Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
104
5. Hansen mencoba menyusun 4 huruf yang huruf -huruf nya diambil dari kat a TERCECER. Ada berapa
susunan yang didapat ? 6.
Denny mencoba menyusun 4 huruf yang huruf -huruf nya diambil dari kat a MATEMATIKA. Ada berapa susunan yang didapat ?
E. Kombinasi dengan Pengulangan
Misal kan ada n obyek ident ik yang akan dil et akkan pada r t empat dengan r
≤
n. Jika disyarat kan bahwa sat u t empat hanya bisa menampung pal ing banyak 1 obyek maka banyaknya cara adal ah
n
C
r
yang t el ah kit a bahas sebel umnya. Jika disyarat kan bahwa sel uruh obyek akan dibagi kan dengan masing-masing t empat dapat t idak
dit empat i maupun dit empat i sat u at au l ebih obyek. Pert anyaannya adal ah ada berapa banyak cara menyusunnya ?
Karena ident ik maka urut an dal am persoal an ini t idak diperhat ikan. Taruh n obyek t ersebut dal am sat u baris. Tambakan r
−
1 bat as di ant ara bol a-bola t ersebut sehingga kini seol ah-olah ada n + r
−
1 ’ t empat ’ . Akibat penambahan r
−
1 bat as t ersebut maka n bol a t ersebut akan t erbagi dalam r bagian, yait u di sebel ah kiri bat as ke-1, di ant ara bat as ke-1 dan ke-2 sampai dengan di sebel ah kanan bat as
ke-r
−
1. Masing-masing bagian t ersebut melambangkan banyaknya bol a pada masing-masing t empat . Sehingga persoalannya sekarang adalah memilij r
−
1 t empat dari n + r
−
1 t empat yang t ersedia. Banyaknya cara adal ah
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− −
+ 1
1 r
r n
=
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
− +
n r
n 1
Cont oh 36 : 4 buah bola akan dibagian sel uruhnya ke dalam 3 buah kant ong. Ada berapa banyak cara
menyusunnya ? Sol usi :
Sebagaimana penj el asan sebel umnya, banyaknya cara =
4+3-1
C
4
=
6
C
4
= 15 cara. Yang kal au dij abarkan susunannya adal ah 4, 0, 0, 3, 1, 0, 3, 0, 1, 2, 2, 0, 2, 0, 2, 2, 1, 1, 1, 3, 0, 1, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 0, 3,
0, 4, 0, 0, 3, 1, 0, 2, 2, 0, 1, 3 dan 0, 0, 4 dengan a, b, c menyat akan kant ong pert ama berisi a bol a, kant ong ke-2 berisi b bol a dan kant ong ke-3 berisi c bola.
Kombinasi dengan pengul angan j uga dapat menyel esaikan persoalan mengenai perhit ungan banyaknya penyel esaian persamaan l inier. Misal kan saj a t erdapat persamaan x
1
+ x
2
+
⋅⋅⋅
+ x
r
= n. Jika x
i
merupakan bil angan bul at t ak negat if , maka ada berapa banyak penyel esaian yang memenuhi. Persoal an ini sama saj a dengan membagi n obyek ident ik ke dal am r buah t empat . Banyaknya
penyel esaian adal ah
n+r-1
C
n
. Cont oh 37 :
Tent ukan banyaknya t upel bil angan bul at t ak negat if x
1
, x
2
, x
3
, x
4
yang memenuhi persamaan l inier x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
= 3 ? Sol usi :
Dari penj el asan sebel umnya akan didapat banyaknya t upel bil angan bul at t ak negat if yang memenuhi adal ah
3+4-1
C
3
=
6
C
3
= 20. Tupel x
1
, x
2
, x
3
, x
4
yang memenuhi adal ah 0, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 2, 0, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0, 3, 0, 0, 1, 0, 0, 2, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 2, 0,
1, 1, 0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 2, 0, 0, 2, 0, 0, 1, 2, 0, 1, 0, 2, 1, 0, 0 dan 3, 0, 0, 0. Misal kan t erdapat n obyek berbeda yang akan dil et akkan pada r t empat . Jika diperbolehkan ada
pengul angan obyek yang akan dit empat kan sert a urut an diperhat ikan, maka banyaknya cara = n
r
.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
105
Persoal an ini sudah dibahas sebel umnya. Sebagai cont oh adal ah menent ukan banyaknya bil angan 3 angka dengan angka-angkanya diambil dari 1, 2, 3, 4 dengan bol ehnya ada angka yang berul ang.
Banyaknya bil angan ada 4
3
= 64, yait u 111, 112, 113, 114, 121, 122,
⋅⋅⋅
, 444. Bil angan 112, 121 dan 211 diangap berbeda. Bagaimana persoal annya j ika 112, 121, 211 dianggap sama karena urut annya
t idak diperhat ikan ? Pandang n obyek t ersebut sebagai ’ t empat ’ . Persoal annya adalah sepert i menempat kan r ’ obyek’
ident ik pada n ’ t empat ’ . Banyaknya cara adalah
r+n-1
C
r.
Cont oh 38 : Dua angka dipil ih dari himpunan {1, 2, 3, 4} dengan pengul angan diperbolehkan. Ada berapa cara
memil ih dua angka t ersebut ? Sol usi :
Pandang 4 buah kant ong. Dua bola akan dit empat kan pada kant ong-kant ong t ersebut . Jika bol a t ersebut dit empat kan pada kant ong 1 dan 4 maka berart i angka-angka yang dipil ih adal ah 1, 4. Jika
kedua bol a t ersebut dit empat kan pada kant ong 3 maka berart i angka yang dipil ih adal ah 3, 3. Banyaknya cara memilih =
2+4-1
C
2
=
5
C
2
= 10. Pasangan angka-angka t ersebut 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4 dan 4, 4.
LAT IHAN 1. E
1. OSP 2004 Berapakah banyaknya barisan bil angan bul at t ak negat if x, y, z yang memenuhi
persamaan x + y + z = 99 ? 2.
Sebuah t oko memil iki 10 buah bal on merah, 9 buah bal on kuning dan 11 buah bal on hij au. Seorang pembel i ingin membel i 8 buah bal on. Ada berapa banyak cara pembel i t ersebut membeli
bal on ?
3. Tent ukan banyaknya t upel bil angan asli a, b, c, d yang memenuhi a + b + c + d = 17.
4. Tent ukan banyaknya t ripel bil angan bul at x, y, z yang memenuhi persamaan x + y + z = 18
dengan syarat x
≥
3 ; y
≥
4 dan z
≥
5. 5.
OSP 2009 Tiga dadu berwarna hit am, merah, dan put ih dil empar bersama-sama. Macam hasil l emparan sehingga j uml ah ket iga mat a dadu adalah 8 sebanyak
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. Tent ukan banyaknya t ripel bil angan bulat x, y, z yang memenuhi persamaan x + y + z = 9 dengan
syarat 0
≤
x
≤
4 ; 0
≤
y
≤
5 dan 0
≤
z
≤
3.
F. Penj abaran Binom Newton dengan Not asi Kombinasi
