FUNGSI TANGGA DAN CEILING

Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 52 5. Adakah di ant ara bilangan-bil angan 11, 111, 1111, ⋅⋅⋅ , 111 ⋅⋅⋅ 1111 22, 222, 2222, ⋅⋅⋅ , 222 ⋅⋅⋅ 2222 33, 333, 3333, ⋅⋅⋅ , 333 ⋅⋅⋅ 3333 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 99, 999, 9999, ⋅⋅⋅ , 999 ⋅⋅⋅ 9999 yang merupakan bil angan kuadrat sempurna ? 6. Canadian MO 1978 n adal ah bilangan bul at . Jika angka pul uhan n 2 adal ah t uj uh, apakah angka sat uan dari n 2 ? 7. OSK 2009 Banyaknya bilangan asl i kurang dari 1000 yang dapat dinyat akan dal am bent uk x 2 − y 2 unt uk suat u bil angan ganj il x dan y adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 8. Misal kan a dan b adal ah bil angan bul at yang memenuhi a + 2b dan b + 2a keduanya bil angan kuadrat sempurna. Bukt ikan bahwa a dan b keduanya merupakan kel ipat an 3. 9. Fl anders MO 1999 Final Round Tent ukan semua bilangan asli t erdiri dari 6 angka, misal kan abcdef , dengan a ≠ 0 dan d ≠ 0 yang memenuhi abcdef = def 2 . 10. Canadian MO 1969 Tunj ukkan bahwa t idak ada bilangan bul at a, b dan c yang memenuhi persamaan a 2 + b 2 − 8c = 6. 11. AIME 1999 Tent ukan penj uml ahan semua n ∈ N sehingga n 2 − 19n + 99 merupakan bil angan kuadrat sempurna. 12. Bukt ikan bahwa 2n 6k + 4n 2k + 11 t idak mungkin bil angan kuadrat . 13. Tent ukan pasangan bil angan bul at posit if x dan n yang memenuhi persamaan x 2 + 615 = 2 n . 14. Bal t ic Way 1994 Mat hemat ical Team Cont est Tent ukan semua pasangan bul at posit if a, b yang memenuhi 2 a + 3 b adal ah bil angan kuadrat sempurna.

9. FUNGSI TANGGA DAN CEILING

Perhat ikan f ungsi y = f x = ⎣ x ⎦ dengan t anda ⎣α⎦ menyat akan bil angan bul at t erbesar kurang dari at au sama dengan α . Jika x bernilai 3, 7 maka y = ⎣ 3, 7 ⎦ = 3. Jika 4 ≤ x 5 maka y = f x = 4. Jika 5 ≤ x 6 maka y = f x = 5. Dan set erusnya. Jika f ungsi t ersebut digambarkan dal am koordinat kart esian maka Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 53 Sel ain it u ada j uga yang disebut f ungsi ceil ing yang merupakan kebal kan dari f ungsi t angga. Perhat ikan f ungsi y = f x = ⎡ x ⎤ dengan t anda ⎡α⎤ menyat akan bil angan bul at t erkecil l ebih dari at au sama dengan α . Jika x bernilai 3, 7 maka y = ⎡ 3, 7 ⎤ = 4. Jika 4 ≤ x 5 maka y = f x = 5. Jika 5 ≤ x 6 maka y = f x = 6. Dan set erusnya. Graf ik f ungsinya pun agak mirip dengan f ungsi t angga. Dari pengert ian t ersebut akan didapat kan i x − 1 ⎣ x ⎦ ≤ x ii ⎣ x ⎦ ≤ ⎡ x ⎤ . Tanda kesamaan t erj adi hanya saat x adal ah bilangan bul at . Tanda ⎣ x ⎦ dapat digunakan unt uk menghit ung pangkat t ert inggi bil angan prima dari suat u bil angan n dengan t anda “ ” menyat akan f akt orial . Misal kan diket ahui n = 1 x 2 x ⋅⋅⋅ x n dan p suat u bil angan prima. Akan dicari nil ai k maksimal sehingga p k ⏐ n . Banyaknya bil angan di ant ara 1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , n yang merupakan kel ipat an prima adal ah ⎣ ⎦ p n . Tet api k maks ⎣ ⎦ p n unt uk p 2 ≤ n sebab masih ada bilangan kelipat an p 2 yang f akt ornya baru dihit ung sat u kal i. Maka unt uk mencari k maks dengan p 2 ≤ n, nil ai ⎣ ⎦ p n masih harus dit ambahkan dengan ⎣ ⎦ 2 p n . Tet api nil ai k maks ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 p n p n + unt uk p 3 ≤ n sebab masih ada bil angan kelipat an p 3 yang f akt ornya baru dihit ung dua kal i. Maka unt uk mencari k maks dengan p 3 ≤ n, nilai ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 2 p n p n + masih harus dit ambahkan dengan ⎣ ⎦ 3 p n . Demikian set erusnya. Jadi, nil ai k maks = ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L + + + 3 2 p n p n p n Cont oh 26 : ⎣ ⎦ 522007 sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi : 722 2 = 521284 522007 ; 723 2 = 522729 522007 maka ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L L , 722 522007 = ⎣ ⎦ 522007 = 722 Cont oh 27 : Bilangan 2009 = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ 2010 habis dibagi oleh 7 k unt uk suat u bilangan asli k t ert ent u. Tent ukan nil ai maksimal dari k. Sol usi : Di ant ara 2010 bil angan 1, 2, 3, ⋅⋅⋅ , 2010 t erdapat ⎣ ⎦ 7 2010 = 287 bilangan yang habis dibagi 7. Jika k maks = 287 maka akan ada bil angan kel ipat an 7 2 yang f akt or 7-nya hanya dihit ung sat u kal i. Maka nil ai k t ersebut harusl ah dit ambakan dengan ⎣ ⎦ 2 7 2010 = 41. Tet api f akt or 7 dari bil angan kel ipat an 7 3 = 343 hanya dihit ung dua kali padahal seharusnya t iga kal i. Maka hasil sebel umnya harus dit ambahkan dengan ⎣ ⎦ 3 7 2010 = 5. Karena t idak ada bil angan kel ipat an 7 4 dari 2010 bil angan t ersebut maka perhit ungan t el ah l engkap. ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 2 7 2010 7 2010 7 2010 + + = maks k k maks = 333. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 54 LAT IHAN 9 : 1. OSK 2003 Unt uk set iap bil angan real α , kit a def inisikan ⎣ ⎦ α sebagai bilangan bul at yang kurang dari at au sama dengan α . Sebagai cont oh ⎣ ⎦ 9 , 4 = 4 dan ⎣ ⎦ 7 = 7. Jika x dan y bilangan real sehingga ⎣ ⎦ x = 9 dan ⎣ ⎦ y = 12, maka nilai t erkecil yang mungkin dicapai ol eh ⎣ ⎦ x y − adalah ? 2. OSK 2007 Jika n adal ah bil angan asli sehingga 3 n adal ah f akt or dari 33 , maka nil ai n t erbesar yang mungkin adalah ⋅⋅⋅⋅ 3. OSP 2009 Pada bagian kanan 100 t erdapat digit 0 bert urut -t urut sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4. Angka t erakhir dari 26 Past i 0. Tent ukan banyaknya angka 0 berurut an yang t erl et ak pada akhir bil angan 26 . Maksud soal ini adalah 26 = ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 0000. Ada berapa banyak angka nol yang t erl et ak pada akhir bilangan t ersebut . 5. AIME 1994 Tent ukan bil angan asli n yang memenuhi ⎣ 2 l og 1 ⎦ + ⎣ 2 l og 2 ⎦ + ⎣ 2 l og 3 ⎦ + ⋅⋅⋅ + ⎣ 2 l og n ⎦ = 1994. 6. ARML 2000 Individual Jika dil ihat dari kiri ke kanan 7 digit t erakhir dari n adalah 8000000. Tent ukan nil ai n. Ingat n adal ah n f akt orial , n = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅⋅⋅⋅ n − 1 ⋅ n 7. COMC 2003 Lambang ⎣ a ⎦ memil iki art i bil angan bul at t erbesar kurang dari at au sama dengan a. Sebagai cont oh, ⎣ 5, 7 ⎦ = 5, ⎣ 4 ⎦ = 4 dan ⎣− 4, 2 ⎦ = − 5. Tent ukan semua bil angan real x yang memenuhi ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 5 4 3 = + x x . 8. Tanda ⎣ x ⎦ menyat akan bil angan bul at t erbesar kurang dari at au sama dengan x. Sebagai cont oh adal ah ⎣ 4, 2 ⎦ = 4, ⎣π⎦ = 3. Jika M = ⎣ ⎦ 3 10 10 33 66 + , berapakah sisanya j ika M dibagi 1000 ? 9. OSP 2005 Unt uk sembarang bil angan real a, not asi ⎣ a ⎦ menyat akan bil angan bul at t erbesar yang l ebih kecil dari at au sama dengan a. Jika x bil angan real yang memenuhi ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ 3 3 + = + x x , maka x − ⎣ x ⎦ t idak akan l ebih besar dari ⋅⋅⋅⋅⋅ 10. AIME 1991 Bil angan real x memenuhi ⎣ x + 0, 19 ⎦ + ⎣ x + 0, 20 ⎦ + ⎣ x + 0, 21 ⎦ + ⋅⋅⋅ + ⎣ x + 0, 91 ⎦ = 546. Tent ukan nilai dari ⎣ 100x ⎦ . 11. AIME 2002 Tent ukan bil angan asli n t erkecil sehingga t idak ada x bul at yang memenuhi ⎣ ⎦ x 2002 = n. 12. OSP 2009 Misal kan 2 1 5 + = q dan ⎣ x ⎦ menyat akan bil angan bul at t erbesar yang l ebih kecil at au sama dengan x. Nilai ⎣ q ⎣ qn ⎦⎦ − ⎣ q 2 n ⎦ unt uk sebarang n ∈ N adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Eddy Hermanto, ST Geometri 55

BAB III GEOMETRI