Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
101
a. Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B ?
b. Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B namun harus
mel al ui t it ik P4, 2 ? c.
Ada berapa cara benda t ersebut bergerak dari t it ik A hingga mencapai t it ik B namun harus mel al ui ruas PQ dengan Q4, 3 ?
26. Sebuah komit e mengadakan 40 pert emuan dengan 10 orang anggot a komit e hadir pada masing-
masing pert emuan. Set iap dua orang anggot a komit e menghadiri pert emuan secara bersamaan pal ing banyak sat u kal i. Tunj ukkan banyaknya anggot a komi t e t ersebut l ebih dari 60.
27. OSP 2003 Berapakah banyaknya cara memil ih t iga bi l angan berbeda sehingga t idak ada dua
bil angan yang berurut an, j ika bil angan-bil angan t ersebut dipil ih dari himpunan {1, 2, 3,
⋅⋅⋅
, 9, 10 } ? 28.
Ada berapa banyaknya himpunan bagian dari kat a MATEMATIKA ? 29.
Ahmadi berhasil menemukan semua himpunan bagian dari kat a “ BELAJARLAH” . Ada berapa banyak himpunan bagian yang j uml ah anggot anya pal ing banyak 5 ?
30. OSP 2009 Misal kan N menyat akan himpunan semua bil angan bulat posit if dan
⎭ ⎬
⎫ ⎩
⎨ ⎧
∈ +
+ ∈
= N
n n
N n
S 1
2
2009
Banyaknya himpunan bagian dari S adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
D. Persoalan Gabungan
Sebagaimana t el ah dij elaskan sebel umnya bahwa sebuah persoal an t erkadang bisa disel esaikan dengan hanya menggunakan sal ah sat u cara dari at uran pengisian t empat , permut asi at au kombinasi
saj a. Tet api kadang-kadang sebuah persoalan hanya dapat disel esaikan dengan menggunakan gabungan dari beberapa cara t ersebut . Berikut beberapa cont oh persoal an.
Cont oh 31 : Ada berapa banyak cara memilih 2 orang wanit a dari 5 orang wanit a dan 2 orang l aki-l aki dari 6 orang
l aki-l aki sebagai ket ua, wakil ket ua dan 2 orang kepal a seksi dari suat u organisasi dengan syarat bahwa ket ua dan wakil ket ua harus l aki-l aki dan 2 orang kepal a seksi harus wanit a ?
Sol usi : 2 orang laki-l aki dipil ih dari 6 orang laki-l aki sebagai ket ua dan wakil ket ua yang berart i urut an
diperhat ikan. Maka banyaknya cara memil ih ada
6
P
2
= 30 cara. 2 orang wanit a dipil ih dari 5 orang wanit a sebagai kepala seksi yang berart i urut an t idak diperhat ikan.
Maka banyaknya cara memil ih ada
5
C
2
= 10 cara. Jadi, banyaknya cara memil ih ada 30 x 10 = 300 cara.
Cont oh 32 : Dari l ima orang siswa suat u sekolah, akan diambil t iga orang sebagai t im cerdas cermat dengan sal ah
sat u sebagai j uru bicara dan dua l ainnya sebagai pendamping. Ada berapa cara memil ihnya ? Sol usi :
Jika kit a menj awab bahwa banyaknya cara dari persoal an di at as adal ah
5
P
3
= 60 cara, maka ada kesal ahan yang kit a buat . Benar j ika dikat akan bahwa t erdapat urut an karena ada yang berperan
sebagai j uru bicara dan ada yang berperan sebagai pendamping t et api dua orang yang berperan sebagai pendamping t idak diperhat ikan urut annya. Sebagai il ust rasi adalah j ika A sebagai j uru bicara,
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
102
B dan C sebagai pendamping maka hal t ersebut sama dengan A sebagai j uru bicara, C dan B sebagai pendamping yang berart i urut an pada pemilihan pendamping t idak diperhat ikan.
Jika kit a menj awab bahwa banyaknya cara dari persoal an di at as adalah
5
C
3
= 10 cara, maka kesal ahan yang dibuat adal ah bahwa pada pemilihan j uru bicara dan pendamping ada urut an yang
diperhat ikan. Sebagai il ust rasi j ika A sebagai j uru bicara, B dan C sebagai pendamping berbeda dengan B sebagai j uru bicara, A dan C sebagai pendamping.
Berikut adal ah beberapa al t ernat if penyel esaian soal t ersebut dengan beberapa sudut pandang yang berbeda.
Al t ernat if 1 : Dari 5 orang siswa kit a pil ih salah sat u sat u siswa yang akan berperan sebagai j uru bicara. Karena
hanya ada sat u yang dipil ih maka dapat dipandang sebagai permut asi maupun kombinasi. Banyaknya cara adalah
5
C
1
at au
5
P
1
= 5 cara. Sisanya adal ah memilih dua siswa dari 4 siswa yang akan berperan sebagai pendamping. Karena
urut an t idak diperhat ikan maka banyaknya cara adalah
4
C
2
= 6 cara. Dengan kaidah perkal ian banyaknya cara memil ih adal ah 5 x 6 = 30 cara.
Al t ernat if 2 : Yang dipilih t erl ebih dahul u adal ah 2 orang siswa dari 5 siswa yang berperan sebagai pendamping.
Karena urut an t idak diperhat ikan maka banyaknya cara adal ah
5
C
2
= 10 cara. Sel anj ut nya adal ah memil ih 1 siswa dari 3 siswa yang berperan sebagai j uru bicara. Banyaknya cara
ada 3 cara. Dengan kaidah perkal ian banyaknya cara memil ih adal ah 10 x 3 = 30 cara.
Al t ernat if 3 : Terl ebih dahul u dipil ih 3 siswa dari 5 siswa t ersebut t anpa memperhat ikan urut an. Banyaknya cara
adal ah
5
C
3
= 10 cara. Dari 3 orang t ersebut akan disusun. Pada susunan t ersebut akan t erdapat dua obyek yang sama. Hal
ini sama saj a dengan menyusun huruf A, A, B sebagaimana t el ah dij el askan pada persoalan sebel umnya. Banyaknya cara menyusuan 3 obyek dengan t erdapat 2 obyek yang sama =
2 3
= 3 cara. Dengan kaidah perkal ian banyaknya cara memil ih adal ah 10 x 3 = 30 cara.
Cont oh 33 : Dari 4 orang akan dipil ih 3 orang yang akan duduk pada 3 kursi yang membent uk l ingkaran. Ada
berapa banyak susunan yang dapat dibuat ? Sol usi :
Langkah pert ama adalah memil ih 3 orang dari 4 orang, banyaknya cara adalah
4
C
3
= 4 cara. Banyaknya cara menyusun 3 orang yang duduk pada 3 kursi yang membent uk l ingkaran adalah 3
−
1 = 2 cara.
Dengan kaidah perkal ian banyaknya cara menyusun 3 orang dari 4 orang yang akan duduk pada 3 kursi yang membent uk l ingkaran adal ah 4 x 2 = 8 cara. Dapat kah ada menyebut kan semua kemungkinan
t ersebut j ika keempat orang t ersebut adal ah A, B, C dan D. Cont oh 34 :
Sebuah bangun segienam berat uran dibagi menj adi 6 buah segit iga sama sisi. Keenam segit iga t ersebut akan diberi warna yang berbeda. Jika t erdapat 2007 bangun segienam berat uran sert a
diinginkan t idak ada corak yang sama di ant ara dua buah bangun segienam, maka ada berapa minimal warna yang diperl ukan ?
Sol usi : Sebuah bangun segienam berat uran j ika dibagi menj adi 6 buah segit iga sama sisi, maka keenam
segit iga t ersebut akan membent uk l ingkaran.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
103
Enam buah warna j ika digunakan unt uk mewarnai sat u buah segienam berat uran maka banyaknya corak yang dapat dibent uk adal ah 6
−
1 = 120. Misal kan ada n buah warna. Dari n warna ini akan dipil ih 6 buah warna. Banyaknya cara
n
C
6
. Maka j ika ada n buah warna maka banyaknya corak yang dapat dibent uk =
n
C
6
⋅
6
−
1
≥
2007
2007
6 5
4 3
2 1
≥
− −
− −
− n
n n
n n
n
nn
−
1n
−
2n
−
3n
−
4n
−
5
≥
12042 Jika n = 7 maka nn
−
1n
−
2n
−
3n
−
4n
−
5 = 5040
≤
12042 Jika n = 8 maka nn
−
1n
−
2n
−
3n
−
4n
−
5 = 20160
≥
12042 Maka banyaknya warna minimal yang diperl ukan = 8 warna.
Cont oh 35 : Tent ukan banyaknya susunan 3 huruf yang t erdapat pada kat a COMBINATION ?
Sol usi : Terdapat 8 huruf berbeda dari combinat ion yait u C, O, M, B, I, N, A, T.
Ada t erdapat 2 buah huruf O yang sama, 2 buah hur uf I yang sama dan 2 buah huruf N yang sama. Susunan 3 huruf t ersebut dapat berupa ket iga-t iganya berbeda huruf at au dari t iga huruf t ersebut
t erdapat 2 huruf yang sama dan 1 huruf berbeda t et api t idak mungkin ket iganya huruf nya sama.
•
Jika ket iga huruf nya berbeda. Banyaknya susunan adal ah sama dengan memil i h 3 huruf dari 8 huruf berbeda yang ada.
Banyaknya susunan =
8
P
3
= 336
•
Jika t erdapat 2 huruf yang sama. 2 huruf yang sama t ersebut dapat dipil ih dari 3 kemungkinan O, I at au N sedangkan 1 huruf
t erakhir dapat dipil ih dari 7 kemungkinan huruf t ersisa. Susunan 3 huruf dengan 2 huruf yang sama t ersebut merupakan permut asi dengan ada unsur yang
sama.
Banyaknya susunan 3 huruf dengan 2 huruf yang sama pada soal =
2 3
x 3 x 7 = 63 Maka banyaknya susunan 3 huruf yang t erdapat pada COMBINATION = 336 + 63 = 399.
LAT IHAN 1. D
1. Kel ompok A t erdiri dari 3 orang, kel ompok B t erdiri dari 5 orang dan kel ompok C t erdiri dari 10
orang. Dari anggot a kel ompok A dan B masing-masing akan dipilih 1 orang sedangkan dari kel ompok C akan dipil ih 2 orang. Keempat orang t ersebut akan dipilih kembal i unt uk menj abat
sebagai Ket ua, Wakil Ket ua dan 2 orang Sekret aris. Ada berapa banyak cara memil ih dari 18 orang t ersebut ?
2. OSN 2003 Bal airung sebuah ist ana berbent uk segi-6 berat uran dengan
panj ang sisi 6 met er. Lant ai bal airung t ersebut dit ut upi dengan ubin-ubin keramik berbent uk segit iga samasisi dengan panj ang sisi 50 cm. Set iap ubin
keramik dibagi ke dal am 3 daerah segit iga yang kongruen, l ihat gambar. Set iap daerah segit iga diberi sat u warna t ert ent u sehingga set iap ubin
memil iki t iga warna berbeda. Raj a menginginkan agar t idak ada dua ubin yang memil iki pol a warna sama. Pal ing sedikit berapa warna yang
diperl ukan ?
3. Ada berapa banyak susunan 5 huruf dengan t epat 1 huruf R dan 1 huruf I j ika huruf -huruf t ersebut
diambil dari kat a “ BERANI” ? 4.
Lima huruf yang t idak harus berbeda diambil dari kat a SOEHARTO l al u disusun. Ada berapa banyak susunan kel ima huruf t ersebut ?
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
104
5. Hansen mencoba menyusun 4 huruf yang huruf -huruf nya diambil dari kat a TERCECER. Ada berapa
susunan yang didapat ? 6.
Denny mencoba menyusun 4 huruf yang huruf -huruf nya diambil dari kat a MATEMATIKA. Ada berapa susunan yang didapat ?
E. Kombinasi dengan Pengulangan
