Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
41
Cont oh 8 : OSK 2003 Ada berapa banyak diant ara bilangan-bilangan 20000002, 20011002, 20022002, 20033002 yang
habis dibagi 9 ? Sol usi :
Penj uml ahan digit 20000002 = 2 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 0 + 2 = 4 t idak habis dibagi 9 Penj uml ahan digit 20011002 = 2 + 0 + 0 + 1 + 1 + 0 + 0 + 2 = 6 t idak habis dibagi 9
Penj uml ahan digit 20022002 = 2 + 0 + 0 + 2 + 2 + 0 + 0 + 2 = 8 t idak habis dibagi 9 Penj uml ahan digit 20033002 = 2 + 0 + 0 + 3 + 3 + 0 + 0 + 2 = 10 t idak habis dibagi 9
Karena semua penj umlahan digit t idak ada yang habis dibagi 9 maka t idak ada bil angan-bilangan t ersebut yang habis dibagi 9.
Cont oh 9 : Canadian MO 1980 Jika a679b adal ah bil angan l ima angka yang habis dibagi 72, t ent ukan nil ai a dan b.
Sol usi : 72 = 9
⋅
8. Karena 9 dan 8 rel at if prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679b habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2.
Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nil ai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bil angan t ersebut adalah 36792.
LAT IHAN 3 :
1. MATNC 2001 Di ant ara empat bilangan : 5256, 7018, 18623, 32571, yang habis dibagi 99 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
2. AIME 1983 Tent ukan bil angan t erkecil n sehingga angka-angka 15n hanya t erdiri dari 0 dan 8.
3. Tent ukan bilangan asl i t erkecil yang merupakan kel ipat an 84 yang angka-angkanya hanya 6 at au 7.
4. Fl anders MO 2000 Final Round Bilangan asli n t erdiri dari 7 angka berbeda dan n habis dibagi ol eh
masing-masing angkanya. Tent ukan t iga angka yang bukan angka dari n.
4. FAKTOR PERSEKUTUAN TERBESAR FPB DAN PERSEKUTUAN TERKECIL KPK
Pengert ian : FPB a, b adal ah bil angan asl i t erbesar d sehingga d
⏐
a dan d
⏐
b. KPK a, b adal ah bil angan asl i t erkecil m sehingga a
⏐
m dan b
⏐
m. Misalkan M = p
1 a1
⋅
p
2 a2
⋅
p
3 a3
⋅ ⋅⋅⋅
p
n an
dan N = p
1 b1
⋅
p
2 b2
⋅
p
3 b3
⋅ ⋅⋅⋅
p
n bn
dengan p
i
adal ah bil angan prima dan a
i
sert a b
i
adal ah bil angan asl i maka : a.
Fakt or Persekut uan Terbesar dari M dan N dit ul is FPB M, N = p
1 c1
⋅
p
2 c2
⋅
p
3 c3
⋅ ⋅⋅⋅
p
n cn
b. Kel ipat an Persekut uan Terkecil dari M dan N dit ul is KPK M, N = p
1 d1
⋅
p
2 d2
⋅
p
3 d3
⋅ ⋅⋅⋅
p
n dn
Dengan c
1
= min a
1
, b
1
; c
2
= min a
2
, b
2
; c
2
= min a
3
, b
3
;
⋅⋅⋅
; c
n
= min a
n
, b
n
d
1
= maks a
1
, b
1
; d
2
= maks a
2
, b
2
; d
3
= maks a
3
, b
3
;
⋅⋅
; d
n
= maks a
n
, b
n
Beberapa hal berkait an dengan FPB adal ah : a.
FPB0, 0 = 0 b.
FPBa, 0 =
⏐
a
⏐
c. FPB a, b = FPB
⏐
a
⏐
,
⏐
b
⏐
d. FPB a, b = FPBb, a
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
42
e. Fakt or Persekut uan Terbesar FPB dari dua bil angan asl i berurut an adal ah 1.
f . Jika d = FPBa, b maka d
⏐
a dan d
⏐
b g.
Misal kan a = mp dan b = mq maka FPBa, b = m
⋅
FPBp, q h.
Jika a
≠
0 dan b
≠
0 maka 0
≤
FPBa, b
≤
min
⏐
a
⏐
,
⏐
b
⏐
i. Misal kan a b 0 dan a = bq + r unt uk bil angan asli a, b, p dan r maka
FPBa, b = FPBb, r j .
Dua bil angan dikat akan prima relat if , j ika f akt or persekut uan t erbesarnya FPB sama dengan 1. k.
Bezout ’ s Lemma : Unt uk set iap bilangan bul at a dan b t erdapat bil angan bul at x dan y yang memenuhi ax + by = FPBa, b
Cont oh 10 : OSK 2003 SMP MTs Kel ipat an Persekut uan Terkecil dari 210, 42 dan 70 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
A. 14 B. 210
C. 420 D. 7
E. 1260 Sol usi :
210 = 2
⋅
3
⋅
5
⋅
7 42 = 2
⋅
3
⋅
7 70 = 2
⋅
5
⋅
7 Maka KPK 210, 42, 70 = 2
⋅
3
⋅
5
⋅
7 = 210. Jawaban : B Cont oh 11 :
OSP 2006 Misal kan d = FPB7n + 5, 5n + 4, dimana n adal ah bil angan asli. a.
Bukt ikan bahwa unt uk set iap bil angan asl i n berl aku d = 1 at au 3. b.
Bukt ikan bahwa d = 3 j ika dan hanya j ika n = 3k + 1, unt uk suat u bil angan asli k. Sol usi :
d = FPB7n + 5, 5n + 4 a. Maka
d
⏐
7n + 5 dan d
⏐
5n + 4 Karena d membagi 7n + 5 maka d j uga membagi 57n + 5
Karena d membagi 5n + 4 maka d j uga membagi 75n + 4 Akibat nya d j uga membagi 75n + 4
−
57n + 5 = 3 Karena d
⏐
3 maka d = 1 at au 3 t erbukt i b. Sebuah bil angan akan t ermasuk ke dalam sal ah sat u bent uk dari 3k, 3k + 1 at au 3k + 2
Jika n = 3k maka 7n + 5 = 21k + 5
≡
2 mod 3 dan 5n + 4 = 15k + 4
≡
1 mod 3 Jika n = 3k + 1 maka 7n + 5 = 21k + 12
≡
0 mod 3 dan 5n + 4 = 15k + 9
≡
0 mod 3 Jika n = 3k + 2 maka 7n + 5 = 21k + 19
≡
1 mod 3 dan 5n + 4 = 15k + 14
≡
2 mod 3 Terbukt i bahwa hanya bent uk n = 3k + 1 yang menyebabkan kedua bil angan 7n + 5 dan 5n + 4 habis
dibagi 3 unt uk n bil angan asl i.
LAT IHAN 4 :
1. Bil a KPK dan FPB dari empat bil angan berbeda 18, 24, 18n dan 72 adal ah 72 dan 6, t ent ukan nil ai n
asl i yang memenuhi. 2.
OSK 2008 Diket ahui FPB a, 2008 = 251. Jika a 2008 maka nil ai t erkecil yang mungkin bagi a adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
3. OSK 2003 Misal kan N adalah bil angan bul at t erkecil yang bersif at : bersisa 2 j ika dibagi 5, bersisa 3
j ika dibagi oleh 7, dan bersisa 4 j ika dibagi 9. Berapakah hasil penj uml ahan digit -digit dari N ?
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
43
4. OSK 2009 Nil ai dari
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
∑
= 2009
1
7 ,
k
k FPB
5. OSP 2004 Not asi f pba, b menyat akan
f akt or persekut uan t erbesar
dari bil angan bul at a dan b. Tiga bil angan asl i a
1
a
2
a
3
memenuhi f pba
1
, a
2
, a
3
= 1, t et api f pba
i
, a
j
1 j ika i
≠
j , i, j = 1, 2, 3. Tent ukan a
1
, a
2
, a
3
agar a
1
+ a
2
+ a
3
minimal . 6.
OSP 2006 Dari set iap bil angan sat u-angka a, bil angan N dibuat dengan menyandingkan ket iga bil angan a + 2, a + 1, a yait u N =
a a
a 2
+ +
1
. Sebagai cont oh, unt uk a = 8, N = 1098. Kesepul uh bil angan N semacam it u memiliki f akt or persekut uan t erbesar
⋅⋅⋅⋅⋅
7. AIME 1998 Ada berapa banyak nil ai k sehingga KPK6
6
, 8
8
, k = 12
12
? 8.
Juml ah dua bil angan asli sama dengan 52 sedangkan Kel ipat an Persekut uan Terkecil nya sama dengan 168. Tent ukan sel isih posit if dua bil angan t ersebut .
9. Dua bil angan memil iki j uml ah 145. Misal kan Kel ipat an Persekut uan Terkecil KPK kedua bil angan
t ersebut adal ah k dan Fakt or Persekut uan Terbesar FPB kedua bil angan t ersebut adalah d. Jika perbandingan k : d = 168, maka t ent ukan sel isih posit if kedua bilangan t ersebut ?
10. ME V5N4 Tent ukan semua pasangan bil angan bul at posit if a, b yang memenuhi :
FPBa, b + KPKa, b = a + b + 6 11.
IMO 1959 Bukt ikan bahwa pecahan
3 14
4 21
+ +
n n
t idak dapat disederhanakan unt uk semua nil ai n bilangan asl i.
12. Mexican MO 1987 Bukt ikan bahwa pecahan
n n
n n
2 1
2 2
+ −
+
t idak dapat disederhanakan unt uk semua nilai n bil angan asli.
13. AIME 1985 Misal kan dn adalah f akt or persekut uan t erbesar dari 100 + n
2
dan 100 + n + 1
2
unt uk set iap n = 1, 2, 3,
⋅⋅⋅
. Tent ukan nil ai dn yang t erbesar.
5.
BANYAKNYA FAKTOR POSITIF Misalkan M = p
1 a1
⋅
p
2 a2
⋅
p
3 a3
⋅ ⋅⋅⋅
p
n an
unt uk bil angan asl i M sert a p
1
, p
2
, p
3
,
⋅⋅⋅
, p
n
semuanya adal ah bilangan prima maka :
Banyaknya f akt or posit if dari M adal ah a
1
+ 1a
2
+ 1a
3
+ 1
⋅⋅⋅
a
n
+ 1 Cont oh 12 :
OSK 2004 SMP MTs Joko mengalikan t iga bilangan prima berbeda sekal igus. Ada berapa f akt or berbeda dari bil angan yang dihasil kan ?
A. 3
B. 4 C. 5
D. 6 E. 8
Sol usi : Misal kan t iga bil angan prima t ersebut adal ah a, b dan c dan N = a x b x c.
Maka sesuai t eori, banyaknya f akt or posit if dari N adal ah 1 + 11 + 11 + 1 = 8. Jawaban : E Kedel apan f akt or t ersebut adal ah 1, a, b, c, ab, ac, bc dan abc.
Jadi, banyaknya f akt or berbeda adal ah 8.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
44
Cont oh 13 : OSK 2004 Bil angan 2004 memil iki f akt or selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : 2004 = 2
2
⋅
501 2004 = 2
2
⋅
3
⋅
167 dan 167 adal ah bil angan prima. Maka banyaknya f akt or posit if dari 2004 t ermasuk 1 dan 2004 = 2 +11 + 11 + 1 = 12
Banyaknya f akt or 2004 selain 1 dan 2004 adalah = 12
−
2 = 10 Fakt or dari 2004 selain 1 dan 2004 adalah : 2, 3, 4, 6, 12, 167, 334, 501, 668, 1002.
Bilangan 2004 memiliki f akt or selain 1 dan 2004 sendiri sebanyak 10
LAT IHAN 5 :
1. OSK 2008 Banyaknya f akt or posit if dari 5 adal ah
2. OSP 2007 Di ant ara bilangan-bilangan 2006, 2007 dan 2008, bilangan yang memiliki f akt or prima
berbeda t erbanyak adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. MATNC 2001 Tent ukan bilangan asli t erkecil yang memiliki t epat 12 f akt or posit if .
4. MATNC 2001 Tent ukan bil angan asl i t erkecil yang memil iki t epat 12 f akt or posit if dan t idak habis
dibagi 3. 5.
OSP 2002 Misal kan M dan m bert urut -t urut menyat akan bil angan t erbesar dan bil angan t erkecil di ant ara semua bil angan 4-angka yang j uml ah keempat angkanya adal ah 9. Berapakah f akt or prima
t erbesar dari M
−
m ? 6.
OSP 2009 Misal kan n bil angan asl i t erkecil yang mempunyai t epat 2009 f akt or dan n merupakan kel ipat an 2009. Fakt or prima t erkeci dari n adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. AIME 1990 n adalah bil angan asl i t erkecil yang merupakan kelipat an 75 dan memil iki t epat 75 f akt or
posit if . Tent ukan nil ai dari
75 n
. 8.
Misal kan n bil angan asl i. 2n mempunyai 28 f akt or posit if dan 3n punya 30 f akt or posit if maka banyaknya f akt or posit if yang dimiliki 6n adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
9. AIME 1994 Tent ukan f akt or prima t erbesar dari p1 + p2 +
⋅⋅⋅
+ p999 dimana pn adal ah hasil kal i semua angka-angka t aknol dari n.
10. MATNC 2001 Tent ukan penj umlahan semua f akt or posit if dari 84.
11. AIME 1995 Tent ukan banyaknya f akt or posit if dari n
2
yang kurang dari n t et api t idak membagi n j ika n = 2
31
3
19
. 12.
AIME 2000 Tent ukan bilangan asli t erkecil yang memiliki 12 f akt or posit if genap dan 6 f akt or posit if ganj il .
13. OSN 2004 Berapa banyaknya pembagi genap dan pembagi ganj il dari 5
6
−
1 ?
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
45
6. KEKONGRUENAN
