Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
90
10. Dari angka-angka : 1, 2, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bil angan yang t erdiri at as 3 angka. Jika
bil angan it u t idak memuat angka yang sama, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk dengan syarat bilangan t ersebut l ebih dari 245 ?
11. OSK 2003 Ada berapa banyak bil angan 4-angka digit yang semua angkanya genap dan bukan
merupakan kelipat an 2003 ? 12.
Sebuah bil angan 4 angka dibent uk dengan 3 angka di ant aranya adal ah 3, 4 dan 6. Jika keempat angkanya berbeda sert a bil angan t ersebut habis di bagi 3, maka ada berapa bil angan yang dapat
dibent uk ?
13. Hansen sedang membent uk sebuah bilangan 3 angka kurang dari 600 yang angka-angkanya diambil
dari 0, 3, 4, 6, 7, 8 dan 9. Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk j ika : a.
angka-angkanya bol eh berul ang b.
angka-angkanya t idak bol eh berul ang 14.
Ada berapa banyak bil angan yang dapat dibent uk ol eh Furkan dengan syarat : bil angan t ersebut 4 angka, l ebih dari 4000 dan angka-angkanya diambil dari 0, 1, 3, 4, 5, 6, 7, dan 9 ?
a. angka-angkanya bol eh berul ang
b. angka-angkanya t idak bol eh berul ang
15. Put u Wira sedang merancang sebuah bendera 6 st rip vert ikal . Warna masing-masing st rip vert ikal
harus menggunakan sebagian at au kesel uruhan warna kuning, hij au, biru at au merah. Dal am berapa banyak rancangan ini dapat dibuat bil a dua st rip berdekat an t idak bol eh berwarna sama ?
16. Dari angka-angka : 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8 akan disusun suat u bil angan ganj il yang t ediri at as 3 angka.
Jika bil angan it u t idak memuat angka yang sama dan kurang dari 500, maka ada berapa banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ?
17. Ada berapa banyak bil angan genap 3 angka, angka-angkanya t idak berul ang dan kurang dari 600
dapat dibent uk j ika angka-angkanya diambil dari 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8 ? 18.
OSK 2004 Nomor pol isi mobil -mobil di suat u daerah sel al u t erdiri dari 4 angka. Jika j uml ah keempat angka pada set iap nomor j uga harus genap sert a angka 0 t idak bol eh menj adi angka
pert ama, maka ada berapa banyak sist em penomoran mobil yang dapat dibent uk ?
19. Buah bent eng pada permainan cat ur mempunyai kemampuan unt uk bergerak at au ” memakan”
buah l awan pada pet ak-pet ak yang berada pada sat u garis horizont al at au sat u garis vert ikal dengan dirinya. Hansen mencoba menyusun 3 buah bent eng yang ket iganya dianggap berbeda
warna pada papan cat ur 8 x 8 sehingga ket iga bent eng t ersebut t idak sal ing ” makan” . Ada berapa cara penyusunan yang dapat dil akukannya ?
20. Pada suat u t urnamen diikut i ol eh 6 t im dengan sist em pert andingan sebagai berikut : Tim F
mel awan Tim E dan t im yang kal ah sebagai j uara 6 sedangkan yang menang menghadapi t im D. Yang kal ah sebagai j uara 5 sedangkan pemenangnya menghadapi t im C. Yang kal ah sebagai j uara
4 sedangkan pemenangnya menghadapi t im B. Yang kal ah sebagai j uara 3 sedangkan pemenangnya menghadapi t im A. Yang kal ah sebagai j uara 2 sedangkan pemenangnya j uara 1.
Ada berapa banyak susunan j uara yang dapat dibuat ?
B. Permut asi
Sebel um dibahas l ebih j auh mengenai permut asi, akan diperkenal kan t erl ebih dahul u def inisi dan not asi f akt orial .
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
91
Unt uk set iap n bil angan asl i, didef inisikan : n = 1 x 2 x 3 x
⋅⋅⋅
x n
−
2 x n
−
1 x n Not asi n dibaca n f akt orial
Dedef inisikan j uga 1 = 1 dan 0 = 1. Sebagai il ust rasi 2 = 1 x 2 = 2, 3 = 1 x 2 x 3 = 6, 4 = 1 x 2 x 3 x 4 = 24, 5 = 120.
n = n x n
−
1 = n x n
−
1 x n
−
2 = n x n
−
1 x n
−
2 x n
−
3 dan set erusnya. 1
Permut asi dari Unsur-unsur Yang Berbeda Permut asi r obyek yang diambil dari n obyek berbeda, dengan r
≤
n adalah
n
P
r
yang didef inisikan dengan :
r n
n P
r n
− =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1. B. 1. 1 Perhat ikan bahwa dalam permut asi urut an sangat diperhat ikan. Ini berbeda dengan kombinasi
yang t idak memperhat ikan urut an yang nant inya akan dibahas pada bagian l ain. Cont oh 10 :
Misal kan dari huruf -huruf P, Q dan R akan dibuat susunan yang t erdiri dari 3 huruf maka ada berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?
Sol usi : Dengan at uran pengisian t empat yang t el ah dipel aj ari sebel umnya dapat diket ahui bahwa
banyaknya susunan adal ah 3 x 2 x 1 = 6 susunan. Jika kit a daf t arkan sat u-sat u maka susunan t ersebut adal ah PQR, PRQ, QPR, QRP, RPQ, RQP
yang semuanya ada 6 susunan. Perhat ikan bahwa PQR dan PRQ hanya menggunakan huruf P, Q dan R. Tet api kedua susunan
t ersebut dianggap berbeda karena urut annya diperhat ikan. Maka kit a dapat menggunakan permut asi 3 unsur yang diambil dari 3 unsur.
Banyaknya susunan
3
P
3
=
3 3
3 −
=
3
= 6 susunan sebab 3 = 6 dan 0 = 1. Cont oh 11 :
Misal kan dari huruf -huruf A, B, C dan D akan di buat susunan yang t erdiri dari 2 huruf maka ada berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?
Sol usi : Dengan at uran pengisian t empat , banyaknya susunan adal ah 4 x 3 = 12 susunan.
Jika kit a daf t arkan sat u-sat u maka susunan t ersebut adal ah AB, AC, AD, BA, BC, BD, CA, CB, CD, DA, DB dan DC yang semuanya ada 12 susunan.
Perhat ikan bahwa AB dan BA hanya menggunakan huruf A dan B. Tet api kedua susunan t ersebut dianggap berbeda karena urut annya diperhat ikan. Maka kit a dapat menggunakan permut asi 2
unsur yang diambi l dari 4 unsur.
Banyaknya susunan
4
P
2
=
2 4
4 −
=
2 4
= 12 susunan sebab 4 = 24 dan 2 = 2. Cont oh 12 :
Ada berapa banyak bil angan t erdiri dari 3 angka berbeda yang disusun dari angka-angka 1, 2, 3, 4 dan 5 ?
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
92
Sol usi : Dari bahasa soal , kit a dapat menarik kesimpul an bahwa j ika menggunakan at uran pengisian
t empat maka bil angan t ersebut masuk dal am kat egori t idak berul ang l ihat penj el asan sebel umnya.
Karena 123 dianggap berbeda dengan 231 maka berart i urut an diperhat ikan. Kit a dapat menghit ung banyaknya susunan dengan permut asi 3 unsur yang diambil dari 5 unsur
berbeda. Banyaknya bil angan adal ah
5
P
3
= 60 bilangan. Cont oh 13 :
Berapa banyak bil angan dapat dibent uk dari sebagian at au semua angka 2, 3, 4, 5 j ika t idak bol eh ada angka yang diulang ?
Sol usi : Bil angan yang digunakan dapat hanya t erdiri dari 1, 2, 3 at au 4 angka.
Jika bil angan t ersebut t erdiri dari 1 angka saj a maka banyaknya bil angan =
4
P
1
. Jika bil angan t ersebut t erdiri dari 2 angka saj a maka banyaknya bil angan =
4
P
2
. Jika bil angan t ersebut t erdiri dari 3 angka saj a maka banyaknya bil angan =
4
P
3
. Jika bil angan t ersebut t erdiri dari 4 angka maka banyaknya bil angan =
4
P
4
. Banyaknya bil angan dapat dibent uk adal ah
4
P
1
+
4
P
2
+
4
P
3
+
4
P
4
= 4 + 12 + 24 + 24 = 64 Cont oh 14 :
Ada berapa banyak cara memil ih 3 orang siswa dari 8 orang siswa yang akan dit unj uk sebagai Ket ua, Wakil Ket ua dan Sekret aris ?
Sol usi : Perhat ikan bahwa pada soal ini urut an diperhat ikan. Misal kan 3 siswa yang t erpil ih adal ah A, B
dan C. Dengan int uisi, j el as bahwa j ika A sebagai Ket ua, B sebagai Wakil Ket ua dan C sebagai Sekret aris berbeda susunannya j ika A sebagai Ket ua, C sebagai Wakil Ket ua dan B sebagai
Sekret aris. Maka penyel esaian soal ini dapat dil akukan dengan permut asi 3 obyek yang dipilih dari 8 obyek.
Banyaknya cara adalah
8
P
3
=
3 8
8 −
=
5 5
6 7
8 x
x x
= 8 x 7 x 6 = 336 cara. Cont oh 15 :
Sembilan orang siswa akan duduk pada l ima kursi sej aj ar. Ada berapa cara susunan yang dapat mereka buat ?
Sol usi : Banyaknya susunan adal ah
9
P
5
= 15120. 2
Permut asi Yang Memuat Beberapa Unsur Yang Sama Pada cont oh 10, huruf -huruf yang disediakan semuanya berbeda yait u P, Q dan R. Bagaimana
j ika huruf -huruf yang disediakan ada yang sama. Misal kan pada cont oh berikut : Cont oh 16 :
Misal kan dari huruf -huruf P, P dan Q akan dibuat susunan yang t erdiri dari 3 huruf maka ada berapa banyak susunan yang dapat dibuat ?
Sol usi : Kit a t idak bisa langsung menj awab bahwa banyaknya susunan adal ah
3
P
3
= 6 karena dal am kenyat aannya banyaknya susunan hanya ada 3, yait u PPQ, PQP dan QPP.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
93
Banyaknya permut asi n unsur yang memuat k unsur yang sama, m unsur yang sama dan p unsur yang sama dengan k + m + p
≤
n dit ent ukan dengan rumus
p m
k n
P ⋅
⋅ =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1. B. 2. 1 Pada cont oh 16, ada 3 unsur yait u P, P dan Q dengan t erdapat 2 unsur P yang sama maka
banyaknya susunan adal ah
2 3
= 3. Cont oh 17 :
Ada berapa banyak susunan yang dapat dibent uk dari huruf -huruf T, E, R, C, E, C, E, R? Sol usi :
Banyaknya unsur ada 8 dengan t erdapat 3 huruf E yang sama, 2 huruf R yang sama dan 2 huruf C
yang sama, maka banyaknya susunan =
2 2
3 8
⋅ ⋅
=
1 2
1 2
1 2
3 1
2 3
4 5
6 7
8 x
x x
x x
x x
x x
x x
= 1680 susunan. Cont oh 18 :
Ada berapa banyaknya bil angan 7 angka berbeda yang dapat dibent uk dengan cara mengubah susunan angka dari 3464383 t ermasuk bil angan 3464383 it u sendiri ?
Sol usi : Banyaknya angka ada 7 dengan t erdapat angka 3 muncul 3 kal i dan angka 4 muncul 2 kal i.
Maka banyaknya bil angan yang dapat dibent uk adal ah =
2 3
7 ⋅
= 420. Cont oh 19 :
Perhat ikan gambar.
Jika seseorang akan berj al an dari t it ik A ke t i t ik B. Ada berapa banyak cara j al an t erpendek yang dapat dipil ihnya ?
Sol usi : Jal an t erpendek yang bisa dipil ih orang t ersebut adal ah j ika ia memil ih j al an ke kanan at au ke
at as t anpa berj al an ke kiri at au ke bawah. Misal kan j ika berj al an ke kanan diberi t anda 1 dan j ika ke at as diberi t anda 2.
Jadi j ika 12111211212 maka orang t ersebut berj al an ke kanan l al u ke at as lal u ke kanan t iga kal i l al u ke at as l al u ke kanan dua kal i lal u ke at as l al u ke kanan l al u ke at as.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
94
Maka persoal an di at as adal ah mencari banyaknya susunan 12111211212 yang merupakan permut asi berul ang 11 angka dengan t erdapat 7 angka 1 yang sama dan 4 angka 2 yang sama.
Banyaknya susunan adal ah
4 7
11 ⋅
= 330. Jadi, banyaknya cara j al an t erpendek yang dapat dipil ih orang t ersebut adal ah 330.
3 Permut asi Sikl is
Bagaimana j ika t erdapat beberapa orang yang duduk dal am suat u l ingkaran sikl is ? Ada berapa cara menyusun semuanya ? Persoal an inil ah yang berhubungan dengan permut asi siklis.
Misal kan t ersedia n unsur yang berbeda. Banyaknya permut asi sikl is dari n unsur t ersebut dirumuskan dengan :
Psikl is = n
−
1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1. B. 3. 1 Cont oh 20 :
Jika t erdapat t iga orang yang duduk pada t iga kursi yang membent uk suat u l ingkaran, maka ada berapa banyak susunan yang mungkin t erj adi ?
Sol usi : Jika mereka duduk pada kursi yang sej aj ar maka dengan kaidah perkal ian didapat banyaknya
susunan adalah 3 x 2 x 1 = 6. At au j ika dengan permut asi didapat
3
P
3
= 6. Tet api karena kursi yang mereka duduki membent uk l ingkaran maka hal t ersebut berbeda.
Perhat ikan gambar di bawah
Gambar 1 Gambar 2
Pada gambar 1, j ika kit a membacanya searah j arum j am maka : a.
Jika A sebagai urut an pert ama maka didapat susunan ABC b.
Jika B sebagai urut an pert ama maka didapat susunan BCA c.
Jika C sebagai urut an pert ama maka didapat susunan CAB Ket iga susunan ABC, BCA dan CAB adal ah susunan yang sama yang dal am permut asi sikl is baru
dianggap sebagai sat u susunan. Pada gambar 2, j ika kit a membacanya searah j arum j am maka :
a.
Jika A sebagai urut an pert ama maka didapat susunan ACB b.
Jika B sebagai urut an pert ama maka didapat susunan BAC c.
Jika C sebagai urut an pert ama maka didapat susunan CBA Ket iga susunan ACB, BAC dan CBA adal ah susunan yang sama yang dal am permut asi sikl is
sehingga baru dianggap sebagai sat u susunan. Banyaknya susunan 3 orang yang duduk pada kursi yang membent uk l ingkaran = 3
−
1 = 2 = 2 susunan.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
95
Kal au kit a perhat ikan hal t ersebut , maka didapat l angkah-l angkah dal am membuat suat u susunan pada permut asi sikl is adal ah :
1. Tet apkan sebuah obyek unsur sebagai pedoman
2. Kemudian permut asikan unsur-unsur yang t ersisa sepert i pada persoal an sebel umnya.
Pada cont oh 20 kit a misalkan A sebagai pat okan, maka sisanya dapat kit a permut asikan dapat j uga disel esaikan dengan at uran pengisian t empat at au kaidah perkal ian. Sisa unsur yang ada
t inggal 2 yait u A dan B. Banyaknya susunan B dan C adal ah 2 x 1 = 2, yait u BC dan CB. Maka semua susunan yang mungkin adal ah ABC dan ACB.
Cont oh 21 : Jika t erdapat empat orang yang duduk pada empat kursi yang membent uk suat u l ingkaran,
maka ada berapa banyak susunan yang mungkin t erj adi ? Sol usi :
Dengan rumus kit a dapat kan banyaknya susunan adalah 4
−
1 = 3 = 6 susunan. Jika kit a misal kan keempat orang t ersebut adalah A, B, C dan D dan kit a misal kan A sebagai
pedoman, maka t iga unsur sisanya yait u B, C dan D dapat disusun dengan 3 x 2 x 1 = 6 cara yait u BCD, BDC, CBD, CDB, DBC dan DCB.
Jadi kemungkinan susunan empat orang t ersebut adal ah ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC dan ADCB. Gambar berikut merupakan susunan ke-6 kemungkinan t ersebut .
LAT IHAN 1. B
1. Tent ukan nilai n yang yang memenuhi persamaan
4 5
+ +
n n
= 6n. 2.
Jika diket ahui
n
P
4
= 30
⋅
n
P
2
, maka t ent ukan nil ai n. 3.
Ada berapa banyaknya susunan huruf yang dapat dibent uk dari huruf -huruf : a.
F, U, R, K, A, N ? b.
D, E, N, N, Y ? c.
H, A, N, S, E, N ? d.
A, H, M, A, D, I ? e.
R, O, M, B O, N, G, A, N ?
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
96
f . O, L, I, M, P, I, A, D, E ?
g. M, A, T, E, M, A, T, I, K, A ?
4. OSP 2006 Ada berapa banyaknya bilangan 7 angka berbeda yang dapat dibent uk dengan cara
mengubah susunan angka dari 2504224 ? 5.
Banyaknya bil angan t iga angka yang memiliki sedikit nya sat u buah angka 4 dan sat u buah angka 5 adal ah
······
6. Banyaknya bil angan 5 angka yang memenuhi hasi l kal i angka-angkanya sama dengan 45 ada
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. Dal am suat u rapat OSIS yang t erdiri dari 6 orang siswa 2 di ant ara kakak beradik dal am posisi
mel ingkar. Ada berapa f ormasi duduk mel ingkar yang bisa t erbent uk j ika kakak beradik t ersebut harus berdekat an ?
8. Sama dengan nomor 5 t et api kakak beradik t ersebut t idak bol eh berdekat an.
9. OSP 2003 Empat pasang suami ist eri menont on pagel aran orkest ra. Tempat duduk mereka harus
dipisah ant ara kel ompok suami dan kelompok ist eri. Unt uk masing-masing kelompok disediakan 4 buah t empat duduk bersebel ahan dalam sat u barisan. Ada berapa banyak cara memberikan
t empat duduk kepada mereka ?
10. OSP 2009 Seekor semut hendak mel angkah ke makanan yang berada sej auh 10 langkah di
depannya. Semut t ersebut sedang mendapat kan hukuman, ia hanya bol eh mel angkah ke depan sebanyak kel ipat an t iga l angkah dan sel ebi hnya harus mel angkah ke bel akang. Tent ukan
banyaknya cara mel angkah agar bisa mencapai makanan, j ika ia harus mel angkah t idak l ebih dari dua pul uh l angkah. Cat at an : j ika semut mel angkah dua kal i dimana masing-masing melangkah
sekal i ke bel akang, maka dianggap sama saj a dengan dua l angkah ke bel akang.
C. Kombinasi
