak pramuka 17.
NAHC 1995-1996 First Round Berapa banyakkah bil angan t erdiri dari 7 digit berbeda yang j ika dil ihat dari kiri ke kanan maka digit nya selal u naik ? Cont oh bilangan t ersebut adalah : 1234567,
1356789, 2345789, 3456789, 1235678. Digit 0 t idak diperbol ehkan t erlet ak pada digit pert ama. 18.
Semua bil angan enam angka dengan semua angkanya berbeda disusun. Pada masing-masing bil angan memenuhi set iap angka sel ain angka awal bersif at kurang dari angka yang ada di
kanannya. Cont oh bil angan t ersebut adal ah 123457, 134678, 346789, dan sebagainya. Jika semua bil angan t ersebut disusun dari bil angan t erkecil sampai ke t erbesar, maka bil angan yang berada di
urut an ke-45 adal ah
⋅⋅⋅⋅
19. Banyaknya bil angan asli berbent uk a
1
a
2
a
3
⋅⋅⋅
a
n-1
a
n
a
n-1
⋅⋅⋅
a
3
a
2
a
1
dimana 0 a
1
a
2
a
3
⋅⋅⋅
a
n-1
a
n
dan n
≥
2 ada
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
20. Naek mencoba mel et akkan 4 buah pion ident ik pada sebuah papan cat ur 4 x 4. Ada berapa cara ia
mel et akkan keempat pion t ersebut ? 21.
Lain l agi yang dil akukan Sut an. Ia mencoba mel et akkan dua pion put ih ident ik dan 2 pion hit am ident ik pada papan cat ur 4 x 4. Ada berapa cara ia mel et akkan keempat pion t ersebut ?
22. AIME 1983 Ada berapa banyak bilangan 4 angka dengan angka pert ama 1 dan t epat memil iki dua
angka yang sama ? Cont oh bil angan t ersebut adal ah 1447, 1050, 1231 dan sebagainya 23.
Pak Eddy mencoba membagi 6 orang siswa menj adi 2 kel ompok yang masing-masing beranggot a t iga orang. Berapa banyakkah cara membent uk kedua kel ompok ini ?
24. OSK 2003 Dari sepul uh orang siswa akan dibent uk 5 kel ompok, masing-masing beranggot a dua
orang. Berapa banyaknya cara membent uk kel ima kel ompok ini ? 25.
Sebuah benda akan digerakkan dari t it ik A0, 0 ke t it ik B6, 4 namun benda t ersebut hanya dapat bergerak ke at as ke kanan mel al ui t it ik-t it ik koordinat .
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
101
a. Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B ?
b. Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B namun harus
mel al ui t it ik P4, 2 ? c.
Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B namun harus mel al ui ruas PQ dengan Q4, 3 ?
26. Sebuah komit e mengadakan 40 pert emuan dengan 10 orang anggot a komit e hadir pada masing-
masing pert emuan. Set iap dua orang anggot a komit e menghadiri pert emuan secara bersamaan pal ing banyak sat u kal i. Tunj ukkan banyaknya anggot a komi t e t ersebut l ebih dari 60.
27. OSP 2003 Berapakah banyaknya cara memil ih t iga bi l angan berbeda sehingga t idak ada dua
bil angan yang berurut an, j ika bil angan-bil angan t ersebut dipil ih dari himpunan {1, 2, 3,
⋅⋅⋅
, 9, 10 } ? 28.
Ada berapa banyaknya himpunan bagian dari kat a MATEMATIKA ? 29.
Ahmadi berhasil menemukan semua himpunan bagian dari kat a “ BELAJARLAH” . Ada berapa banyak himpunan bagian yang j uml ah anggot anya pal ing banyak 5 ?
30. OSP 2009 Misal kan N menyat akan himpunan semua bil angan bulat posit if dan
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
∈ +
+ ∈
= N
n n
N n
S 1
2
2009
Banyaknya himpunan bagian dari S adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
D. Persoalan Gabungan
