Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
40
9. AIME 1989 Misal kan k
∈
N sehingga 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari t iga bilangan yang membent uk barisan arit mat ika. Tent ukan nil ai k.
10. OSP 2002 Berapakah bilangan bul at posit if t erbesar yang membagi semua bil angan 1
5
−
1, 2
5
−
2,
⋅⋅⋅
, n
5
−
n,
⋅⋅
? 11.
Jika n adal ah bil angan bulat l ebih dari 1, bukt ikan bahwa n
6
−
n
2
habis dibagi 60. 12.
Tunj ukkan bahwa 1
5
+ 2
5
+ 3
5
+
⋅⋅⋅
+ 99
5
+ 100
5
habis dibagi 10100, namun t idak habis dibagi 3. 13.
AIME 1993 Tent ukan banyaknya t upel bil angan bul at a, b, c, d yang memenuhi 0 a b c d 500 dan a + d = b + c sert a bc
−
ad = 93. 14.
Bukt ikan bahwa j ika a, b dan c bil angan asli dan b adal ah kel ipat an a, c adal ah kel ipat an b sert a a adal ah kel ipat an c maka a = b = c.
15. AIME 2001 Tent ukan penj uml ahan semua bil angan asli dua angka yang habis dibagi ol eh masing-
masing digit nya. 16.
Bil angan bul at n dikat akan merupakan kel ipat an 7 j ika memenuhi n = 7k dengan k bil angan bul at . a.
Jika p dan q bil angan bul at dan memenuhi 10p + q kel ipat an 7, bukt ikan bahwa p
−
2q j uga kel ipat an 7.
b. Jika c dan d bil angan bul at dan memenuhi 5c + 4d kel ipat an 7, bukt ikan bahwa 4c
−
d j uga kel ipat an 7.
17. Tent ukan bilangan bul at posit if t erbesar x yang memenuhi dua persyarat an berikut :
a. x t idak habis dibagi 10
b. Jika dua angka t erakhir dari x
2
dibuang maka bil angan t ersisa j uga merupakan bil angan kuadrat . 18.
Canadian MO 1971 Unt uk n bil angan bul at , t unj ukkan bahwa n
2
+ 2n + 12 bukan kel ipat an 121. 19.
ME V1N2 Juml ah dua bilangan bulat posit if adal ah 2310. Tunj ukkan bahwa hasil kal i keduanya t idak habis dibagi 2310.
3. UJI HABIS DIBAGI
Sebuah bil angan memiliki sif at khusus j ika dibagi ol eh suat u bil angan t ert ent u. Beberapa sif at t ersebut adal ah :
a. Suat u bil angan habis dibagi 5 j ika dan hanya j ika digit t erakhir dari bil angan t ersebut adalah 0 at au 5.
Cont oh : 67585 dan 457830 adalah bilangan-bil angan yang habis dibagi 5. b.
Suat u bilangan habis dibagi 2
n
j ika dan hanya j ika n digit t erakhir dari bil angan t ersebut habis dibagi 2
n
. Cont oh :
134576 habis dibagi 8 = 2
3
sebab 576 habis dibagi 8 576 : 8 = 72 4971328 habis dibagi 16 = 2
4
sebab 1328 habis dibagi 16 c.
Suat u bil angan habis dibagi 3 j ika dan hanya j ika j uml ah digit bil angan t ersebut habis dibagi 3. Cont oh : 356535 habis dibagi 3 sebab 3 + 5 + 6 + 5 + 3 + 5 = 27 dan 27 habis dibagi 3.
d. Suat u bil angan habis dibagi 9 j ika dan hanya j ika j uml ah digit bil angan t ersebut habis dibagi 9.
Cont oh : 23652 habis dibagi 9 sebab 2 + 3 + 6 + 5 + 2 = 18 dan 18 habis dibagi 9. e.
Suat u bil angan habis dibagi 11 j ika dan hanya j ika sel isih ant ara j uml ah digit dari bil angan t ersebut pada posisi ganj il dengan j uml ah digit dari bil angan t ersebut pada posisi genap habis dibagi 11.
Cont oh : 945351 habis dibagi 11 sebab 9 + 5 + 5
−
4 + 3 + 1 = 11 dan 11 habis dibagi 11. Cont oh bil angan l ain yang habis dibagi 11 adalah 53713 dan 245784.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
41
Cont oh 8 : OSK 2003 Ada berapa banyak diant ara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang
habis dibagi 9 ? Sol usi :
Penj uml ahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 t idak habis dibagi 9 Penj uml ahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 t idak habis dibagi 9
Penj uml ahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 t idak habis dibagi 9 Penj uml ahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 t idak habis dibagi 9
Karena semua penj umlahan digit t idak ada yang habis dibagi 9 maka t idak ada bil angan-bilangan t ersebut yang habis dibagi 9.
Cont oh 9 : Canadian MO 1980 Jika a679b adal ah bil angan l ima angka yang habis dibagi 72, t ent ukan nil ai a dan b.
Sol usi : 72 = 9
⋅
8. Karena 9 dan 8 rel at if prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.
Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nil ai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bil angan t ersebut adalah 36792.
LAT IHAN 3 :
1. MATNC 2001 Di ant ara empat bilangan : 5256, 7018, 18623, 32571, yang habis dibagi 99 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
2. AIME 1983 Tent ukan bil angan t erkecil n sehingga angka-angka 15n hanya t erdiri dari 0 dan 8.
3. Tent ukan bilangan asl i t erkecil yang merupakan kel ipat an 84 yang angka-angkanya hanya 6 at au 7.
4. Fl anders MO 2000 Final Round Bilangan asli n t erdiri dari 7 angka berbeda dan n habis dibagi ol eh
masing-masing angkanya. Tent ukan t iga angka yang bukan angka dari n.
4. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR FPB DAN PERSEKUTUAN TERKECIL KPK
