BILANGAN BULAT, RASIONAL DAN PRIMA

Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 47 Cont oh 20 : OSP 2004 SMP MTs Unt uk bil angan bul at a dan b, a, b art inya bil angan bul at t ak negat if yang merupakan sisa a x b j ika dibagi ol eh 5. Bil angan yang dit unj ukkan ol eh − 3, 4 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi : Karena − 3 x 4 = − 12 = 5 x − 3 + 3 maka − 3, 4 = 3 Jadi, − 3, 4 = 3. LAT IHAN 6 : 1. OSK 2009 Jika 10 999999999 dibagi ol eh 7, maka sisanya adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 2. MATNC 2001 N adal ah bil angan asl i yang memenuhi N ≡ 2 mod 3 dan N ≡ 1 mod 2. Tent ukan sisanya j ika N dibagi 6. 3. MATNC 2001 Tent ukan angka pul uhan dari 7 707 . 4. OSP 2002 Berapakah sisa pembagian 43 43 43 ol eh 100 ? 5. OSP 2003 Berapakah sisa pembagian 1 ⋅ 1 + 2 ⋅ 2 + 3 ⋅ 3 + ⋅⋅⋅ + 99 ⋅ 99 + 100 ⋅ 100 ol eh 101 ? 6. MATNC 2001 Jika 10a ≡ 1 mod 13 maka 17a j ika dibagi 13 akan bersisa ⋅⋅⋅⋅⋅ 7. OSK 2005 Mana di ant ara 5 ekspresi , , , dan yang angka t erakhirnya bert urut -t urut bukan 5, 6, 8, 9 at au 0 ? 5 5 5 5 6 6 6 6 8 8 8 8 9 9 9 9 10 10 10 10 8. AIME 1989 Diberikan 133 5 + 110 5 + 84 5 + 27 5 = k 5 dengan k bil angan bul at . Tent ukan nil ai k. 9. MATNC 2001 Tent ukan sisanya j ika 5 301 dibagi 8. 10. MATNC 2001 Jika N ≡ 2 mod 4 dan M ≡ 8 mod 16 maka sisanya j ika MN dibagi 32 adal ah ⋅⋅⋅⋅ 11. AIME 1994 Fungsi f memenuhi f x + f x − 1 = x 2 unt uk semua bil angan real x. Diket ahui f 19 = 94. Tent ukan sisanya j ika f 94 dibagi 1000. 12. MATNC 2001 Tent ukan sisanya j ika 337. 500. 000 dibagi 128. 13. AIME 1994 Barisan 3, 25, 24, 48, ⋅⋅⋅⋅ adal ah barisan bil angan asl i yang merupakan kelipat an 3 dan kurang 1 dari suat u bil angan kuadrat . Tent ukan sisanya j ika suku ke-1994 dibagi 1000. 14. AIME 1988 Tent ukan bil angan kubik posit i f t erkecil yang berakhiran dengan 888.

7. BILANGAN BULAT, RASIONAL DAN PRIMA

Secara umum bil angan dibagi menj adi dua yait u bilangan real dan bil angan t idak real . Bil angan real dibagi menj adi dua yait u bil angan rasional dan bi l angan t ak rasional . Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 48 Bil angan rasional adalah bil angan real yang dapat diubah ke dal am bent uk b a dengan a dan b keduanya bil angan bul at dan b ≠ 0 sedangkan bilangan t ak rasional adalah bil angan real yang t idak dapat diubah ke dal am bent uk b a dengan a dan b keduanya bil angan bulat dan b ≠ 0. Cont oh bil angan t ak rasional adal ah √ 2, π , e, 2 l og 3 dan sebagainya. Bil angan rasional dapat dibagi menj adi dua yait u bilangan bul at dan bil angan pecahan. Sebuah bil angan bul at dapat diuraikan menj adi dalam bent uk angka-angkanya. Misal kan N ABCDEL adal ah suat u bil angan yang t erdiri dari n digit , maka dapat diuraikan menj adi A ⋅ 10 n-1 + B ⋅ 10 n-2 + C ⋅ 10 n-3 + D ⋅ 10 n-4 + ⋅⋅⋅ + N. Sebuah bil angan bul at sel al u dapat diubah menj adi bent uk pq + r dengan 0 ≤ r p. Sehingga j ika sebuah bil angan bul at dibagi ol eh p maka kemungkinan sisanya ada p yait u 0, 1, 2, ⋅⋅⋅ , p − 1. Sebagai cont oh j ika sebuah bilangan bul at dibagi ol eh 3 maka kemungkinan sisanya adal ah 0, 1 at au 2. Maka set iap bil angan bul at dapat di ubah menj adi sal ah sat u bent uk 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 unt uk suat u bil angan bul at k. Bil angan bul at posit if p merupakan bil angan prima j ika hanya memil iki t epat dua f akt or posit if yait u 1 dan p it u sendiri sedangkan bil angan bulat n merupakan bi langan komposit j ika n memil iki l ebih dari dua f akt or posit if . Bil angan prima genap hanya ada sat u yait u 2. Beberapa sif at bil angan prima : 1 Jika p prima maka unt uk sebarang bilangan asli n berlaku p ⏐ n at au FPBp, n = 1. 2 Bil angan prima hanya memil iki dua f akt or posit if yait u 1 dan p 3 Jika p prima membagi n 2 unt uk suat u bil angan asl i n maka p ⏐ n. 4 Jika p ⏐ ab unt uk a dan b bilangan asl i maka p ⏐ a at au p ⏐ b. Cont oh 21 : OSP 2002 Bilangan real 2, 525252 ⋅⋅⋅ adal ah bilangan rasional , sehi ngga dapat dit ul is dal am bent uk n m , dimana m, n bil angan-bil angan bul at , n ≠ 0. Jika dipil ih m dan n yang rel at if prima, berapakah m + n ? Sol usi : Misal X = 2, 525252 ⋅⋅⋅ maka 100X = 252, 525252 ⋅⋅⋅ 100X − X = 252, 525252 ⋅⋅⋅ − 2, 525252 ⋅⋅⋅ 99X = 250 99 250 = X Karena 250 dan 99 relat if prima, maka m = 250 dan n = 99 m + n = 349. Cont oh 22 : Tent ukan semua kemungkinan sisa j ika bil angan kuadrat dibagi ol eh 5. Sol usi : Sebuah bilangan bul at past i t ermasuk ke dal am salah sat u bent uk 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 at au 5k + 4 unt uk suat u bil angan bulat k. Jika n = 5k maka n 2 = 5k 2 ≡ 0 mod 5 Jika n = 5k + 1 maka n 2 = 5k + 1 2 ≡ 1 2 mod 5 ≡ 1 mod 5 Jika n = 5k + 2 maka n 2 = 5k + 2 2 ≡ 2 2 mod 5 ≡ 4 mod 5 Jika n = 5k + 3 maka n 2 = 5k + 3 2 ≡ 3 2 mod 5 ≡ 4 mod 5 Jika n = 5k + 4 maka n 2 = 5k + 4 2 ≡ 4 2 mod 5 ≡ 1 mod 5 Jadi, j ika bilangan kuadrat dibagi ol eh 5 maka kemungkinan sisanya adal ah 0, 1 at au 4. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 49 Cont oh 23 : Carilah bil angan bul at yang t erdiri dari 6 angka dengan angka t erakhir 7 yang menj adi 5 kal i bil angan semula j ika angka t erakhir t ersebut t empat nya dipindahkan menj adi angka pert ama. Sol usi : Misal bilangan t ersebut adal ah N = ABCDE7, maka 700000 + 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 5 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + 7 490000A + 49000B + 4900C + 490D + 49E = 699965 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 14285 Maka : A = 1 ; B = 4 ; C = 2 ; D = 8 ; E = 5 Jadi, b ilangan t ersebut adal ah 142857 Cont oh 24 : Suat u bil angan t erdiri dari 2 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 4 kal i j uml ah kedua angka t ersebut . Jika angka kedua dikurangi angka pert ama sama dengan 2, t ent ukan bil angan t ersebut . Sol usi : Misal bilangan it u adal ah ab maka 10a + b = 4a + b sehingga 2a = b Karena b − a = 2 maka 2a − a = 2. a = 2 dan b = 4 Jadi bil angan t ersebut adalah 24. LAT IHAN 7 : 1. Suat u bil angan t erdiri dari 3 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 12 kal i j uml ah ket iga angkanya. Tent ukan bilangan t ersebut . 2. OSK 2006 Nanang mencari semua bil angan empat -angka yang selisihnya dengan j umlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bil angan yang dit emukan Nanang t idak akan l ebih dari ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3. OSK 2002 Berapa banyak bil angan posit if yang kurang dari 10. 000 yang berbent uk x 8 + y 8 unt uk suat u bil angan bul at x 0 dan y 0 ? 4. AIME 1986 abc adal ah bil angan asl i t iga angka. Jika acb + bca + bac + cab + cba = 3194, t ent ukan nil ai dari abc. 5. Unt uk n bil angan asl i, sn adal ah penj uml ahan angka-angka n dal am desimal . Tent ukan nil ai n maksimal yang memenuhi n = 7 sn. 6. QAMT 2001 Tent ukan semua bilangan t iga angka yang merupakan penj uml ahan dari f akt orial digit - digit nya. 7. AIME 1997 M adal ah bilangan asl i dua angka ab sedangkan N adalah bil angan asl i t iga angka cde. Jika 9 ⋅ M ⋅ N = abcde, maka t ent ukan semua pasangan M, N yang memenuhi. 8. AIME 1992 Ada berapa banyak pasangan bil angan asl i berurut an yang diambil dari himpunan {1000, 1001, 1002, 1003, ⋅⋅⋅ , 2000} sehingga j ika dij umlahkan maka t idak ada ’ simpanan’ ? Sebagai cont oh j ika 1004 dij umlahkan dengan 1005 maka t idak ada ’ simpanan’ , t et api j ika 1005 dij uml ahkan dengan 1006 maka saat menj umlahkan 5 dengan 6 maka hasil nya adal ah 1 dan ’ simpanan’ 1. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 50 9. AIME 1989 Unt uk suat u digit d, maka 0, d25d25d25 ⋅⋅⋅ = 810 n dimana n ∈ N. Tent ukan n. 10. OSP 2003 Tent ukan semua bil angan bul at a dan b sehingga bil angan b a + + 3 2 merupakan bil angan rasional . 11. AIME 1992 Tent ukan penj uml ahan semua bil angan rasional posit if 30 a yang merupakan bent uk pal ing sederhana sert a nil ainya 10. 12. AIME 1992 Misal kan S adal ah himpunan semua bilangan rasional yang dapat dit ul is ke dalam bent uk 0, abcabcabcabc ⋅⋅⋅ dimana bilangan asl i a, b dan c t idak harus berbeda. Jika semua anggot a S dit ul is ke dal am bent uk s r dal am bent uk yang pal ing sederhana, maka ada berapa banyaknya nil ai r berbeda yang muncul . 13. Canadian MO 1971 Misalkan n adal ah bil angan l ima angka dan m adal ah bilangan empat angka yang didapat dengan menghapus angka yang ada di t engah dari bil angan n. Tent ukan semua nil ai n yang memenuhi bahwa m n adal ah bil angan bul at . 14. a. Diket ahui bahwa x + y dan x + y 2 keduanya bil angan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jelaskan. b. Diket ahui bahwa x + y, x + y 2 dan x + y 3 ket iganya bil angan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jel askan. 15. OSP 2009 Diberikan n adal ah bil angan asl i. Misal kan n x 2009 6 + = . Jika 1 3 2009 − − x x x merupakan bil angan rasional , t unj ukkan bahwa n merupakan kuadrat dari suat u bil angan asl i. 16. OSK 2006 Juml ah t iga bil angan prima pert ama yang l ebih dari 50 adal ah 17. OSP 2006 Bil angan prima dua angka t erbesar yang merupakan j umlah dua bilangan prima lainnya adal ah ⋅⋅⋅⋅ 18. OSK 2009 Banyaknya pasangan bil angan asl i x, y sehingga x 4 + 4y 4 merupakan bilangan prima adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅ 19. AIME 1999 Tent ukan bilangan t erkecil a 5 sehingga a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 membent uk barisan arit mat ika dengan a 1 , a 2 , a 3 , a 4 , a 5 semuanya bil angan prima. 20. OSK 2002 Bil angan bul at posit if p ≥ 2 disebut bil angan prima j ika ia hanya mempunyai f akt or 1 dan p. Tent ukan nil ai penj uml ahan semua bil angan prima diant ara 1 dan 100 yang sekal igus bersif at : sat u l ebihnya dari suat u bil angan kel ipat an 5 dan sat u kurangnya dari suat u bil angan kel ipat an 6. 21. OSP 2009 Bil angan prima p yang memenuhi 2p − 1 3 + 3p 2 = 6 p ada sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 22. Tent ukan semua bilangan prima n sehingga n, n + 10 dan n + 14 ket iganya bilangan prima. 23. Unt uk n bil angan bul at berapakah sehingga 11 ⋅ 14 n + 1 adal ah bil angan prima ? 24. AIME 1983 Tent ukan bil angan prima dua angka t erbesar yang membagi 200 C 100 . Cat at an : n C r didef inisikan r r n n ⋅ − dengan n = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ n. Cont oh 1 = 1, 2 = 2, 3 = 6, 4 = 24, 5 = 120. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 51 25. Bal t ic Way 1999 Mat hemat ical Team Cont est a, b, c dan d bilangan prima yang memenuhi a 3b 6c 12d dan a 2 − b 2 + c 2 − d 2 = 1749. Tent ukan semua kemungkinan nil ai dari a 2 + b 2 + c 2 + d 2 . 26. Brit ish MO 2006 2007 Round 1 Tent ukan 4 bilangan prima kurang dari 100 yang merupakan f akt or dari 3 32 − 2 32 . 27. OSP 2009 Diket ahui p adal ah bil angan prima sehingga persamaan 7p = 8x 2 − 1 dan p 2 = 2y 2 − 1 mempunyai sol usi x dan y berupa bilangan bul at . Tent ukan semua nil ai p yang memenuhi.

8. BILANGAN KUADRAT SEMPURNA.