Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
47
Cont oh 20 : OSP 2004 SMP MTs Unt uk bil angan bul at a dan b, a, b art inya bil angan bul at t ak negat if yang
merupakan sisa a x b j ika dibagi ol eh 5. Bil angan yang dit unj ukkan ol eh
−
3, 4 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Karena
−
3 x 4 =
−
12 = 5 x
−
3 + 3 maka
−
3, 4 = 3 Jadi,
−
3, 4 = 3.
LAT IHAN 6 :
1. OSK 2009 Jika 10
999999999
dibagi ol eh 7, maka sisanya adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. MATNC 2001 N adal ah bil angan asl i yang memenuhi N
≡
2 mod 3 dan N
≡
1 mod 2. Tent ukan sisanya j ika N dibagi 6.
3. MATNC 2001 Tent ukan angka pul uhan dari 7
707
. 4.
OSP 2002 Berapakah sisa pembagian
43
43
43
ol eh 100 ? 5.
OSP 2003 Berapakah sisa pembagian 1
⋅
1 + 2
⋅
2 + 3
⋅
3 +
⋅⋅⋅
+ 99
⋅
99 + 100
⋅
100 ol eh 101 ? 6.
MATNC 2001 Jika 10a
≡
1 mod 13 maka 17a j ika dibagi 13 akan bersisa
⋅⋅⋅⋅⋅
7. OSK 2005 Mana di ant ara 5 ekspresi
, ,
, dan
yang angka t erakhirnya bert urut -t urut bukan 5, 6, 8, 9 at au 0 ?
5 5
5
5
6 6
6
6
8 8
8
8
9 9
9
9
10 10
10
10
8. AIME 1989 Diberikan 133
5
+ 110
5
+ 84
5
+ 27
5
= k
5
dengan k bil angan bul at . Tent ukan nil ai k. 9.
MATNC 2001 Tent ukan sisanya j ika 5
301
dibagi 8. 10.
MATNC 2001 Jika N
≡
2 mod 4 dan M
≡
8 mod 16 maka sisanya j ika MN dibagi 32 adal ah
⋅⋅⋅⋅
11. AIME 1994 Fungsi f memenuhi f x + f x
−
1 = x
2
unt uk semua bil angan real x. Diket ahui f 19 = 94. Tent ukan sisanya j ika f 94 dibagi 1000.
12. MATNC 2001 Tent ukan sisanya j ika 337. 500. 000 dibagi 128.
13. AIME 1994 Barisan 3, 25, 24, 48,
⋅⋅⋅⋅
adal ah barisan bil angan asl i yang merupakan kelipat an 3 dan kurang 1 dari suat u bil angan kuadrat . Tent ukan sisanya j ika suku ke-1994 dibagi 1000.
14. AIME 1988 Tent ukan bil angan kubik posit i f t erkecil yang berakhiran dengan 888.
7. BILANGAN BULAT, RASIONAL DAN PRIMA
Secara umum bil angan dibagi menj adi dua yait u bilangan real dan bil angan t idak real . Bil angan real dibagi menj adi dua yait u bil angan rasional dan bi l angan t ak rasional .
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
48
Bil angan rasional adalah bil angan real yang dapat diubah ke dal am bent uk
b a
dengan a dan b keduanya bil angan bul at dan b
≠
0 sedangkan bilangan t ak rasional adalah bil angan real yang t idak dapat diubah ke dal am bent uk
b a
dengan a dan b keduanya bil angan bulat dan b
≠
0. Cont oh bil angan t ak rasional adal ah
√
2,
π
, e,
2
l og 3 dan sebagainya. Bil angan rasional dapat dibagi menj adi dua yait u bilangan bul at dan bil angan pecahan.
Sebuah bil angan bul at dapat diuraikan menj adi dalam bent uk angka-angkanya. Misal kan
N ABCDEL
adal ah suat u bil angan yang t erdiri dari n digit , maka dapat diuraikan menj adi A
⋅
10
n-1
+ B
⋅
10
n-2
+ C
⋅
10
n-3
+ D
⋅
10
n-4
+
⋅⋅⋅
+ N. Sebuah bil angan bul at sel al u dapat diubah menj adi bent uk pq + r dengan 0
≤
r p. Sehingga j ika sebuah bil angan bul at dibagi ol eh p maka kemungkinan sisanya ada p yait u 0, 1, 2,
⋅⋅⋅
, p
−
1. Sebagai cont oh j ika sebuah bilangan bul at dibagi ol eh 3 maka kemungkinan sisanya adal ah 0, 1 at au 2.
Maka set iap bil angan bul at dapat di ubah menj adi sal ah sat u bent uk 3k, 3k + 1 at au 3k + 2 unt uk suat u bil angan bul at k.
Bil angan bul at posit if p merupakan bil angan prima j ika hanya memil iki t epat dua f akt or posit if yait u 1 dan p it u sendiri sedangkan bil angan bulat n merupakan bi langan komposit j ika n memil iki l ebih dari dua
f akt or posit if . Bil angan prima genap hanya ada sat u yait u 2.
Beberapa sif at bil angan prima : 1
Jika p prima maka unt uk sebarang bilangan asli n berlaku p
⏐
n at au FPBp, n = 1. 2
Bil angan prima hanya memil iki dua f akt or posit if yait u 1 dan p 3
Jika p prima membagi n
2
unt uk suat u bil angan asl i n maka p
⏐
n. 4
Jika p
⏐
ab unt uk a dan b bilangan asl i maka p
⏐
a at au p
⏐
b. Cont oh 21 :
OSP 2002 Bilangan real 2, 525252
⋅⋅⋅
adal ah bilangan rasional , sehi ngga dapat dit ul is dal am bent uk
n m
, dimana m, n bil angan-bil angan bul at , n
≠
0. Jika dipil ih m dan n yang rel at if prima, berapakah m + n ? Sol usi :
Misal X = 2, 525252
⋅⋅⋅
maka 100X = 252, 525252
⋅⋅⋅
100X
−
X = 252, 525252
⋅⋅⋅ −
2, 525252
⋅⋅⋅
99X = 250
99 250
= X
Karena 250 dan 99 relat if prima, maka m = 250 dan n = 99 m + n = 349.
Cont oh 22 : Tent ukan semua kemungkinan sisa j ika bil angan kuadrat dibagi ol eh 5.
Sol usi : Sebuah bilangan bul at past i t ermasuk ke dal am salah sat u bent uk 5k, 5k + 1, 5k + 2, 5k + 3 at au 5k + 4
unt uk suat u bil angan bulat k. Jika n = 5k maka n
2
= 5k
2
≡
0 mod 5 Jika n = 5k + 1 maka n
2
= 5k + 1
2
≡
1
2
mod 5
≡
1 mod 5 Jika n = 5k + 2 maka n
2
= 5k + 2
2
≡
2
2
mod 5
≡
4 mod 5 Jika n = 5k + 3 maka n
2
= 5k + 3
2
≡
3
2
mod 5
≡
4 mod 5 Jika n = 5k + 4 maka n
2
= 5k + 4
2
≡
4
2
mod 5
≡
1 mod 5 Jadi, j ika bilangan kuadrat dibagi ol eh 5 maka kemungkinan sisanya adal ah 0, 1 at au 4.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
49
Cont oh 23 : Carilah bil angan bul at yang t erdiri dari 6 angka dengan angka t erakhir 7 yang menj adi 5 kal i bil angan
semula j ika angka t erakhir t ersebut t empat nya dipindahkan menj adi angka pert ama. Sol usi :
Misal bilangan t ersebut adal ah N = ABCDE7, maka 700000 + 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 5 100000A + 10000B + 1000C + 100D + 10E + 7
490000A + 49000B + 4900C + 490D + 49E = 699965 10000A + 1000B + 100C + 10D + E = 14285
Maka : A = 1 ; B = 4 ; C = 2 ; D = 8 ; E = 5
Jadi, b
ilangan t ersebut adal ah 142857 Cont oh 24 :
Suat u bil angan t erdiri dari 2 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 4 kal i j uml ah kedua angka t ersebut . Jika angka kedua dikurangi angka pert ama sama dengan 2, t ent ukan bil angan t ersebut .
Sol usi : Misal bilangan it u adal ah ab maka 10a + b = 4a + b sehingga 2a = b
Karena b
−
a = 2 maka 2a
−
a = 2. a = 2 dan b = 4
Jadi bil angan t ersebut adalah 24.
LAT IHAN 7 :
1. Suat u bil angan t erdiri dari 3 angka. Bilangan t ersebut sama dengan 12 kal i j uml ah ket iga angkanya.
Tent ukan bilangan t ersebut . 2.
OSK 2006 Nanang mencari semua bil angan empat -angka yang selisihnya dengan j umlah keempat angkanya adalah 2007. Banyaknya bil angan yang dit emukan Nanang t idak akan l ebih dari
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. OSK 2002 Berapa banyak bil angan posit if yang kurang dari 10. 000 yang berbent uk x
8
+ y
8
unt uk suat u bil angan bul at x 0 dan y 0 ?
4. AIME 1986 abc adal ah bil angan asl i t iga angka. Jika acb + bca + bac + cab + cba = 3194, t ent ukan
nil ai dari abc. 5.
Unt uk n bil angan asl i, sn adal ah penj uml ahan angka-angka n dal am desimal . Tent ukan nil ai n maksimal yang memenuhi n = 7 sn.
6. QAMT 2001 Tent ukan semua bilangan t iga angka yang merupakan penj uml ahan dari f akt orial digit -
digit nya. 7.
AIME 1997 M adal ah bilangan asl i dua angka ab sedangkan N adalah bil angan asl i t iga angka cde. Jika 9
⋅
M
⋅
N = abcde, maka t ent ukan semua pasangan M, N yang memenuhi. 8.
AIME 1992 Ada berapa banyak pasangan bil angan asl i berurut an yang diambil dari himpunan {1000, 1001, 1002, 1003,
⋅⋅⋅
, 2000} sehingga j ika dij umlahkan maka t idak ada ’ simpanan’ ? Sebagai cont oh j ika 1004 dij umlahkan dengan 1005 maka t idak ada ’ simpanan’ , t et api j ika 1005 dij uml ahkan dengan
1006 maka saat menj umlahkan 5 dengan 6 maka hasil nya adal ah 1 dan ’ simpanan’ 1.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
50
9. AIME 1989 Unt uk suat u digit d, maka 0, d25d25d25
⋅⋅⋅
=
810 n
dimana n
∈
N. Tent ukan n. 10.
OSP 2003 Tent ukan semua bil angan bul at a dan b sehingga bil angan
b a
+ +
3 2
merupakan bil angan rasional . 11.
AIME 1992 Tent ukan penj uml ahan semua bil angan rasional posit if
30 a
yang merupakan bent uk pal ing sederhana sert a nil ainya 10.
12. AIME 1992 Misal kan S adal ah himpunan semua bilangan rasional yang dapat dit ul is ke dalam bent uk
0, abcabcabcabc
⋅⋅⋅
dimana bilangan asl i a, b dan c t idak harus berbeda. Jika semua anggot a S dit ul is ke dal am bent uk
s r
dal am bent uk yang pal ing sederhana, maka ada berapa banyaknya nil ai r berbeda yang muncul .
13. Canadian MO 1971 Misalkan n adal ah bil angan l ima angka dan m adal ah bilangan empat angka yang
didapat dengan menghapus angka yang ada di t engah dari bil angan n. Tent ukan semua nil ai n yang memenuhi bahwa
m n
adal ah bil angan bul at . 14.
a. Diket ahui bahwa x + y dan x + y
2
keduanya bil angan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jelaskan.
b. Diket ahui bahwa x + y, x + y
2
dan x + y
3
ket iganya bil angan rasional . Apakah dapat dipast ikan x dan y keduanya rasional ? Jel askan.
15. OSP 2009 Diberikan n adal ah bil angan asl i. Misal kan
n x
2009 6
+ =
. Jika
1
3 2009
− −
x x
x
merupakan bil angan rasional , t unj ukkan bahwa n merupakan kuadrat dari suat u bil angan asl i.
16. OSK 2006 Juml ah t iga bil angan prima pert ama yang l ebih dari 50 adal ah
17. OSP 2006 Bil angan prima dua angka t erbesar yang merupakan j umlah dua bilangan prima lainnya
adal ah
⋅⋅⋅⋅
18. OSK 2009 Banyaknya pasangan bil angan asl i x, y sehingga x
4
+ 4y
4
merupakan bilangan prima adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
19. AIME 1999 Tent ukan bilangan t erkecil a
5
sehingga a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
membent uk barisan arit mat ika dengan a
1
, a
2
, a
3
, a
4
, a
5
semuanya bil angan prima. 20.
OSK 2002 Bil angan bul at posit if p
≥
2 disebut bil angan prima j ika ia hanya mempunyai f akt or 1 dan p. Tent ukan nil ai penj uml ahan semua bil angan prima diant ara 1 dan 100 yang sekal igus bersif at : sat u
l ebihnya dari suat u bil angan kel ipat an 5 dan sat u kurangnya dari suat u bil angan kel ipat an 6. 21.
OSP 2009 Bil angan prima p yang memenuhi 2p
−
1
3
+ 3p
2
= 6
p
ada sebanyak
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22. Tent ukan semua bilangan prima n sehingga n, n + 10 dan n + 14 ket iganya bilangan prima.
23. Unt uk n bil angan bul at berapakah sehingga 11
⋅
14
n
+ 1 adal ah bil angan prima ? 24.
AIME 1983 Tent ukan bil angan prima dua angka t erbesar yang membagi
200
C
100
. Cat at an :
n
C
r
didef inisikan
r r
n n
⋅ −
dengan n = 1
⋅
2
⋅
3
⋅ ⋅⋅⋅
⋅
n. Cont oh 1 = 1, 2 = 2, 3 = 6, 4 = 24, 5 = 120.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
51
25. Bal t ic Way 1999 Mat hemat ical Team Cont est a, b, c dan d bilangan prima yang memenuhi a 3b
6c 12d dan a
2
−
b
2
+ c
2
−
d
2
= 1749. Tent ukan semua kemungkinan nil ai dari a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
. 26.
Brit ish MO 2006 2007 Round 1 Tent ukan 4 bilangan prima kurang dari 100 yang merupakan f akt or dari 3
32
−
2
32
. 27.
OSP 2009 Diket ahui p adal ah bil angan prima sehingga persamaan 7p = 8x
2
−
1 dan p
2
= 2y
2
−
1 mempunyai sol usi x dan y berupa bilangan bul at . Tent ukan semua nil ai p yang memenuhi.
8. BILANGAN KUADRAT SEMPURNA.