Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
51
25. Bal t ic Way 1999 Mat hemat ical Team Cont est a, b, c dan d bilangan prima yang memenuhi a 3b
6c 12d dan a
2
−
b
2
+ c
2
−
d
2
= 1749. Tent ukan semua kemungkinan nil ai dari a
2
+ b
2
+ c
2
+ d
2
. 26.
Brit ish MO 2006 2007 Round 1 Tent ukan 4 bilangan prima kurang dari 100 yang merupakan f akt or dari 3
32
−
2
32
. 27.
OSP 2009 Diket ahui p adal ah bil angan prima sehingga persamaan 7p = 8x
2
−
1 dan p
2
= 2y
2
−
1 mempunyai sol usi x dan y berupa bilangan bul at . Tent ukan semua nil ai p yang memenuhi.
8. BILANGAN KUADRAT SEMPURNA.
Bil angan kuadrat sempurna adal ah bil angan bul at yang dapat diubah ke dal am bent uk n
2
dengan n adal ah bil angan bul at .
Beberapa sif at bil angan kuadrat adal ah : a.
Angka sat uan dari bilangan kuadrat adal ah 0, 1, 4, 5, 6, 9. b.
Bil angan kuadrat j ika dibagi 3 akan bersisa 0 at au 1. c.
Bil angan kuadrat j ika dibagi 4 akan bersisa 0 at au 1 d.
Bil angan kuadrat j ika dibagi 5 akan bersisa 0, 1, at au 4. e.
Bil angan kuadrat j ika dibagi 8 akan bersisa 0, 1, at au 4. Dan set erusnya. Cont oh 25 :
Tent ukan bilangan kuadrat 4 angka dengan angka pert ama sama dengan angka kedua dan angka ket iga sama dengan angka keempat .
Sol usi : Misal bilangan t ersebut adal ah aabb.
Karena aabb kuadrat maka nil ai b yang memenuhi adalah 0, 1, 4, 5, 6, at au 9. Tet api 11, 55, 99 j ika dibagi 4 bersisa 3 sedangkan 66 j ika dibagi 4 bersisa 2 yang membuat aabb t idak mungkin merupakan
bil angan kuadrat . Jadi nilai b yang mungkin adalah 0 at au 4. Jika b = 0 maka aa00 = 10
2
10a + a yang berakibat 10a + a harus bil angan kuadrat . Tet api 11, 22, 33,
⋅⋅⋅
, 99 t idak ada sat upun yang merupakan bil angan kuadrat . Sehingga t idak mungkin aa00 kuadrat . Jadi, b
≠
0. Jika b = 4 maka aa44 = 11100a + 4. Karena aa44 bil angan kuadrat maka 100a + 4 = 11k
2
. Sesuai dengan sif at bil angan habis dibagi 11 maka a + 4
−
0 habis dibagi 11. Nil ai a yang memenuhi hanya 7. Jadi bil angan t ersebut adalah 7744.
LAT IHAN 8 :
1. Tent ukan bilangan asli t erkecil yang j ika dikalikan dengan 420 maka hasil nya adal ah bil angan kuadrat
sempurna. 2.
AIME 2001 Tent ukan bil angan asl i t erbesar sehingga dua angka berurut an membent uk kuadrat sempurna. Sebagai cont oh adal ah 364 sebab 36 dan 64 merupakan bil angan kuadrat sempurna.
3. a, b, c dan d adal ah digit -digit suat u bil angan. Bil angan 7 angka berikut :
a0bc225 ; abcd756 ; 1abc584 ; ab3c289 ; 4abc899 merupakan kuadrat sempurna, kecual i
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4. Bukt ikan bahwa t idak ada pasangan bi l angan bul at a, b yang memenuhi
a
2
= 2005b
2
+ 2
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
52
5. Adakah di ant ara bilangan-bil angan
11, 111, 1111,
⋅⋅⋅
, 111
⋅⋅⋅
1111 22, 222, 2222,
⋅⋅⋅
, 222
⋅⋅⋅
2222 33, 333, 3333,
⋅⋅⋅
, 333
⋅⋅⋅
3333
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
99, 999, 9999,
⋅⋅⋅
, 999
⋅⋅⋅
9999 yang merupakan bil angan kuadrat sempurna ?
6. Canadian MO 1978 n adal ah bilangan bul at . Jika angka pul uhan n
2
adal ah t uj uh, apakah angka sat uan dari n
2
? 7.
OSK 2009 Banyaknya bilangan asl i kurang dari 1000 yang dapat dinyat akan dal am bent uk x
2
−
y
2
unt uk suat u bil angan ganj il x dan y adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. Misal kan a dan b adal ah bil angan bul at yang memenuhi a + 2b dan b + 2a keduanya bil angan kuadrat
sempurna. Bukt ikan bahwa a dan b keduanya merupakan kel ipat an 3. 9.
Fl anders MO 1999 Final Round Tent ukan semua bilangan asli t erdiri dari 6 angka, misal kan abcdef , dengan a
≠
0 dan d
≠
0 yang memenuhi abcdef = def
2
. 10.
Canadian MO 1969 Tunj ukkan bahwa t idak ada bilangan bul at a, b dan c yang memenuhi persamaan a
2
+ b
2
−
8c = 6. 11.
AIME 1999 Tent ukan penj uml ahan semua n
∈
N sehingga n
2
−
19n + 99 merupakan bil angan kuadrat sempurna.
12. Bukt ikan bahwa 2n
6k
+ 4n
2k
+ 11 t idak mungkin bil angan kuadrat . 13.
Tent ukan pasangan bil angan bul at posit if x dan n yang memenuhi persamaan x
2
+ 615 = 2
n
. 14.
Bal t ic Way 1994 Mat hemat ical Team Cont est Tent ukan semua pasangan bul at posit if a, b yang memenuhi 2
a
+ 3
b
adal ah bil angan kuadrat sempurna.
9. FUNGSI TANGGA DAN CEILING
