Eddy Hermanto, ST Geometri
68
3. Diket ahui
∆
ABC dengan AC = 2BC = 10 cm. Dari t it ik C dibuat garis bagi sudut ACB, sehingga memot ong AB di t it ik D. Dibuat garis DE t egak l urus pada AB, sehingga BC = EB. Dari t it ik D dibuat
garis t egak l urus pada EB dan memot ong EB di t it ik F. Jika panj ang AD = 8 cm. Hit ungl ah panj ang EF.
4. Segit iga sama sisi ABC ket iga t it ik sudut nya t erl et ak pada l ingkaran berj ari-j ari 1. Tit ik M dan N
berurut an adal ah pert engahan AC dan BC. Perpanj angan MN memot ong l ingkaran di t it ik P dengan panj ang NP MP. Maka panj ang NP adal ah ………………
5. OSP 2006 Pada segit iga ABC, garis bagi sudut A memot ong sisi BC di t it ik D. Jika AB = AD = 2 dan
BD = 1, maka CD =
⋅⋅⋅⋅⋅
6. Pada
∆
ABC, diket ahui AB = 5, AC = 6, BC = 4. Tit ik D t erl et ak pada sisi AB sehingga panj ang AD = 2. Dari t it ik D dibuat garis t egak l urus AC di E dan dibuat sebuah garis l agi dari D t egak l urus BC di
t it ik F. Tent ukan nil ai DE : DF. 7.
OSK 2009 Diberikan segit iga ABC t umpul
∠
ABC 90
o
, AD dan AE membagi sudut BAC sama besar. Panj ang segmen garis BD, DE dan EC bert ur ut -t urut adal ah 2, 3, dan 6. Panj ang t erpendek
dari sisi segit iga ABC adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. AIME 1992 ABCD adal ah t rapesium dengan AB sej aj ar DC, diket ahui panj ang AB = 92, BC = 50, CD
= 19, DA = 70. P adal ah sebuah t it ik yang t erl et ak pada sisi AB sehingga dapat dibuat sebuah l ingkaran yang berpusat di P yang menyinggung AD dan BC. Tent ukan panj ang AP.
9. Tit ik M adalah t it ik t engah sisi BC dari segit iga ABC dengan AM : BC = 3 : 2. Bukt ikan bahwa garis
berat dari t it ik B dan C sal ing t egak l urus. 10.
Garis t inggi AP, BQ dan CR dari segit iga ABC berpot ongan di t it ik H. Jika panj ang AH = BC maka bukt ikan bahwa PR dan PQ t egak l urus.
D. Luas Segit iga
a. Diket ahui alas dan t inggi segit iga
Misal kan
∆
ABC memil iki panj ang alas = a dan t inggi = t maka Luas segit iga = [ ABC] =
2 1
at
Eddy Hermanto, ST Geometri
69
Dari persamaan di at as akan didapat i
Dua buah segit iga yang al as dan t ingginya sama panj ang akan memil iki l uas yang sama.
Sebagai cont oh, perhat ikan gambar. Garis
l
1
dan
l
2
adal ah dua garis yang sej aj ar. Akibat nya t inggi
∆
ABC,
∆
ABD akan sama. Karena panj ang alasnya sama yait u AB maka
∆
ABC,
∆
ABD keduanya memil iki l uas yang sama. Misal kan perpot ongan kedua segit iga di t it ik E, maka
l uas
∆
ACE = Luas
∆
BDE. ii
Dua buah segit iga yang al as at au t ingginya sama maka perbandingan l uasnya bert urut -t urut dapat dinyat akan sebagai perbandingan t inggi at au al asnya.
Sebagai cont oh, perhat ikan gambar. Garis
l
1
dan
l
2
adal ah dua garis yang sej aj ar. Akibat nya t inggi
∆
ABC,
∆
ADE akan sama. Maka perbandingan l uas
∆
ABC dan
∆
ADE dapat dinyat akan sebagai perbandingan al as. Luas
∆
ABC : Luas
∆
ADE = panj ang AB : AD. b.
Diket ahui dua sisi dan sat u sisi yang mengapit kedua sisi t ersebut
Misal kan
∆
ABC memil iki sisi-sisi a, b dan c sert a t it ik sudut A, B dan C. Luas segit iga ABC = [ ABC] =
2 1
ab sin C =
2 1
ac sin B =
2 1
bc sin A c.
Diket ahui ket iga sisi
Misal kan
∆
ABC memil iki sisi-sisi a, b dan c Luas segit iga ABC dapat dihit ung dengan menggunakan rumus Heron yait u
Luas segit iga = [ ABC] =
c s
b s
a s
s −
− −
dengan s =
2 1
a + b + c
Eddy Hermanto, ST Geometri
70
Cont oh 13 : Hit ungl ah l uas daerah yang diarsir
Sol usi : Luas daerah yang diarsir
= Luas
∆
ABD + Luas
∆
ABE
−
2
⋅
Luas
∆
ABC =
2 1
⋅
4
⋅
6 +
2 1
⋅
4
⋅
9
−
2
⋅
2 1
⋅
4
⋅
3 =
12 +
18
−
12 cm
2
= 18
cm
2
Cont oh 14 : OSP 2002 Segit iga ABC memiliki panj ang sisi AB = 10, BC = 7, dan CA = 12. Jika set iap sisi
diperpanj ang menj adi t iga kal i panj ang semula, maka segit iga yang t erbent uk memiliki luas berapa kal i l uas
∆
ABC ? Sol usi :
Luas segit iga semula =
2 1
ab sin C Luas segit iga akhir =
2 1
3a3bsin C = 9
⋅
2 1
ab sin C Luas segit iga akhir = 9
⋅
Luas segit iga semul a Jadi, perbandingan l uas segit iga akhir dengan l uas segit iga semula adalah = 9
LAT IHAN 3. D
1. Pada segit iga ABC diket ahui a = 2
√
2, b = 2
√
3 dan sudut A = 45
o
, maka l uas segit iga it u adal ah
⋅⋅⋅⋅
2. OSP 2004 Pada sisi-sisi SU, TS dan UT dari
∆
STU dipil ih t it ik-t it ik P, Q dan R bert urut -t urut sehingga SP =
4 1
SU, TQ =
2 1
TS dan UR =
3 1
UT. Jika luas segit iga STU adal ah 1, berapakah l uas segit iga PQR ?
3. OSP 2009 AIME 1988 Diberikan segit iga ABC dengan t an
∠
CAB =
7 22
. Mel al ui t it ik sudut A dit arik garis t inggi sedemikian rupa sehingga membagi si si BC menj adi segmen-segmen dengan panj ang 3
dan 17. Luas segit iga ABC adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4. Canadian MO 1969 Misalkan ABC adalah sebuah segit iga dengan sisi-sisinya a, b dan c. Garis bagi
yang dit arik dari t it ik C memot ong AB di D. Bukt ikan bahwa panj ang CD =
b a
ab
C
+
2
cos 2
5. OSP 2008 Hongkong PSC Diberikan segit iga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nil ai a
2
+ b
2
+ c
2
sama dengan 16 kali l uas segit iga ABC. Besarnya nilai ct g A + ct g B + ct g C adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Geometri
71
6. Segi empat ABCD memil iki panj ang sisi-sisi AB = 9, BC = 12, CD = 13 dan DA = 14. Panj ang diagonal
AC adalah 15. Dari t it ik B dan D dibuat garis t egak l urus AC dan memot ong AC bert urut -t urut di t it ik P dan Q. Hit ungl ah panj ang PQ.
7. ABCD adal ah sebuah persegi panj ang dengan l uas 1. Diagonal AC dan BD berpot ongan di E. Tit ik F
t erl et ak pada pert engahan BC. Jika AF berpot ongan dengan diagonal BD di G, maka berapakah l uas segit iga AEG ?
8. AIME 1988 P adal ah t it ik di dal am segit iga ABC. Perpanj angan PA memot ong sisi BC di D,
perpanj angan PB memot ong sisi AC di E dan perpanj angan PC memot ong sisi AB di F. Jika panj ang PD = PE = PF = 3 dan PA + PB + PC = 43 t ent ukan nil ai dari PA
⋅
PB
⋅
PC. 9.
OSN 2004 Bukt ikan bahwa suat u segit iga ABC siku-siku di C dengan a menyat akan sisi dihadapan sudut A, b menyat akan sisi di hadapan sudut B, c menyat akan sisi di hadapan sudut C memil iki
diamet er l ingkaran dalam = a + b
−
c. 10.
OSK 2006 Pada segi t iga ABC, t it ik F membagi sisi AC dal am perbandingan 1 : 2. Misal kan G t it ik t engah BF dan E t it ik perpot ongan ant ara sisi BC dengan AG. Maka t it ik E membagi sisi BC dal am
perbandingan
11. Pada persegi ABCD dengan panj ang sisi 1, t it ik E pada AB dan t it ik F pada BC sehingga segit iga
DEF adal ah segit iga sama sisi. Tent ukan l uas segit iga DEF. 12.
OSK 2006 Pada segit iga ABC yang t umpul di C, t it ik M adal ah t i t ik t engah AB. Mel al ui C dibuat garis t egak lurus pada BC yang memot ong AB di t it ik E. Dari M t arik garis memot ong BC t egak
l urus di D. Jika l uas segit iga ABC adal ah 54 sat uan luas, maka l uas segit iga BED adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
13. Diket ahui segit iga siku-siku ABC, sisi AB t egak l urus sisi AC. Panj ang AB = 3 dan panj ang AC = 4.
Tit ik P t erl et ak di dalam segit iga ABC. Tit ik D, E dan F masing-masing t erl et ak pada sisi BC, AC dan AB sehingga PD t egak l urus BC, PE t egak l urus AC dan PF t egak l urus AB. Jika
12 =
+ +
PD BC
PE AC
PF AB
, hit ungl ah panj ang PE, PF dan PD. 14.
Pada segit iga ABC diket ahui panj ang sisi-sisinya adal ah AB = 13, BC = 14 dan AC = 15. Tit ik P t erl et ak di dal am segit iga ABC sehingga
∠
PAC =
∠
PBA =
∠
PCB =
ϕ
. Nil ai dari t an
ϕ
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
15. P adal ah sebuah t it ik di dal am segit iga ABC. Tiga buah garis dibuat mel al ui t iit k P yang sej aj ar
dengan ket iga sisi segit iga ABC. Perpot ongan garis-garis t ersebut dengan sisi-sisi segit iga membent uk segit iga kecil . Luas ket iga segit iga t ersebut adal ah p
2
, q
2
dan r
2
. Bukt ikan bahwa l uas segit iga ABC adal ah p + q + r
2
. 16.
S adal ah t it ik yang t erl et ak di dal am segit iga ABC sehingga luas
∆
SAB,
∆
SBC dan
∆
SCA sama. Tunj ukkan bahwa S adal ah t i t ik berat segit iga ABC.
17. Fl anders MO 2001 Final Round Pada segit iga ABC t i t ik D dan E bert urut -t urut t erl et ak pada sisi
AC dan BC. Garis BD dan AE berpot ongan di t it ik F. Misal kan [ XYZ] menyat akan l uas segit iga XYZ. Jika [ ADF] = 4, [ ABF] = 8 dan [ BEF] = 7 maka t ent ukan l uas daerah CDFE.
E. Hubungan ant ara luas segit iga dengan j ari-j ari lingkaran dalam dan j ari-j ari lingkaran luar segit iga
Ada hubungan ant ara l uas segit iga dengan j ari-j ar i l ingkaran dal am dan j ari-j ari l ingkaran luar. Luas segit iga ABC = [ ABC] =
2 1
ra + b + c = rs Luas segit iga ABC = [ ABC] =
R abc
4
Eddy Hermanto, ST Geometri
72
Cont oh 15 : OSK 2004 Jika l uas segit iga ABC sama dengan kelil ingnya, maka j ari-j ari l ingkaran dal am segit iga
ABC adal ah
⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Misal j ari-j ari l ingkaran dalam sama dengan r dan ket iga sisinya adal ah a, b dan c, maka :
Luas segit iga =
2 1
r a + b + c Luas segit iga =
2 1
r
⋅
Kel il ing segit iga Karena l uas segit iga sama dengan kel il ing segit iga maka
r = 2 Jadi, j ari-j ari l ingkaran dalam segit iga ABC adal ah 2
LAT IHAN 3. E
1. Jika r dan R menyat akan j ari-j ari lingkaran dal am dan l ingkaran l uar segit iga yang panj ang sisi-
sisinya adal ah 5, 6 dan 7 maka t ent ukan nil ai dari hasil kali rR. 2.
OSK 2008 Lingkaran T merupakan l ingkaran l uar bagi segi t iga ABC dan l ingkaran dal am bagi segit iga PQR. Jika ABC dan PQR keduanya segit iga samasisi, maka rasio kel iling
∆
ABC t erhadap kel il ing
∆
PQR adal ah 3.
OSP 2009 Diket ahui segit iga siku-siku ABC dengan panj ang sisi-sisinya a, b, dan c sert a a b c. Misal kan r dan R bert urut -t urut menyat akan panj ang j ari-j ari l ingkaran dal am dan l ingkaran
l uarnya. Jika
3
2
=
+ +
R c
b a
r
maka nilai dari
c b
a r
+ +
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
F. Ket aksamaan Segit iga
