Eddy Hermanto, ST Geometri
64
LAT IHAN 3. B
1. ABCD adalah persegi panj ang dengan AB = 4 dan BC = 3. Tent ukan j arak dari t it ik A ke garis BD.
2. ABCD adal ah persegi panj ang dengan panj ang sisi AB = 16 dan AD = 12. Dari t it ik D dibuat garis
memot ong t egak l urus diagonal AC di t it ik P. Dari t it ik B j uga dibuat garis yang memot ong t egak l urus diagonal AC di t it i k Q. Hit ungl ah panj ang PQ.
3. Pada sebuah segit iga siku-siku dengan sisi siku-siku 4 dan 6 dibuat set engah l ingkaran dengan
pusat l ingkaran t erl et ak pada hi pot enusa dan menyinggung kedua sisi siku-siku segit iga t ersebut . Tent ukanl ah j ari-j ari l ingkaran t ersebut ?
4. Pada j aj aran genj ang ABCD, E t erl et ak pada sisi BC. Garis DE memot ong diagonal AC di t it ik G.
Perpanj angan DE dan perpanj angan AB saling berpot ongan di t it ik F. Jika panj ang DG = 6 dan panj ang EG = 4, t ent ukan panj ang EF.
5. OSP 2006 Misal kan segit iga ABC siku-siku di B. Garis t inggi dari B memot ong sisi AC di t it ik D.
Jika t it ik E dan F bert urut -t urut adal ah t i t ik t engah BD dan CD, bukt ikan bahwa AE
⊥
BF.
C. Garis-garis pada segit iga
Ada empat garis yang akan dibahas a. Garis Bagi
Garis bagi adal ah suat u garis yang dit arik dari sal ah sat u t it ik sudut dan membagi sudut t ersebut menj adi dua bagian yang sama besar.
Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis bagi dalam
∆
ABC. i
Ket iga garis bagi bert emu di sat u t it ik ii
Pert emuan ket iga garis bagi merupakan t it ik pusat l ingkaran dalam
∆
ABC. Lingkaran dal am segit iga adalah l ingkaran yang menyinggung bagian dal am ket iga sisi segit iga.
iii Misal kan garis bagi dal am dibuat dari t it i k A memot ong sisi BC di D maka berlaku
DC BD
AC BA
=
Eddy Hermanto, ST Geometri
65
iv Misal kan j uga garis bagi l uar dibuat dari t it i k A memot ong perpanj angan sisi BC di D maka
j uga berl aku
DC BD
AC BA
=
b. Garis Tinggi Garis t inggi adal ah suat u garis yang dit arik dari sal ah sat u t it ik sudut dan memot ong t egak l urus
sisi di hadapannya.
Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis t inggi dal am
∆
ABC. i
Ket iga garis t inggi bert emu di sat u t it ik. ii
Misal kan AD adal ah garis t inggi dari
∆
ABC maka
∠
BDA =
∠
CDA = 90
o
. c. Garis Berat
Garis Berat disebut j uga median adal ah suat u garis yang dit arik dari salah sat u t it ik sudut dan memot ong pert engahan sisi di hadapannya.
Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis berat dal am
∆
ABC. i
Ket iga garis t inggi bert emu di sat u t it ik. ii
Perpot ongan ket iga garis berat merupakan t it ik berat
∆
ABC
Eddy Hermanto, ST Geometri
66
iii Misal kan ket iga garis berat garis AD, BE dan CF berpot ongan di t it ik G maka berl aku
AG : GD = BG : GE = CG : GF = 2 : 1. iv
Misal kan koordinat t it ik sudut
∆
ABC adal ah Ax
A
, y
A
, Bx
B
, y
B
dan Cx
C
, y
C
maka koordinat t it ik berat G
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
+ +
+ +
3 ,
3
C B
A C
B A
y y
y x
x x
d. Garis Sumbu Garis Sumbu adal ah suat u garis yang dit arik t egak l urus dari pert engahan sal ah sat u sisi dan
memot ong sisi di hadapannya.
Pada gambar di at as, t it ik D, E dan F bert urut -t urut adal ah pert engahan sisi AB, BC dan AC. Sif at -sif at yang berhubungan dengan ket iga garis sumbu dal am
∆
ABC. i
Ket iga garis sumbu bert emu di sat u t it ik. ii
Perpot ongan ket iga garis berat merupakan pusat l ingkaran l uar
∆
ABC.
Cont oh 10 : OSP 2004 Diberikan segit iga ABC dengan perbandingan panj ang sisi AC : CB = 3 : 4. Garis bagi sudut
l uar C memot ong perpanj angan BA di P t it ik A t erl et ak di ant ara t it ik-t it ik P dan B. Tent ukan perbandingan panj ang PA : AB.
Sol usi :
Karena CP adal ah garis bagi maka berlaku AC : CB = PA : PB. Maka PA =
4 3
PB.
PB = PA + AB
3 4
PA = PA + PB.
Eddy Hermanto, ST Geometri
67
PA = 3 AB Jadi, perbandingan panj ang PA : AB = 3 : 1
Cont oh 11 : OSK 2009 Diket ahui ABC adal ah segit iga siku-siku di A dengan AB = 30 cm dan AC = 40 cm. Misal kan
AD adalah garis t inggi dari dan E adal ah t it ik t engah AD. Nil ai dari BE + CE adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Karena ABC siku-siku di A maka BC = 50 cm.
BD = 30
⋅
50 30
= 18 cm. DC = 50
−
18 = 32 cm. AD =
50 40
30 x
= 24 cm DE = 12 cm
BE
2
= BD
2
+ DE
2
= 18
2
+ 12
2
= 6
2
⋅
13 CE
2
= CD
2
+ DE
2
= 32
2
+ 12
2
= 4
2
⋅
73 BE + CE =
13 6
73 4
+
Jadi, nil ai dari BE + CE adal ah
13 6
73 4
+
cm. Cont oh 12 :
AD dan BE adal ah garis berat suat u segit iga ABC. Kedua garis berat ini sal ing t egak l urus. Hit ung AB j ika AC = 8 dan BC = 6.
Sol usi : Misal G adal ah t it ik berat segit iga
Misal AD = 3x maka AG = 2x dan DG = x Misal BE = 3y maka BG = 2y dan EG = y
Pada
∆
DGB berlaku : x
2
+ 2y
2
= 9 sehingga x
2
+ 4y
2
= 9
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1 Pada
∆
EGA berlaku : y
2
+ 2x
2
= 9 sehingga 4x
2
+ y
2
= 16
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2 Juml ahkan persamaan 1 + 2 didapat 5x
2
+ 5y
2
= 25 sehingga x
2
+ y
2
= 5 Pada
∆
ABG berl aku AB
2
= 2x
2
+ 2y
2
= 4x
2
+ y
2
= 20 AB =
5 2
LAT IHAN 3. C
2. Pada segit iga ABC diket ahui panj ang AB = 5, BC = 7 dan AC = 9. Tit ik D t erl et ak pada AC sehingga
panj ang BD = 5. Tent ukan perbandingan AD : DC.
Eddy Hermanto, ST Geometri
68
3. Diket ahui
∆
ABC dengan AC = 2BC = 10 cm. Dari t it ik C dibuat garis bagi sudut ACB, sehingga memot ong AB di t it ik D. Dibuat garis DE t egak l urus pada AB, sehingga BC = EB. Dari t it ik D dibuat
garis t egak l urus pada EB dan memot ong EB di t it ik F. Jika panj ang AD = 8 cm. Hit ungl ah panj ang EF.
4. Segit iga sama sisi ABC ket iga t it ik sudut nya t erl et ak pada l ingkaran berj ari-j ari 1. Tit ik M dan N
berurut an adal ah pert engahan AC dan BC. Perpanj angan MN memot ong l ingkaran di t it ik P dengan panj ang NP MP. Maka panj ang NP adal ah ………………
5. OSP 2006 Pada segit iga ABC, garis bagi sudut A memot ong sisi BC di t it ik D. Jika AB = AD = 2 dan
BD = 1, maka CD =
⋅⋅⋅⋅⋅
6. Pada
∆
ABC, diket ahui AB = 5, AC = 6, BC = 4. Tit ik D t erl et ak pada sisi AB sehingga panj ang AD = 2. Dari t it ik D dibuat garis t egak l urus AC di E dan dibuat sebuah garis l agi dari D t egak l urus BC di
t it ik F. Tent ukan nil ai DE : DF. 7.
OSK 2009 Diberikan segit iga ABC t umpul
∠
ABC 90
o
, AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panj ang segmen garis BD, DE dan EC bert ur ut -t urut adal ah 2, 3, dan 6. Panj ang t erpendek
dari sisi segit iga ABC adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. AIME 1992 ABCD adal ah t rapesium dengan AB sej aj ar DC, diket ahui panj ang AB = 92, BC = 50, CD
= 19, DA = 70. P adal ah sebuah t it ik yang t erl et ak pada sisi AB sehingga dapat dibuat sebuah l ingkaran yang berpusat di P yang menyinggung AD dan BC. Tent ukan panj ang AP.
9. Tit ik M adalah t it ik t engah sisi BC dari segit iga ABC dengan AM : BC = 3 : 2. Bukt ikan bahwa garis
berat dari t it ik B dan C sal ing t egak l urus. 10.
Garis t inggi AP, BQ dan CR dari segit iga ABC berpot ongan di t it ik H. Jika panj ang AH = BC maka bukt ikan bahwa PR dan PQ t egak l urus.
D. Luas Segit iga
