Eddy Hermanto, ST Aljabar
1
BAB I ALJABAR
1 . PEMFAKTORAN DAN PENGURAIAN
Beberapa bent uk pemf akt oran maupun penguraian yang harus diket ahui adal ah : i
x
2
−
y
2
= x + yx
−
y ii
x
3
−
y
3
= x
−
yx
2
+ xy + y
2
iii x
3
+ y
3
= x + yx
2
−
xy + y
2
iv x
3
+ y
3
+ z
3
−
3xyz = x + y + zx
2
+ y
2
+ z
2
−
xy
−
xz
−
yz v
x + yx
−
y
2
= x
3
−
x
2
y
−
xy
2
+ y
3
vi a
n
−
b
n
= a
−
ba
n-1
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+
⋅⋅⋅
+ ab
n-2
+ b
n-1
dengan n
∈
bil angan asl i vii
a
n
+ b
n
= a + ba
n-1
−
a
n-2
b + a
n-3
b
2
− ⋅⋅⋅
−
ab
n-2
+ b
n-1
dengan n
∈
bil angan ganj il viii
x + 1y + 1z + 1 = xyz + xy + xz + yz + x + y + z + 1 ix
x
4
+ 4y
4
= x
2
+ 2y
2
+ 2xyx
2
+ 2y
2
−
2xy x
x + y
2
= x
2
+ 2xy + y
2
xi x
−
y
2
= x
2
−
2xy + y
2
xii x + y
3
= x
3
+ y
3
+ 3xyx + y xiii
x
−
y
3
= x
3
−
y
3
−
3xyx
−
y xiv
x + y
4
= x
4
+ 4x
3
y + 6x
2
y
2
+ 4xy
3
+ y
3
Penguraian bent uk x + y
n
unt uk n 4 dapat menggunakan binomial Newt on yang akan dit erangkan dal am bagian l ain.
Berdasarkan bent uk vi dan vii didapat f akt a bahwa a
−
b membagi a
n
−
b
n
unt uk n asl i dan a + b membagi a
n
+ b
n
unt uk n ganj il yang t erkadang digunakan unt uk menyel esaikan soal pada t eori bil angan.
Cont oh 1 :
OSK 2004 SMP MTs Nil ai dari
L L
= −
2 2
4950 5050
Sol usi : Perhat ikan bahwa a
2
−
b
2
= a + ba
−
b maka
4950 5050
4950 5050
4950 5050
2 2
− +
= −
1000000 100
10000 4950
5050
2 2
= =
−
000 .
1 4950
5050
2 2
= −
Cont oh 2 : OSK 2005 SMP MTs Sal ah sat u f akt or dari 17
3
−
5
3
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
A. 5 B. 17
C. 13 D. 273
E. 399 Sol usi :
Perhat ikan bahwa a
3
−
b
3
= a
−
ba
2
+ ab + b
2
maka 17
3
−
5
3
= 17
−
517
2
+ 17
⋅
5 + 5
2
17
3
−
5
3
= 12
⋅
399 Jawaban : E
Eddy Hermanto, ST Aljabar
2
LAT IHAN 1 :
1. AIME 1986 Tent ukan nil ai dari
7 6
5 7
6 5
7 6
5 7
6 5
+ +
− +
− −
+ +
+
. 2.
AIME 1989 Nil ai dari
31 30
29 28
1 ⋅
⋅ ⋅
+
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. Jika
18 3
= +
+ +
y x
y x
dan
15 2
= −
− −
y x
y x
, maka x
⋅
y =
⋅⋅⋅⋅⋅
4. Tent ukan nilai X yang memenuhi
⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ −
+ +
⎟⎠⎞ ⎜⎝⎛ +
− =
5 3
5 3
5 3
5 3
X
5. Jika diket ahui bahwa
48 20
14
2
+ − y
y
+
15 20
14
2
− − y
y
= 9, maka t ent ukan nil ai dari
48 20
14
2
+ − y
y
−
15 20
14
2
− − y
y
. 6.
Jika a
2
= 7b + 1945 dan b
2
= 7a + 1945 dengan a dan b bilangan real berbeda, maka nilai dari ab adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. OSP 2006 Himpunan semua x yang memenuhi x
−
1
3
+ x
−
2
2
= 1 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
8. Canadian MO 1992 Sel esaikan persamaan
x
2
+
2 2
1 +
x x
= 3
. 9.
OSP 2007 Tent ukan semua bil angan real x yang memenuhi x
4
−
4x
3
+ 5x
2
−
4x + 1 = 0 10.
AIME 1983 w dan z adalah bil angan kompl eks yang memenuhi w
2
+ z
2
= 7 dan w
3
+ z
3
= 10. Apakah nil ai t erbesar yang mungkin dari w + z ?
11. Bal t ic Way 1999 Tent ukan semua bilangan real a, b, c dan d yang memenuhi sist em persamaan
berikut : abc + ab + bc + ca + a + b + c = 1
bcd + bc + cd + db + b + c + d = 9 cda + cd + da + ac + c + d + a = 9
dab + da + ab + bd + d + b + a = 9
12. AIME 2000 Tent ukan t epat kedua akar real persamaan 2000x
6
+ 100x
5
+ 10x
3
+ x
−
2 = 0. 13.
AIME 1987 Tent ukan nil ai dari
324 52
324 40
324 28
324 16
324 4
324 58
324 46
324 34
324 22
324 10
4 4
4 4
4 4
4 4
4 4
+ +
+ +
+ +
+ +
+ +
. 14.
Bal t ic Way 1993 Mat hemat ical Team Cont est Tent ukan semua bil angan bulat n yang memenuhi
n n
− −
+ −
+
4 625
2 25
4 625
2 25
adalah bil angan bul at 15.
Canadian MO 1998 Tent ukan penyel esaian x real yang memenuhi persamaan : x =
x
x
1
−
+
x 1
1 −
16. AIME 1990 Bil angan real a, b, x dan y memenuhi ax + by = 3, ax
2
+ by
2
= 7, ax
3
+ by
3
= 16 dan ax
4
+ by
4
= 42. Tent ukan nil ai dari ax
5
+ by
5
. 17.
OSN 2003 SMP MTs Diket ahui a + b + c = 0. Tunj ukkan bahwa a
3
+ b
3
+ c
3
= 3abc
Eddy Hermanto, ST Aljabar
3
2 . BARISAN DAN DERET
1, 2, 3, 4, 5,
⋅⋅⋅
dikat akan sebagai barisan karena mempunyai suat u pol a t ert ent u dengan rumus suku ke- n adal ah n.
1 + 2 + 3 + 4 +
⋅⋅⋅⋅
disebut sebagai deret . Ada beberapa barisan dan deret yang akan dibahas.
A. Barisan dan Deret Arit mat ika
1. Pengert ian, rumus suku ke-n dan rumus Juml ah n suku pert ama
Barisan arit mat ika adal ah barisan yang set iap dua suku berurut an memil iki selisih yang konst an. a, a + b, a + 2b, a + 3b
⋅⋅⋅
adal ah barisan arit mat ika dengan suku pert ama = a dan beda = b. Suku ke-n, U
n
, dirumuskan dengan : U
n
= a + n
−
1b Juml ah n bil angan pert ama, S
n
, dirumuskan dengan S
n
=
2 n
2a + n
−
1b =
2 n
a + U
n
Cont oh 3 : Diket ahui barisan 2, 5, 8, 11,
⋅⋅⋅
. Tent ukan suku ke-10 dan j uml ah 4 suku pert ama. Sol usi :
2, 5, 8, 11,
⋅⋅⋅
adal ah barisan arit mat ika dengan suku pert ama 2 dan beda 3. Suku ke-10, U
10
= 2 + 10
−
1
⋅
3 = 29 Juml ah 4 suku pert ama =
3 1
4 2
2
2 4
⋅ −
+ ⋅
⋅
= 26 2.
Suku Tengah Misal kan U
t
menyat akan suku t engah dari suat u barisan arit mat ika maka :
2
1 n
U U
t
U
+
=
dengan n merupakan bilangan ganj il Cont oh 4 :
Diket ahui 3,
⋅⋅⋅
, 13, 15 adalah barisan arit mat ika. Tent ukan suku t engah barisan t ersebut . Sol usi :
3,
⋅⋅⋅
, 13, 15 adal ah barisan arit mat ika. Maka U
1
= a = 3 dan U
n
= 15. Maka suku t engah, U
t
=
2 1
3 + 15 = 9 3.
Sisipan Misal kan set iap dua bil angan berurut an pada barisan arit mat ika disisipi k buah bil angan namun
t et ap membent uk barisan ait mat ika. Maka beda barisan t ersebut akan memil iki perubahan dengan suku pert ama t et ap.
Misalkan b
B
= beda barisan yang baru dan b
L
= beda barisan yang l ama. Hubungan keduanya adal ah
b
B
=
1 +
k b
L
Cont oh 5 : Pada set iap dua bil angan berurut an dari barisan 2, 12, 22, 32, 42.
⋅⋅⋅⋅
disisipi sebanyak 4 bil angan. Tent ukan suku ke-100 dari barisan yang baru.
Sol usi :
Beda barisan yang baru adal ah b
B
=
1 4
10 1
+ +
=
k b
L
= 2 Suku pert ama, a = 2.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
4
U
100
= a + 99b
B
= 2 + 99
⋅
2 = 200 Suku ke-100 = 200.
Jadi, suku ke-100 barisan t ersebut adalah 200. 4.
Barisan Arit mat ika Bert ingkat Misal kan ada barisan u
1
, u
2
, u
3
,
⋅⋅⋅
, u
n
bukanl ah merupakan barisan ait mat ika sebab u
n
−
u
n-1
t idak konst an. Tet api apabil a diambil D
1
n = u
n
−
u
n-1
l al u D
2
n = D
1
n
−
D
1
n
−
1 dan set erusnya sampai pada suat u saat D
k
n
−
D
k
n
−
1 bernil ai konst an. Maka kit a dapat mengambil kesimpul an bahwa rumus j uml ah n suku pert ama, S
n
, barisan t ersebut merupakan pol inomial pangkat n.
Cont oh 6 : Diket ahui barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21,
⋅⋅⋅
. Tent ukan rumus j umlah n suku pert ama, S
n
. Sol usi :
Kal au diperhat ikan, barisan 1, 3, 6, 10, 15, 21,
⋅⋅⋅
bukanl ah barisan arit mat ika. Tet api rumus suku ke-n barisan t ersebut t ernyat a merupakan rumus j uml ah n suku pert ama dari barisan 1, 2,
3,
⋅⋅⋅
, n yang merupakan barisan arit mat ika. Maka kit a dapat menyelesaikan soal t ersebut dengan menganggapnya merupakan barisan
arit mat ika bert ingkat .
n Sn D
1
n = Sn – Sn
−
1 D
2
n = D
1
n
−
D
1
n
−
1 D
3
n = D
2
n
−
D
2
n
−
1
1 1 2 4
3 3 10
6 3
4 20 10
4 1
5 35 15
5 1
Karena D
3
n konst an maka dapat diambil kesimpul an bahwa rumus S
n
merupakan pol inomial pangkat 3.
Misal kan Sn = an
3
+ bn
2
+ cn + d.
n Sn D
1
n = Sn – Sn
−
1 D
2
n = D
1
n
−
D
1
n
−
1 D
3
n = D
2
n
−
D
2
n
−
1
1 a+b+c+d 2 8a+4b+2c+d
7a+3b+c 3 27a+9b+3c+d
19a+5b+c 12a+2b
4 64a+16b+4c+d 37a+7b+c
18a+2b 6a
5 125a+25b+5c+d 61a+9b+c
24a+2b 6a
Dari kedua t abel didapat bahwa : 6a = 1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1 12a + 2b = 3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2 7a + 3b + c = 3
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3 a + b + c + d = 1
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4 Dari pers 1 didapat
6 1
= a
Dari pers 2 didapat
2 1
2 2
3
= =
−
b
Dari pers 3 didapat
3 1
6 9
7 18
2 1
6 1
3 7
3 =
= −
− =
− −
c
Dari pers 4 didapat
1
6 2
3 1
6 3
1 2
1 6
1
= =
− −
− =
− −
−
d
Maka rumus suku ke-n, Sn =
6 1
n
3
+
2 1
n
2
+
3 1
n =
6 2
1 +
+ n n
n
Eddy Hermanto, ST Aljabar
5
B. Barisan dan Deret Geomet ri
1. Pengert ian, rumus suku ke-n dan rumus Juml ah n suku pert ama
Barisan geomet ri adalah barisan yang set iap dua suku berurut an memil iki perbandingan yang konst an. Misal kan a, ar, ar
2
,
⋅⋅⋅
adal ah barisan geomet ri dengan suku pert ama = a dan rasio = r maka :
Suku ke-n, U
n
, dirumuskan dengan : U
n
= a
⋅
r
n-1
Juml ah n bil angan pert ama, S
n
, dirumuskan dengan S
n
=
1 1
− −
r r
a
n
Cont oh 7 : Diket ahui barisan 2, 6, 18, 54,
⋅⋅⋅
. Tent ukan suku ke-5 dan j uml ah 4 suku pert ama barisan t ersebut .
Sol usi : 2, 6, 18, 54,
⋅⋅⋅
adalah cont oh barisan geomet ri dengan suku pert ama 2 dan rasio 3. Suku ke-5, U
5
= 2
⋅
3
5-1
= 162 Juml ah 4 suku pert ama =
1 3
1 3
2
4
− −
⋅
= 80 2.
Suku Tengah Misal kan U
t
menyat akan suku t engah dari suat u barisan geomet ri maka :
n t
U U
U
1
=
dengan n merupakan bilangan ganj il Cont oh 8 :
Diket ahui 2, 6, 18, 54, 162 adalah barisan geomet ri. Tent ukan suku t engah barisan t ersebut . Sol usi :
2, 6, 18, 54, 162 adal ah barisan geomet ri. Maka U
1
= a = 2 dan U
n
= 162. Maka suku t engah,
18 162
2 =
⋅ =
t
U
3. Sisipan
Misal kan set iap dua bil angan berurut an pada barisan geomet ri disisipi k buah bil angan namun t et ap membent uk barisan geomet ri. Maka rasio barisan t ersebut akan memiliki perubahan
dengan suku pert ama t et ap. Misal kan r
B
= rasio barisan yang baru dan r
L
= rasio barisan yang l ama. Hubungan keduanya adal ah
1 +
=
k L
B
r r
Cont oh 9 : Pada set iap dua bil angan berurut an dari barisan 2, 32, 512, 8192,
⋅⋅⋅⋅
disisipi sebanyak 3 bil angan. Tent ukan suku ke-7 dari barisan yang baru.
Sol usi : Rasio yang baru,
2 16
4 1
= =
=
+ k
L B
r r
. Suku pert ama, a = 2.
U
7
= ar
6
= 22
6
= 128 Suku ke-7 = 128.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
6
4. Barisan geomet ri t ak hingga
Dari persamaan S
n
=
1 1
− −
r r
a
n
j ika n
Æ ∞
maka S
∞
=
r a
− 1
dengan syarat
−
1 r 1. Rumus t ersebut merupakan rumus j uml ah dari suat u barisan t ak hingga dengan suat u syarat
t ert ent u. Cont oh 10 :
Tent ukan nilai dari 2 + 1 +
2 1
+
4 1
+
⋅⋅⋅
Sol usi : Persoal an di at as t ermasuk barisan geomet ri t ak hingga dengan a = 2 dan r = ½
2 + 1 + ½ + ¼ +
⋅⋅⋅
= S
∞
=
r a
− 1
=
2 1
1 2
−
= 4. Maka nil ai dari 2 + 1 +
2 1
+
4 1
+
⋅⋅⋅
= 4. C.
Barisan dan Deret Lainnya Suat u barisan t idak harus masuk ke dalam sal ah sat u dari dua bent uk di at as. Sebagai cont oh adalah
barisan yang berbent uk 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,
⋅⋅⋅
yang merupakan penj uml ahan dari dua bil angan sebel umnya. Unt uk menyel esaikan persoal an yang dit anyakan memerl ukan penget ahuan t erhadap
pol a dari barisan t ersebut . Beberapa cont oh rumus deret :
1
2
+ 2
2
+ 3
2
+
⋅⋅⋅
+ n
2
=
6 1
2 1
+ +
n n
n
1
3
+ 2
3
+ 3
3
+
⋅⋅⋅
+ n
3
=
2 2
1 +
n n
D. Prinsip Tel eskopik
Prinsip t el eskopik banyak digunakan unt uk menyederhanakan suat u deret . Ada dua bent uk umum yang dikenal , yait u penj uml ahan dan perkal ian sebagai berikut :
a.
1 1
1 1
3 4
2 3
1 2
1 1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
n n
n n
n n
i i
i
− =
− +
− +
+ −
+ −
+ −
= −
+ +
− =
+
∑
L
b.
1 1
1 1
3 4
2 3
1 2
1 1
a a
a a
a a
a a
a a
a a
a a
n n
n n
n n
i i
i +
+ −
= +
= ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
=
∏
L
Cont oh 11 :
L L
L =
+ +
+ +
+ −
− −
− −
2006 1
2004 1
6 1
4 1
2 1
2005 1
2003 1
7 1
5 1
3 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
Sol usi : Misal S =
2006 1
2004 1
6 1
4 1
2 1
2005 1
2003 1
7 1
5 1
3 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
+ +
+ +
+ −
− −
− −
L L
S =
2006 2007
6 7
4 5
2 3
2005 2004
7 6
5 4
3 2
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ L
L
S =
2006 2007
2004 2005
2005 2004
6 7
7 6
4 5
5 4
2 3
3 2
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ ⋅
⋅ L
S =
2006 2007
Cont oh 12 : Tent ukan nilai
2 1
1 ⋅
+
3 2
1 ⋅
+
4 3
1 ⋅
+
5 4
1 ⋅
+
⋅⋅⋅
+
2006 2005
1 ⋅
.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
7
Sol usi : Soal di at as merupakan cont oh penerapan prinsip t el eskopik.
2 1
1 ⋅
=
2 1
1 1
−
;
3 2
1 ⋅
=
3 1
2 1
−
;
4 3
1 ⋅
=
4 1
3 1
−
;
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
;
2006 2005
1 ⋅
=
2006 1
2005 1
−
2 1
1 ⋅
+
3 2
1 ⋅
+
4 3
1 ⋅
+
5 4
1 ⋅
+
⋅⋅⋅
+
2006 2005
1 ⋅
=
2006 1
2005 1
5 1
4 1
4 1
3 1
3 1
2 1
2 1
1 1
− +
+ −
+ −
+ −
+ −
L
2 1
1 ⋅
+
3 2
1 ⋅
+
4 3
1 ⋅
+
5 4
1 ⋅
+
⋅⋅⋅
+
2006 2005
1 ⋅
= 1
−
2006 1
Jadi,
2 1
1 ⋅
+
3 2
1 ⋅
+
4 3
1 ⋅
+
5 4
1 ⋅
+
⋅⋅⋅
+
2006 2005
1 ⋅
=
2006 2005
LAT IHAN 2 :
1. Sebuah deret arit mat ika t erdiri dari n suku ganj il . Juml ah semua sukunya 260, besar suku
t engahnya 20, sert a beda deret t ersebut adal ah 3. Maka U
6
=
⋅⋅⋅⋅
2. Perhat ikan barisan bilangan 500, 465, 430, 395,
⋅⋅⋅
. Suku negat if nya yang pert ama adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. Nil ai dari
∑
=
= +
n k
k
1
3 2
L L
4. OSK 2006 Pada sebuah barisan ar it mat ika, nilai suku ke-25 t iga kal i nil ai suku ke-5. Suku yang
bernil ai dua kal i nil ai suku pert ama adal ah suku ke
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. OSK 2009 Jika
2 1
1
+ =
+ k
k
x x
unt uk k = 1, 2,
⋅⋅⋅
dan x
1
= 1 maka x
1
+ x
2
+
⋅⋅⋅
+ x
400
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. OSP 2006 Hasil penj uml ahan semua bil angan bul at di ant ara
3
2006
dan
2006
adal ah
⋅⋅
7. OSK 2006 Diket ahui a + a + 1 + a + 2 +
⋅⋅⋅
+ 50 = 1139. Jika a bil angan posit if , maka a =
⋅⋅⋅⋅⋅
8. AIME 1984 Barisan a
1
, a
2
, a
3
,
⋅⋅⋅
, a
98
memenuhi a
n+1
= a
n
+ 1 unt uk n = 1, 2, 3,
⋅⋅⋅
, 97 dan mempunyai j uml ah sama dengan 137. Tent ukan nilai dari a
2
+ a
4
+ a
6
+
⋅⋅⋅
+ a
98
. 9.
Misal kan u
n
adal ah suku ke-n dari suat u barisan arit mat ika. Jika u
k
= t dan u
t
= k maka t ent ukan nil ai dari suku ke-k + t .
10. OSK 2004 Agar bilangan 2
+ 2
1
+ 2
2
+
⋅⋅⋅
+ 2
n
sedekat mungkin kepada 2004, harusl ah n =
⋅
11. Pada barisan geomet ri diket ahui U
8
= 36 dan S
7
= 52, maka S
8
=
⋅⋅⋅⋅⋅
12. Pada suat u deret t ak hingga, suku-suku yang bernomor ganj il berj uml ah 9 4 sedangkan suku-suku
yang bernomor genap berj uml ah 3 4 , maka suku pert amanya adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
13. Bat as-bat as nil ai a supaya deret geomet ri t ak berhingga dengan suku pert ama a konvergen dengan
j uml ah 2 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
14. OSP 2006 Af kar memil ih suku-suku barisan geomet ri t akhingga 1,
2 1
,
4 1
,
8 1
,
⋅⋅⋅
unt uk membuat barisan geomet ri t akhingga baru yang j uml ahnya
7 1
. Tiga suku pert ama pil ihan Af kar adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
8
15. Tent ukan j uml ah dari
L L
+ −
+ −
+ −
49 4
27 8
7 4
9 4
3 2
4
16. Tiga buah bilangan merupakan barisan arit mat ika. Bil a suku t engahnya dikurangi 5, maka t erbent uk
suat u barisan geomet ri dengan rasio sama dengan 2. Juml ah barisan arit mat ika it u adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅ ⋅⋅
17. Tent ukan rumus j umlah n suku pert ama dari barisan 4, 10, 20, 35, 56,
⋅⋅⋅
18. AIME 1992 Misal kan A adal ah barisan a
1
, a
2
, a
3
,
⋅⋅⋅
dengan a
19
= a
92
= 0 dan
∆
A didenisikan dengan barisan a
2
−
a
1
, a
3
−
a
2
, a
4
−
a
3
,
⋅⋅⋅
. Jika semua suku-suku barisan
∆ ∆
A sama dengan 1, maka nil ai a
1
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
19. MATNC 2001 Tent ukan j uml ah 100 bilangan asli pert ama yang bukan bilangan kuadrat sempurna.
20. AIME 2003 Bagian Pert ama Diket ahui 0 a b c d adal ah bilangan bul at yang memenuhi a, b, c
membent uk barisan arit mat ika sedangkan b, c, d membent uk barisan geomet ri. Jika d
−
a = 30 maka t ent ukan nil ai dari a + b + c + d.
21. OSK 2009 Bil angan bul at posit if t erkecil n dengan n 2009 sehingga
n n
3 3
3 3
3 2
1 +
+ +
+ L
merupakan bil angan bul at adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
22. AIME 1985 Barisan bil angan bul at a
1
, a
2
, a
3
,
⋅⋅⋅
memenuhi a
n+2
= a
n+1
−
a
n
unt uk n 0. Juml ah 1492 bil angan pert ama adal ah 1985 dan j uml ah 1985 bil angan pert ama adal ah 1492. Tent ukan j uml ah
2001 bil angan pert ama. 23.
Nil ai x yang memenuhi persamaan :
... 4
4 4
..... +
+ +
= x
x x
x x
x
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
24. OSK 2006 AIME 1990 Barisan 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11,
⋅⋅⋅
t erdiri dari semua bilangan asl i yang bukan kuadrat at au pangkat t iga bil angan bul at . Suku ke-250 barisan adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
25. AHSME 1996 Barisan 1, 2, 1, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 1, 2, 2, 2, 2, 2, 1, 2,
⋅⋅⋅
memil iki bl ok angka 1 yang berisi n buah angka 2 pada bl ok ke-n. Tent ukan j uml ah 1234 bil angan pert ama.
26. Misal kan f adal ah adal ah f ungsi yang memenuhi f n = f n
−
1 +
2007 n
unt uk set iap n bilangan asl i. Jika f 0 = 1945 maka t ent ukan f 2007.
27. NHAC 1997-1998 Second Round Tent ukan nil ai dari
1998 1997
1996 1
4 3
2 1
3 2
1 1
x x
x x
x x
+ +
+ L
. 28.
OSK 2003 Berapakah hasil perkal ia n
2 2
2 2
2
2003 1
2002 1
4 1
3 1
2 1
1 1
1 1
1 −
− −
− −
L
29. Tent ukan j uml ah dari :
100 99
1 4
3 1
3 2
1 2
1 1
+ +
+ +
+ +
+ +
L
Eddy Hermanto, ST Aljabar
9
30. AIME 2002 Barisan x
1
, x
2
, x
3
,
⋅⋅⋅
memenuhi
k k
k
x
+
=
2
1
. Jika t erdapat bil angan berurut an sehingga x
m
+ x
m+1
+
⋅⋅⋅
+ x
n
=
29 1
, maka t ent ukan semua pasangan m, n yang memenuhi. 31.
AIME 2001 Barisan a
1
, a
2
, a
3
, a
4
,
⋅⋅⋅
memenuhi a
1
= 211, a
2
= 375
,
a
3
= 420 dan a
4
= 523 sert a a
n
= a
n −
1
−
a
n −
2
+ a
n −
3
−
a
n −
4
. t ent ukan nil ai dari a
531
+ a
753
+ a
975
. 32.
AIME 1998 Barisan 1000, n, 1000
−
n, n
−
1000
−
n, 1000
−
n
−
n
−
1000
−
n,
⋅⋅⋅
dengan n bil angan bul at berakhir ket ika bilangan negat if pert ama muncul . Sebagai cont oh unt uk n = 100
maka barisan t ersebut adal ah 1000, 100, 900,
−
800. Suku ke-4 barisan t ersebut negat if . Jadi, unt uk n = 100 maka barisan t ersebut memiliki panj ang 3. Tent ukan n sehingga panj ang barisan t ersebut
maksimal . 33.
USAMTS 1999-2000 Round 4 Tent ukan nil ai dari S =
2 2
2 1
1 1
1 +
+
+
2 2
3 1
2 1
1 +
+
+
⋅⋅⋅
+
2 2
2000 1
1999 1
1 +
+
34. Bal t ic Way 1992 Bukt ikan bahwa hasil kal i 99 bil angan
1 1
3 3
+ −
k k
, k = 2, 3, 4,
⋅⋅⋅
, 100 l ebih dari
3 2
.
3 . FUNGSI
A. Pengert ian
Misal kan diket ahui f ungsi y = f x =
x x
2 3
1 −
+
. Unt uk mencari nil ai dari f 2 maka cukup menggant i x di ruas kanan dengan 2.
Jadi, f 2 =
2 2
3 1
2 −
+
=
−
3 Sal ah sat u f ungsi yang dibahas di dalam kel as adalah f ungsi kuadrat , yait u f ungsi yang berbent uk y =
f x = ax
2
+ bx + c Nil ai x yang menyebabkan y maksimum adalah x
p
=
a b
2
−
Nil ai y maksimum = y
maks
= ax
p 2
+ bx
p
+ c at au y
maks
=
a ac
b 4
4
2
−
−
Terkadang suat u f ungsi t idak hanya memiliki sat u variabel , t et api dapat l ebih dari sat u variabel . Sebagai cont oh adal ah f x, y = xy + x
2
y + y
3
. Unt uk mencari f 1, 2 cukup menggant i x = 1 dan y = 2 dari persamaan t ersebut didapat f 1, 2 = 2 + 2 + 8 = 12.
Cont oh 13 : Misal f adalah suat u f ungsi yang memet akan dari bilangan bul at posi t if ke bilangan bul at posit if dan
didef inisikan dengan : f ab = b
⋅
f a + a
⋅
f b. Jika f 10 = 19 ; f 12 = 52 dan f 15 = 26. Tent ukan nil ai dari f 8.
Sol usi : f 120 = f 10
⋅
12 = 12f 10 + 10f 12 = 12
⋅
19 + 10
⋅
52 = 748
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1 f 120 = f 8
⋅
15 = 8f 15 + 15f 8 = 8
⋅
26 + 15f 8 = 208 + 15f 8
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2 748 = 208 + 15f 8
Jadi, f 8 = 36
B. Fungsi Komposisi
Fungsi komposisi merupakan gabungan lebih dari sat u f ungsi. Misal kan diket ahui f ungsi f x dan gx. Jika ingin mencari pemet aan suat u nilai t erhadap f ungsi f x
yang hasil nya dil anj ut kan t erhadap f ungsi gx, maka akan digunakan f ungsi komposisi. Pemet aan t erhadap f ungsi f x yang dilanj ut kan ol eh f ungsi gx dit ul is sebagai gx o f x.
Didef inisikan gxof x = gf x.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
10
Cont oh 14 : Diket ahui f x = 3x + 5 dan gx = 7
−
3x. Tent ukan pemet aan x = 2 ol eh f ungsi f x dil anj ut kan gx. Sol usi :
f 2 = 32 + 5 = 11 g11 = 7
−
311 =
−
26 Jadi, pemet aan x = 2 ol eh f ungsi f x di lanj ut kan ol eh gx menghasil kan nil ai
−
26. Cara l ain adal ah dengan memanf aat kan def inisi f ungsi komposisi.
gxof x = gf x = g3x + 5 = 7
−
33x + 5 =
−
8
−
9x Unt uk x = 2 maka nil ai gf 2 =
−
8
−
92 =
−
26. Jadi, pemet aan x = 2 ol eh f ungsi f x dilanj ut kan ol eh gx adal ah
−
26. C.
Fungsi Invers dari y = f x Berdasarkan f ungsi y = f x =
x x
2 3
1 −
+
dari ket erangan sebel umnya j ika diket ahui nil ai x kit a dengan mudah mencari nil ai y. Bagaimana caranya bil a yang diket ahui adal ah nilai y dan kit a dimint a
mencari nil ai x unt uk nil ai y t ersebut ? Maka dapat disel esaikan apabil a kit a bisa mendapkan f ungsi inversnya yait u x = f y.
Cont oh 15 :
Tent ukan invers dari f ungsi y = f x =
x x
2 3
1 −
+
. Sol usi :
Dari y =
x x
2 3
1 −
+
didapat 3y
−
2yx = x + 1 sehingga 2yx + x = 3y
−
1 x2y + 1 = 3y
−
1
1 2
1 3
+ −
=
y y
x
Didapat f ungsi inversnya adal ah
1 2
1 3
1 +
− −
=
x x
x f
D. Hubungan f ungsi invers dengan f ungsi komposisi.
Misalkan f
− 1
x dan g
− 1
x bert urut -t urut menyat akan f ungsi invers dari f x dan gx. Maka f o g
− 1
x = g
− 1
o f
− 1
x g o f
− 1
x = f
− 1
o g
− 1
x Cont oh 16 :
Jika f x = 5x + 3 dan gx =
x x
− +
5 3
2
maka t ent ukan f o g
− 1
x. Sol usi :
Al t ernat if 1 : Berdasarkan ket erangan dal am pembahasan mengenai f ungsi komposisi akan didapat
f o gx =
x x
− +
5 30
7
. Maka invers dari f o gx t ersebut adalah
f o g
− 1
x =
7 30
5 +
− x
x
Al t ernat if 2 : Dari bagian t ent ang f ungsi invers yang t el ah dipel aj ari didapat
f
− 1
x =
5 3
− x
dan g
− 1
x =
2 3
5 +
− x
x
sehingga
Eddy Hermanto, ST Aljabar
11
g
− 1
o f
− 1
x =
7 30
5 +
− x
x
Jadi, didapat f o g
− 1
x = g
− 1
o f
− 1
x.
LAT IHAN 3 :
1. Jika f x =
−
x + 3, maka f x
2
+ f x
2
−
2f x =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. Diket ahui f x = x + 1 dan f ogx = 3x
2
+ 4. Maka gx =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. OSK 2007 Misal kan f x = 2x - 1, dan gx =
x
. Jika f gx = 3, maka x =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4. Diket ahui f ogx = 5x. Jika gx =
1 5
1 −
x
, maka f x =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. Fungsi gx = x
2
+ 2x + 5 dan f gx = 3x
2
+ 6x
−
8, maka f x =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. Jika f x = 2x + 1 ; gx = 5x
2
+ 3 dan hx = 7x, maka f ogohx =
⋅⋅⋅⋅
7. Dit ent ukan
x ax
x f
− +
=
2 1
. Jika f
− 1
4 = 1, maka f 3 =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. Jika
1 1
+ −
=
x x
x f
dan , maka
1 2
1
− =
−
x x
g =
−
x f
g
1
o
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
9. OSK 2003 Misal kan f suat u f ungsi yang memenuhi
x x
f f
x x
2
1 1
= −
+
unt uk set iap bil angan real x
≠
0. Berapakah nil ai f 2 ? 10.
AHSME 1996 Sebuah f ungsi f : Z
Æ
Z dan memenuhi n + 3 j ika n ganj il
f n =
2 n
j ika n genap Misal kan k adal ah bil angan ganj il dan f f f k = 27. Tent ukan penj uml ahan digit -digit dari k.
11. OSP 2004 Misal kan f sebuah f ungsi yang memenuhi f x f y
−
f xy = x + y, unt uk set iap bil angan bul at x dan y. Berapakah nil ai f 2004 ?
12. OSP 2008 Diberikan f x = x
2
+ 4. Misal kan x dan y adal ah bil angan-bil angan real posit if yang memenuhi f xy + f y
−
x = f y + x. Nil ai minimum dari x + y adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
13. OSK 2006 Jika f xy = f x + y dan f 7 = 7, maka f 49 =
⋅⋅⋅⋅
14. NHAC 1998-1999 Second Round Misal kan f adal ah f ungsi unt uk semua bilangan bul at x dan y yang
memenuhi f x + y = f x + f y + 6xy + 1 dan f
−
x = f x. Nilai dari f 3 sama dengan
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
15. OSP 2009 Suat u f ungsi f : Z
Æ
Q mempunyai sif at
1 1
1
x f
x f
x f
− +
= +
unt uk set iap x
∈
Z. Jika f 2 = 2, maka nil ai f ungsi f 2009 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
16. AHSME 1998 Misal kan f x adal ah f ungsi yang memenuhi
a unt uk set iap bil angan real x dan y maka f x + y = x + f y dan
b f 0 = 2
Nil ai dari f 1998 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
12
17. AIME 1988 Misal kan f n adal ah kuadrat dari j uml ah angka-angka n. Misal kan j uga f
2
n didef iniskan sebagai f f n, f
3
n sebagai f f f n dan set erusnya. Tent ukan nil ai dari f
1998
11.
4 . SUKU BANYAK
A. Pengert ian Suku Banyak
Perhat ikan bent uk-bent uk al j abar berikut : i
x
2
−
3x + 7 ii
4x
3
+ 6x
−
2x iii
2x
4
−
7x
3
+ 8x
2
+ x
−
5 iv
−
2x
5
+ x
4
+ 7x
3
−
8x
2
+ 3x
−
4 Bent uk-bent uk al j abar di at as disebut j uga dengan suku banyak at au pol inom dalam peubah
variabel x. Yang dimaksud deraj at suat u sukubanyak dal am peubah x adal ah pangkat t ert inggi dari peubah x yang t ermuat dalam suku banyak t ersebut .
Suku banyak pada i memil iki deraj at 2 sedangkan suku banyak pada ii, iii dan iv bert urut - t urut berderaj at 3, 4 dan 5.
B. Pembagian Suku Banyak
Sebagaimana pembagian dal am bil angan, pembagian suku banyak pun memil iki kemiripan dengan pembagian pada bilangan t ersebut . Pembagian f x ol eh px dapat dit ul is sebagai berikut :
f x = px
⋅
gx + sx dengan
f x adalah suku banyak yang akan dibagi px adal ah pembagi
gx adalah hasil bagi sx adalah sisa pembagian
Sebagaimana dal am pembagian bil angan, persyarat an sx adal ah bahwa pangkat t ert inggi deraj at dari sx harus kurang dari px.
Cara pembagian dal am suku banyak pun mengikut i dal am bilangan. Cont oh 17 :
Tent ukan sisanya j ika 4x
4
+ 3x
3
−
2x
2
+ x
−
7 dibagi x
2
+ 4x
−
2 Sol usi :
f x = 4x
4
+ 3x
3
−
2x
2
+ x
−
7 = x
2
+ 4x
−
2
⋅
qx + sx Karena f x berderaj at 4 maka qx akan berderaj at 2 sehingga qx = ax
2
+ bx + c Kare koef isen x
4
dari f x sama dengan 4 maka koef isien x
2
dari qx j uga 4 sehingga a = 4. Kal ikan 4x
2
dengan x
2
+ 4x
−
2 didapat 4x
4
+ 16x
3
−
8x
2
. Kurangkan 4x
4
+ 3x
3
−
2x
2
+ x
−
7 dengan 4x
4
+ 16x
3
−
8x
2
didapat
−
13x
3
+ 6x
2
+ x
−
7. Karena koef isien x
3
sama dengan
−
13 maka koef isien x dari qx sama dengan
−
13 sehingga b =
−
13. Kal ikan
−
13x dengan x
2
+ 4x
−
2 didapat
−
13x
3
−
52x
2
+ 26x. Kurangkan
−
13x
3
+ 6x
2
+ x
−
7 dengan
−
13x
4
−
52x
2
+ 26x didapat 58x
2
−
25x
−
7. Karena koef isien x
2
sama dengan 58 maka konst ant a dari qx sama dengan 58 sehingga c = 58.
Kal ikan 58 dengan x
2
+ 4x
−
2 didapat 58x
2
+ 232x
−
116. Kurangkan 58x
2
−
25x
−
7 dengan 58x
2
+ 232x
−
116 didapat
−
257x + 109. Jadi, 4x
4
+ 3x
3
−
2x
2
+ x
−
7 = x
2
+ 4x
−
2
⋅
4x
2
−
13x + 58
−
257x + 109. Maka sisa j ika 4x
4
+ 3x
3
−
2x
2
+ x
−
7 dibagi x
2
+ 4x
−
2 adal ah
−
257x + 109. Cont oh 17 merupakan pembagian suku banyak dengan cara pembagian bersusun. Apabil a
pembaginya l inier maka pembagian j uga dapat dilakukan dengan cara horner.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
13
Cont oh 18 : Tent ukan hasil bagi dan sisanya j ika f x = x
3
+ 2x
2
+ 3x
−
5 dengan x
−
2 Sol usi :
22 8
2 5
3 2
1 2
−
1 4 11 Maka pembagian f x = x
3
+ 2x
2
+ 3x
−
5 ol eh x
−
2 akan menghasil kan x
2
+ 4x + 11 dengan sisa 17. 17
C. Teorema Sisa
Dari penj el asan sebel umnya t el ah kit a dapat kan bahwa f x = px
⋅
gx + sx Jika diambil px = x
−
k maka akan didapat f x = x
−
k
⋅
gx + s Jika diambil x = k maka didapat f k = s
Jadi, didapat suat u t eorema bahwa j ika suku banyak f xdibagi ol eh x −
k maka sisanya adal ah f k.
Teorema di at as dikenal dengan nama t eorema sisa at au dal il sisa. Lebih l anj ut dengan cara yang sama didapat bahwa j ika f x dibagi ax + b maka sisanya adal ah
f
a b
−
. Cont oh 19 :
Tent ukan sisanya j ika f x = x
4
−
6x
3
−
6x
2
+ 8x + 6 dibagi x
−
2 Sol usi :
Dengan t eorema sisa akan didapat sisa j ika f x dibagi x
−
2 adalah f 2. Sisa = f 2 = 2
4
−
6
⋅
2
3
−
6
⋅
2
2
+ 8
⋅
2 + 6 =
−
34. Jadi, sisa j ika f x = x
4
−
6x
3
−
6x
2
+ 8x + 6 dibagi x
−
2 adal ah
−
34. D.
Teorema Fakt or Set el ah mempel aj ari t eorema sisa, maka sel anj ut nya akan dipel aj ari pengert ian f akt or dalam suku
banyak. Pengert ian f akt or dal am suku banyak dapat dinyat akan dal am bent uk t eorema f akt or berikut :
Misal kan f x adal ah suku banyak. x −
k merupakan f akt or dari f x j ika dan hanya j ika f k = 0
Perhat ikan bahwa pernyat aan di at as merupakan biimpl ikasi. Sehingga pernyat aan di at as memil iki art i :
1 Jika x
−
k merupakan f akt or dari f x maka f k = 0 2
Jika f k = 0 maka x
−
k merupakan f akt or dari f x Pada cont oh di at as memiliki art i j uga bahwa k adalah merupakan akar-akar persamaan f x = 0.
Jika f x merupakan suku banyak dal am deraj at n maka ada pal i ng banyak n buah akar real persamaan f x = 0.
Cont oh 20 : Tunj ukkan bahwa x + 2 merupakan f akt or dari f x = x
4
+ 3x
3
+ 4x
2
+ 8x + 8. Sol usi :
f
−
2 =
−
2
4
+ 3
−
2
3
+ 4
−
2
2
+ 8
−
2 + 8 = 0 Karena f
−
2 = 0 maka sesuai t eorema f akt or maka x + 2 merupakan f akt or dari f x. Terbukt i.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
14
E. Teorema Viet a
Jika adal ah pol inomial dengan pembuat nol :
x
1 1
2 2
1 1
a x
a x
a x
a x
a x
p
n n
n n
n n
+ +
+ +
+ =
− −
− −
L
1
, x
2
, x
3
,
⋅⋅⋅
, x
n
, dengan kat a l ain x
1
, x
2
, x
3
,
⋅⋅⋅
, x
n
adal ah akar-akar px = 0 maka hubungan- hubungan berikut berl aku :
n n
a a
n n
x x
x x
x
1
1 3
2 1
−
− =
+ +
+ +
+
−
L
n n
a a
n n
j i
j i
x x
x x
x x
x x
x x
x x
2
1 4
2 3
2 3
1 2
1
−
= +
+ +
+ +
+ =
−
∑
L L
n n
a a
n n
n k
j i
k j
i
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
x x
3
1 2
5 4
2 4
3 2
4 3
1 3
2 1
−
− =
+ +
+ +
+ +
=
− −
∑
L L
M
n
a a
n n
n
x x
x x
x 1
1 3
2 1
− =
−
L
Cont oh 21 : OSP 2005 Jika
α
,
β
dan
γ
adal ah akar-akar x
3
−
x
−
1 = 0 t ent ukan
α α
− +
1 1
+
β β
− +
1 1
+
γ γ
− +
1 1
. Sol usi :
Dengan mel ihat Ax
3
+ Bx
2
+ Cx + D = 0 dan x
3
−
x
−
1 = 0 didapat A = 1, B = 0, C =
−
1 dan D =
−
1.
γ β
α
+ +
=
A B
−
= 0 ;
βγ αγ
αβ
+ +
=
A C
=
1 1
−
=
−
1 ;
αβγ
=
A D
−
=
1 1
−
−
= 1
α α
− +
1 1
+
β β
− +
1 1
+
γ γ
− +
1 1
=
γ β
α β
α γ
γ α
β γ
β α
− −
− −
− +
+ −
− +
+ −
− +
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
1 1
=
αβγ βγ
αγ αβ
γ β
α αβγ
βγ αγ
αβ γ
β α
− +
+ +
+ +
− +
+ +
− +
+ −
1 3
3
=
1 1
1 1
3 1
3 −
− +
− +
− −
−
=
−
7
LAT IHAN 4 :
1. Jika f x dibagi dengan x
−
2 sisanya 24, sedangkan j ika dibagi dengan x + 5 sisanya 10. Jika f x dibagi dengan x
2
+ 3x
−
10 sisanya adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. Jika vx dibagi x
2
−
x dan x
2
+ x bert urut -t urut akan bersisa 5x + 1 dan 3x + 1, maka bil a vx dibagi x
2
−
1 sisanya adal ah
⋅⋅⋅⋅
3. OSP 2006 Jika x
−
1
2
membagi ax
4
+ bx
3
+ 1, maka ab =
⋅⋅⋅⋅
4. OSK 2008 Jika a dan b adal ah bilangan-bil angan bul at dan x
2
−
x
−
1 merupakan f akt or dari ax
3
+ bx
2
+ 1, maka b =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. AHSME 1999 Tent ukan banyaknya t it ik pot ong maksimal dari dua graf ik y = px dan y = qx
dengan px dan qx keduanya adalah suku banyak berderaj at empat dan memenuhi koef isien x
4
dari kedua suku banyak t ersebut adalah 1.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
15
6. Suku banyak f x dibagi x + 1 sisanya
−
2 dan dibagi x
−
3 sisanya 7. Sedangkan suku banyak gx j ika dibagi x + 1 akan bersisa 3 dan j ika dibagi x
−
3 akan bersisa 2. Diket ahui hx = f x
⋅
gx. Jika hx dibagi x
2
−
2x
−
3, maka sisanya adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. OSP 2009 Misal kan px = x
2
−
6 dan A = {x
∈
R
⏐
ppx = x}. Nil ai maksimal dari {
⏐
x
⏐
: x
∈
A} adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. Jika persamaan 3x
2
−
x + 1
3
dij abarkan dal am suku-sukunya maka akan menj adi persamaan pol inomial a
6
x
6
+ a
5
x
5
+ a
4
x
4
+ a
3
x
3
+ a
2
x
2
+ a
1
x + a . Tent ukan nilai dari :
a a
6
+ a
5
+ a
4
+ a
3
+ a
2
+ a
1
+ a b
a
6
−
a
5
+ a
4
−
a
3
+ a
2
−
a
1
+ a c
a
6
+ a
5
+ a
4
+ a
3
+ a
2
+ a
1
d a
6
+ a
4
+ a
2
+ a 9.
OSP 2008 Misal kan a, b, c, d bil angan rasional . Jika diket ahui persamaan x
4
+ ax
3
+ bx
2
+ cx + d = 0 mempunyai 4 akar real , dua di ant aranya adalah
2
dan
2008
. Nil ai dari a + b + c + d adal ah
⋅⋅
10. AIME 1996 Akar-akar x
3
+ 3x
2
+ 4x
−
11 = 0 adal ah a, b dan c. Persamaan pangkat t iga dengan akar- akar a + b, a + c dan b + c adal ah x
3
+ rx
2
+ sx + t = 0. Tent ukan nil ai t . 11.
OSK 2003 Misal kan bahwa f x = x
5
+ ax
4
+ bx
3
+ cx
2
+ dx + c dan bahwa f 1 = f 2 = f 3 = f 4 = f 5. Berapakah nil ai a ?
12. AIME 1993 Misal kan p
o
x = x
3
+ 313x
2
−
77x
−
8 dan p
n
x = p
n −
1
x
−
n. Tent ukan koef isien x dari p
20
x. 13.
OSP 2009 Misal kan a, b, c adal ah akar-akar pol inom x
3
−
8x
2
+ 4x
−
2. Jika f x = x
3
+ px
2
+ qx + r adal ah pol inom dengan akar-akar a + b
−
c, b + c
−
a, c + a
−
b maka f 1 =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
14. NAHC 1995-1996 Second Round Misalkan px = x
6
+ ax
5
+ bx
4
+ cx
3
+ dx
2
+ ex + f adalah pol inomial yang memenuhi p1 = 1, p2 = 2, p3 = 3, p4 = 4, p5 = 5 dan p6 = 6. Nil ai dari p7 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
15. AIME 2003 Bagian Kedua Akar-akar persamaan x
4
−
x
3
−
x
2
−
1 = 0 adal ah a, b, c dan d. Tent ukan nil ai dari pa + pb + pc + pd j ika px = x
6
−
x
5
−
x
3
−
x
2
−
x. 16.
Canadian MO 1970 Diberi kan pol inomial f x = x
n
+ a
1
x
n-1
+ a
2
x
n-2
+
⋅⋅⋅
+ a
n-1
x + a
n
dengan koef isien a
1
, a
2
,
⋅⋅⋅
, a
n
semuanya bul at dan ada 4 bil angan bulat berbeda a, b, c dan d yang memenuhi f a = f b = f c = f d = 5. Tunj ukkan bahwa t idak ada bilangan bul at k yang memenuhi f k = 8.
5 . PERSAMAAN
Ada beberapa persamaan yang akan dibahas, yait u : A.
Persamaan Kuadrat Bent uk persamaan kuadrat adal ah Ax
2
+ Bx + C = 0. 1 Pengert ian
akar Misal kan x
1
dan x
2
adal ah nil ai x yang memenuhi persamaan kuadrat di at as. Nil ai x
1
dan x
2
dikenal j uga dengan akar-akar. Maka berl aku. Ax
1 2
+ Bx
1
+ C = 0 Ax
2 2
+ Bx
2
+ C = 0 2
Menent ukan nil ai akar-akar persamaan kuadrat
Eddy Hermanto, ST Aljabar
16
Unt uk mencari nil ai x yang memenuhi dapat dicari dengan cara kuadrat sempurna, memf akt orkan maupun dengan menggunakan rumus x
1, 2
=
A AC
B B
2 4
2
− ±
−
sebagaimana yang t el ah didapat kan dari pel aj aran di kel as.
Persamaan B
2
−
4AC dikenal dengan nama diskriminan. Nil ai diskriminan ini menent ukan j enis- j enis akar nil ai x
1
dan x
2
. Ada t iga kemungkinan nil ai diskriminan.
•
Jika B
2
−
4AC 0 maka x
1
dan x
2
keduanya real dan berbeda.
•
Jika B
2
−
4AC = 0 maka x
1
= x
2
sert a x
1
dan x
2
keduanya real .
•
Jika B
2
−
4AC 0 maka x
1
dan x
2
keduanya t idak real . 3
Hubungan kedua akar Persamaan kuadrat yang memiliki akar-akar x
1
dan x
2
dapat dit ul iskan ke dal am bent uk persamaan x
2
−
x
1
+ x
2
x + x
1
x
2
= 0. Misal kan t erdapat persamaan kuadrat Ax
2
+ Bx + C = 0 yang memiliki akar-akar x
1
dan x
2
. Maka hubungan ant ara x
1
dan x
2
adal ah sebagai berikut .
A B
x x
− =
+
2 1
A C
x x
= ⋅
2 1
4 Menent ukan persamaan kuadrat baru.
Misal kan persamaan kuadrat Ax
2
+ Bx + C = 0 memiliki akar-akar x
1
dan x
2
. Ada beberapa cara j ika ingin menent ukan persamaan kuadrat yang memil iki akar-akar x
3
dan x
4
dan memil iki hubungan t ert ent u dengan x
1
dan x
2
. a.
Membawa ke dal am persamaan x
2
−
x
3
+ x
4
x + x
3
x
4
= 0. Misal kan t erdapat persamaan kuadrat Ax
2
+ Bx + C = 0 yang memil iki akar-akar x
1
dan x
2
. Dari ket erangan sebel umnya akan didapat kan nil ai dari x
1
+ x
2
dan x
1
x
2
. Jika dapat dit ent ukan nil ai dari x
3
+ x
4
dan x
3
x
4
ke dal am bent uk x
1
+ x
2
dan x
1
x
2
maka berart i nil ai dari x
3
+ x
4
dan x
3
x
4
dapat dit ent ukan sehingga akan didapat persamaan kuadrat yang memil iki akar-akar x
3
dan x
4
yait u x
2
−
x
3
+ x
4
x + x
3
x
4
= 0. b.
Mel akukan subt it usi set el ah menghil angkan indeks Jika dari hubungan x
3
dan x
4
yang memil iki hubungan t ert ent u dengan x
1
dan x
2
kit a hil angkan indeksnya l al u kit a subt it usikan ke persamaan semul a dan mendapat kan
persamaan kuadrat baru. Maka persamaan kudarat t ersebut memil iki akar-akar x
3
dan x
4
. 5
Menent ukan nil ai suat u bilangan yang berbent uk
ab b
a 2
+ +
dan
ab b
a 2
− +
Jika
b a
+
dan
b a
−
keduanya dikuadrat kan akan didapat
ab b
a b
a 2
2
+ +
= +
ab b
a b
a 2
2
− +
= −
Sehingga dapat dit ent ukan nil ai dari
ab b
a 2
+ +
dan
ab b
a 2
− +
, yait u
b a
ab b
a +
= +
+ 2
b a
ab b
a −
= −
+ 2
dengan syarat a
≥
b. Cont oh 22 :
Jika sal ah sat u akar x
2
+ a + 1x + 3a + 2 = 0 adal ah 5, maka akar l ainnya adalah
⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Sesuai pengert ian akar maka akan didapat
5
2
+ a + 1
⋅
5 + 3a + 2 = 0 a =
−
4 Persamaan kuadrat t ersebut adal ah
x
2
−
3x
−
10 = 0
Eddy Hermanto, ST Aljabar
17
x
−
5x + 2 = 0 x
1
= 5 dan x
2
=
−
2 Jadi, akar l ainnya adal ah
−
2. Cont oh 23 :
Jika x
1
dan x
2
akar-akar persamaan cx
2
+ bx + a = 0, maka
2 2
2 1
1 1
x x
+
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : x
1
+ x
2
=
−
c b
x
1
x
2
=
c a
2 2
2 1
1 1
x x
+
=
2 2
1 2
2 2
1
x x
x x
+
=
2 2
1 2
1 2
2 1
2 x
x x
x x
x −
+
2 2
2 1
1 1
x x
+
=
2 2
2 a
ac b
−
Cont oh 24 : Persamaan kuadrat yang akar-akarnya 3 l ebihnya dari akar-akar persamaan kuadrat x
2
+ 5x
−
24 = 0 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Misalkan x
1
dan x
2
adal ah akar-akar persamaan kuadrat x
2
+ 5x
−
24 = 0. Maksud soal adal ah menent ukan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x
3
= x
1
+ 3 dan x
4
= x
2
+ 3. Al t ernat if 1 :
x
1
+ x
2
=
−
5 dan x
1
x
2
=
−
24 x
3
+ x
4
= x
1
+ x
2
+ 6 = 1 x
3
⋅
x
4
= x
1
+ 3x
2
+ 3 = x
1
x
2
+ 3x
1
+ x
2
+ 9 =
−
24
−
15 + 9 =
−
30 Persamaan kuadrat baru adal ah x
2
−
x
3
+ x
4
x + x
3
x
4
= 0. Jadi, persamaan kuadrat yang dimint a adal ah x
2
−
x
−
30 = 0 Al t ernat if 2 :
Misal kan y
3
= x
1
+ 3 dan y
4
= x
2
+ 3 Jika indeks dihil angkan akan didapat y = x + 3. Subt it usikan x = y
−
3 ke persamaan semul a. y
−
3
2
+ 5y
−
3
−
24 = 0 y
2
−
y
−
30 = 0 y
2
−
y
−
30 = 0 yang merupakan persamaan kuadrat yang akar-akarnya x
1
+ 3 dan x
2
+ 3. Jadi, persamaan kuadrat yang dimint a adal ah x
2
−
x
−
30 = 0 Cont oh 25 :
L L
= + 3
4 8
Sol usi :
2 6
2 2
6 12
2 8
3 4
8 ⋅
+ +
= +
= +
. Memperhat ikan rumus
b a
ab b
a +
= +
+ 2
, maka
2 6
3 4
8 +
= +
Eddy Hermanto, ST Aljabar
18
Cont oh 26 : OSK 2002 Misal kan a dan b bil angan real yang berbeda sehingga
a b
b a
b a
10 10
+ +
+
= 2 Tent ukan nilai
b a
. Sol usi :
Karena
a b
b a
b a
10 10
+ +
+
= 2 maka
b a
b a
b a
10 1
10 +
+
+
= 2 Misal
x
b a
=
, maka
x
x x
− =
+ +
2
10 1
10
x + 10 = 2
−
10x
2
+ 19x 5x
−
4 x
−
1 = 0 x = 1 at au x =
5 4
Jadi, karena a
≠
b, maka x
≠
1. Jadi,
5 4
=
b a
LAT IHAN 5. A
1. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya dua l ebih besar dari akar-akar x
2
+ px + 1 = 0 t api t iga l ebih kecil dari akar-akar persamaan 2x
2
−
3x + q = 0 adal ah
⋅⋅⋅⋅
2. Jika p =
2 2
3 1
x x
x −
+
maka bat as-bat as p supaya x real adal ah
⋅⋅⋅
3. Jika kedua akar persamaan kuadrat x
2
−
px + p = 0 bernil ai real posit if , maka bat as-bat as nilai p yang memenuhi adal ah
⋅⋅⋅⋅
4. Jika x
1
dan x
2
akar-akar persamaan x
2
+ 2x + 4 = 0, maka persamaan kuadrat yang akar-akarnya
1 1
1
− x
dan
1 1
2
− x
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
5. OSK 2005 Misal kan a dan b adal ah bi l angan real t aknol yang memenuhi 9a
2
−
12ab + 4b
2
= 0. Tent ukan
b a
. 6.
AIME 1990 Tent ukan nil ai dari
2 3
2 3
43 6
52 43
6 52
− −
+
. 7.
AIME 1990 Tent ukan penyel esaian posit if
69 10
2 45
10 1
29 10
1
2 2
2
− −
− −
− −
= +
x x
x x
x x
. 8.
ARML 1999 Individual Jika a dan b adal ah akar-akar persamaan kuadrat 11x
2
−
4x
−
2 = 0. hit ungl ah nilai dari :
1 + a + a
2
+
⋅⋅⋅
1 + b + b
2
+
⋅⋅⋅
9. OSP 2002 Tinj au persamaan yang berbent uk x
2
+ bx + c = 0. Berapa banyakkah persamaan demikian yang memil iki akar-akar real j ika koef isien b dan c hanya bol eh dipilih dari himpunan
{1, 2, 3, 4, 5, 6} ? 10.
Akar-akar persamaan kuadrat x
2
+ 6x + c = 0 adalah x
1
dan x
2
sedangkan akar-akar persamaan kuadrat x
2
+ x
1 2
+ x
2 2
x + 4 = 0 adal ah u dan v. Jika u + v =
−
uv maka nil ai dari x
1 3
x
2
+ x
1
x
2 3
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
19
11.
α
dan
β
adalah akar-akar persamaan kuadrat x
2
−
3a
−
1x + 2a
2
+ 4b = 0. Jika
α
= 2
β
maka nil ai dari a + b =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
12. AIME 1983 Tent ukan hasil kal i semua akar-akar real
45 18
2 30
18
2 2
+ +
= +
+ x
x x
x
. 13.
Diket ahui x
2
−
2p + 1x + p = 0 dengan akar-akar x
1
dan x
2
sert a 3x
2
−
q
−
1x
−
1 = 0 dengan akar-akar x
3
dan x
4
. Jika x
1
x
3
= 1 dan x
2
x
4
= 1, maka nil ai dari p
−
2q + 13 =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
14. Jika a
≠
b dan j ika persamaan-persamaan x
2
+ ax + bc = 0 dan x
2
+ bx + ac = 0 mempunyai t epat sebuah akar persekut uan, t unj ukkan bahwa akar-akar yang lain dari kedua persamaan t ersebut
memenuhi persamaan x
2
+ cx + ab = 0. 15.
Misal kan
α
dan
β
adal ah akar-akar persamaan x
2
+ px + 1 = 0 sedangkan
γ
dan
δ
adal ah akar-akar persamaan x
2
+ qx + 1 = 0. Bukt ikan bahwa
α −
γ β
− γ
α
+
δ β
+
δ
= q
2
−
p
2
. 16.
AIME 1991 Misal kan k adal ah penj uml ahan semua nil ai mut l ak dari nil ai-nil ai x yang memenuhi
x x
91 19
91 19
91 19
91 19
91 19
+ +
+ +
+ =
. Tent ukan nilai dari k
2
.
17. Diket ahui b
1
, c
1
, b
2
dan c
2
adal ah bilangan real yang memenuhi b
1
b
2
= 2c
1
+ c
2
. Tunj ukkan bahwa sedikit nya sat u dari dua persamaan x
2
+ b
1
x + c
1
= 0 dan x
2
+ b
2
x + c
2
= 0 memil iki akar- akar real .
18. Diberikan a, b, c
∈
bil angan real sert a a dan 4a + 3b + 2c mempunyai t anda yang sama. Tunj ukkan bahwa persamaan ax
2
+ bx + c = 0 kedua akarnya t idak mungkin t erlet ak pada int erval 1, 2.
B. Persamaan Eksponen
Dal am pembahasan hanya akan disinggung t ent ang sif at -sif at pada eksponen, yait u : i
a
o
= 1 unt uk a
≠
ii unt uk n
∈
N.
4 43
4 42
1 L
nkali n
a a
a a
a ⋅
⋅ ⋅
⋅ =
iii
c b
c b
a a
a
+
= ⋅
iv
c b
a a
= unt uk a
≠
c b
a
−
v
bc c
b
a a
=
vi
m m
a a
1 =
−
unt uk a
≠
vii
2 1
a a
=
dengan syarat a
≥
0. viii
n m
n m
a a
=
Eddy Hermanto, ST Aljabar
20
Cont oh 27 : Harga x yang memenuhi persamaan
4 5
3
8 4
+ +
=
x x
adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi :
4 5
3
8 4
+ +
=
x x
4 5
3 3
2
2 2
+ +
=
x x
sif at v dan sif at viii 8x + 3 = 3x + 5
5 9
− =
x
Cont oh 28 : Manakah yang l ebih besar : 2
175
at au 5
75
? Bukt ikan. Sol usi :
2
175
= 2
7 25
= 128
25
dan 5
75
= 5
3 25
= 125
25
128
25
125
25
2
175
5
75
Jadi, 2
175
l ebih besar dari 5
75
. Cont oh 29 :
OSK 2002 Bil angan
2 8
8 4
4 2
sama dengan
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi :
1 2
2 4
2 4
2
32 32
16 32
2 8
8 4
= =
=
LAT IHAN 5. B
1. Persamaan
x x
3 3
243 1
1 2
27 3
= ⋅
−
memberikan nil ai x sama dengan
⋅⋅⋅⋅⋅
2. Jika 5
3x
= 8, maka 5
3 + x
=
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3. Juml ah akar-akar persamaan 5
x+1
+ 5
6 −
x
= 11 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4. Himpunan penyel esaian dari
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
2 5
49 5
3 2
8
= −
⋅ +
− −
x x
5. Diberikan persamaan
. Jika x
10 3
3
3 2
3
2 2
= +
− +
− x
x x
x 1
dan x
2
adal ah penyel esaiannya, maka
L L
=
+
2 1
3
x x
6. Persamaan 546
x
+ 3
x
= 618
x
+ 9 mempunyai penyel esaian x
1
dan x
2
, maka x
1
⋅
x
2 2
=
⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
21
C. Persamaan Logarit ma
Pengert ian : Jika a
b
= c maka b =
a
l og c. Sif at -sif at pada l ogarit ma, yait u :
i
a b
a b
b
p p
a
log log
log log
log =
=
dengan syarat a, p
≠
1 dan a, b, p 0 ii
a b
b a
log 1
log =
dengan a, b
≠
1 dan a, b 0 iii
a
l og b +
a
l og c =
a
l og bc dengan syarat a
≠
1 dan a, b, c 0 iv
a
l og b
n
= n
⋅
a
l og b dengan syarat a
≠
1 dan a, b 0 v
b n
m b
b
a n
m a
m a
n
log log
log ⋅
= =
dengan syarat a
≠
1 dan a, b 0 vi
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
= −
c b
c b
a a
a
log log
log
dengan syarat a
≠
1 dan a, b, c 0 vii
dengan syarat a, b
≠
1 dan a, b, c 0
c c
b
a b
a
log log
log =
⋅
viii
n m
b
b a
n m
a
=
log
dengan syarat a
≠
1 dan a, b 0. Cat at an : Bent uk
a
l og b kadang-kadang dit ul is dengan l og
a
b. Cont oh 30 :
OSP 2003 Berapakah nil ai x yang memenuhi
4
l og
2
l og x +
2
l og
4
l og x = 2 ? Sol usi :
2
4 2
2 4
= +
x x
log log
log log
sehingga
2 log
log log
log
2 2
2 1
2 2
= +
x x
4 2
log log
2 2
2 1
2
= =
⋅ ⋅
x x
8
2 3
2
= log x
x = 2
4
Jadi, x = 16 Cont oh 31 :
OSK 2004 Jika l og p + l og q = l og p + q, maka p dinyat akan dalam q adal ah p =
⋅⋅⋅⋅
Sol usi : l og p + l og q = l og p + q
l og pq = l og p + q pq = p + q
pq
−
1 = q Jadi, p =
1 −
q q
Cont oh 32 :
Jika
2 1
log log
= a
a
c b
dan
k
c c
b =
, maka k =
⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
22
Sol usi : Berdasarkan sif at i akan didapat
2 1
log log
log log
log log
1
= =
=
+ k
c b
c c
b c
a a
Maka k + 1 = 2 Jadi, k = 1
LAT IHAN 5. C
1. OSK 2003 Misal kan 3
a
= 4, 4
b
= 5, 5
c
= 6, 6
d
= 7, 7
e
= 8, dan 8
f
= 9. Berapakah hasil kali abcdef ? 2.
AIME 1984 Bil angan real x dan y memenuhi
8
l og x +
4
l og y
2
= 5 dan
8
l og y +
4
l og x
2
= 7. Tent ukan xy.
3. AHSME 1998 Tent ukan nil ai dari
100 log
1 100
log 1
100 log
1 100
log 1
100 4
3 2
+ +
+ +
L
dengan n = 1 x 2 x 3 x
⋅⋅⋅
x n. 4.
AIME 1983 Diket ahui x, y dan z adalah bil angan real l ebih dari 1 dan w adal ah bilangan real posit if . Jika
x
l og w = 24,
y
l og w = 40 dan
xyz
l og w = 12, t ent ukan
z
l og w. 5.
AIME 1988 Diberikan
2
l og
8
l og x =
8
l og
2
l og x. Tent ukan nil ai dari
2
l og x
2
. 6.
AHSME 1997 Unt uk bil angan asl i n maka
8
l og n j ika
8
l og n bil angan rasional f n =
unt uk l ainnya Nil ai dari
∑
= 1997
1 n
n f
7. AHSME 1998 Ada berapa banyak bil angan prima yang merupakan f akt or dari N dan memenuhi
2
l og
3
l og
5
l og
7
l og N = 11. 8.
ARML 2000 Individual Jika b = 2000, hi t ungl ah nil ai deret t ak hingga berikut :
... 5
log 2
log 5
log 2
log 5
log 2
log
2 1
4 2
4 1
4
+ +
+
b b
b b
b b
9. AIME 2002 Penyel esaian dari sist em persamaan
225
l og x +
64
l og y = 4 dan
x
l og 225
−
y
l og 64 = 1
adal ah x, y = x
1
, y
1
dan x
2
, y
2
. Nil ai dari
30
l og x
1
y
1
x
2
y
2
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
D. Persamaan Lingkaran
1 Persamaan Lingkaran berpusat di 0, 0 dan a, b
Lingkaran adal ah kumpulan t it ik-t it ik yang memiliki j arak yang sama t erhadap suat u t it ik t ert ent u, yait u pusat lingkaran. Jadi ada dua hal yang sangat berkait an dengan l ingkaran yait u
j ari-j ari l ingkaran, R, dan pusat l ingkaran. Dari pengert ian l ingkaran t ersebut j ika dit urunkan akan didapat persamaan :
x
2
+ y
2
= r
2
yang merupakan persamaan l ingkaran berpusat di 0, 0 dan berj ari-j ari r. x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
yang merupakan persamaan l ingkaran berpusat di a, b dan berj ari-j ari r.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
23
Jika persamaan x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
dij abarkan akan didapat persamaan umum l ingkaran yang berbent uk :
x
2
+ y
2
+ Ax + By + C = 0 Sal ah sat u cara menent ukan persamaan l ingkaran j ika diket ahui pusat lingkaran dan persamaan
garis yang menyinggung l ingkaran t ersebut adal ah dengan memanf aat kan rumus j arak t it ik ke suat u garis lurus sebab j arak t it ik pusat ke garis singgung t ersebut adal ah merupakan j ari-j ari
l ingkaran. Misal kan suat u garis l urus memiliki persamaan Ax + By + C = 0. Maka rumus j arak t it ik
x
1
, y
1
ke garis t ersebut adal ah
2 2
1 1
B A
C By
Ax d
+ +
+ =
. 2
Hubungan ant ara t it ik dengan l ingkaran Misal kan t erdapat lingkaran dengan persamaan x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
dan t it ik p, q. Maka hubungan t it ik p, q dengan x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
akan memil iki t iga kemungkinan hubungan : a
Jika p
−
a
2
+ q
−
b
2
r
2
maka t it ik p, q t erl et ak di dal am l ingkaran b
Jika p
−
a
2
+ q
−
b
2
= r
2
maka t it ik p, q t erl et ak pada l ingkaran c
Jika p
−
a
2
+ q
−
b
2
r
2
maka t it ik p, q t erl et ak di l uar l ingkaran 3
Hubungan ant ara garis l urus dengan l ingkaran Misal kan diket ahui suat u garis l ur us y = mx + c dan lingkaran x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
. Bagaimana hubungan ant ara garis l urus dan l ingkaran t ersebut ?
Subt it usikan persamaan y = mx + c ke persamaan l ingkaran x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
sehingga didapat suat u persamaan kuadrat dalam peubah x, yait u Ax
2
+ Bx + C = 0. Dari persamaan t ersebut dapat dihit ung diskriminan = B
2
−
4AC. i
Jika B
2
−
4AC 0 maka garis l urus t idak memot ong l ingkaran ii
Jika B
2
−
4AC = 0 maka garis l urus menyinggung l ingkaran iii
Jika B
2
−
4AC 0 maka garis l urus memot ong l ingkaran di dua t it ik Prinsip nilai diskriminan di at as t idak hanya dapat digunakan unt uk mencari hubungan ant ara
garis l urus dengan l ingkaran t et api j uga hubungan ant ara garis l urus dengan irisan kerucut yang l ain sepert i parabol a, el ips maupun hiperbol a.
4 Persamaan Garis Singgung pada Lingkaran
a Garis singgung l ingkaran dengan gradien t ert ent u
Misal kan diket ahui bahwa garis inggung t ersebut memil iki gradien m. Maka persamaan garis singgung dapat dinyat akan dengan
i Unt uk l ingkaran x
2
+ y
2
= r
2
Persamaan Garis Singgung,
1
2
+ ±
= m
r mx
y
ii Unt uk l ingkaran x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
Persamaan Garis Singgung,
1
2
+ ±
− =
− m
r a
x m
b y
b Garis Singgung mel al ui t it ik pada l ingkaran
Misalkan t it ik x
1
, y
1
t erl et ak pada l ingkaran maka persamaan garis singgung yang mel al ui t it ik t ersebut dapat dit ent ukan dengan
i Unt uk l ingkaran x
2
+ y
2
= r
2
Persamaan Garis Singgung, x
1
x + y
1
y = r
2
ii Unt uk l ingkaran x
−
a
2
+ y
−
b
2
= r
2
Persamaan Garis Singgung, x
1
−
ax
−
a + y
1
−
by
−
b = r
2
c Persamaan Garis Singgung mel al ui t it ik di l uar l ingkaran
Unt uk menent ukan persamaan garis singgung ini dapat dil akukan dengan beberapa cara : i
Dengan mencari rumus diskriminan l al u memanf aat kan pengert ian hubungan ant ara garis l urus dengan l ingkaran
Eddy Hermanto, ST Aljabar
24
ii Dengan menggunakan persamaan garis pol ar
iii Dengan memanf aat kan persamaan garis si nggung dengan gradien m unt uk mencari
nil ai m Cont oh 33 :
OSK 2005 Tit ik Aa, b disebut
t it ik let is
j ika a dan b keduanya adal ah bil angan bul at . Banyaknya t it ik l et is pada l ingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 adal ah
Sol usi : Persamaan l ingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 adal ah x
2
+ y
2
= 25 Karena 0
2
+ 5
2
= 3
2
+ 4
2
= 25 maka pasangan x, y bul at yang memenuhi ada 12, yait u 0, 5, 0,
−
5, 5, 0,
−
5, 0, 3, 4, 3,
−
4,
−
3, 4,
−
3,
−
4, 4, 3, 4,
−
3,
−
4, 3 dan
−
4,
−
3. Jadi, banyaknya t it ik l et is pada l ingkaran yang berpusat di O dan berj ari-j ari 5 ada 12.
Cont oh 34 : Persamaan l ingkaran yang berpusat di 1, 4 dan menyinggung garis 3x
−
4y
−
2 = 0 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Jarak pusat 1, 4 ke garis 3x
−
4y
−
2 = 0 sama dengan j ari-j ari l ingkaran t ersebut . Jarak t ersebut = d =
2 2
4 3
2 4
4 1
3 +
− −
= 3. Persamaan l ingkaran berpusat di 1, 4 dan memiliki j ari-j ari 3 adal ah
x
−
1
2
+ y
−
4
2
= 9 Cont oh 35 :
OSK 2002 Unt uk nil ai a yang manakah garis l urus y = 6x memot ong parabol a y = x
2
+ a t epat di sat u t it ik ?
Sol usi : Karena 6x = x
2
+ a maka x
2
−
6x + a = 0 Disk = 6
2
−
41a = 36
−
4a Syarat agar y = 6x memot ong parabol a y = x
2
+ a di sat u t it ik adal ah Disk = 0 36
−
4a = 0 Jadi, a = 9
Cont oh 36 : Persamaan garis singgung x
2
+ y
2
−
6x + 4y
−
12 = 0 di t it ik 7,
−
5 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Subt it usi t it ik 7,
−
5 ke persamaan x
2
+ y
2
−
6x + 4y
−
12 = 0 didapat 7
2
+
−
5
2
−
67 + 4
−
5
−
12 = 0 Art inya t it ik 7,
−
5 t erl et ak pada l ingkaran x
2
+ y
2
−
6x + 4y
−
12 = 0. Persamaan garis singgungnya adal ah x
−
37
−
3 + y + 2
−
5 + 2 = 25 Jadi, persamaan garis singgung l ingkaran x
2
+ y
2
−
6x + 4y
−
12 = 0 di t it ik 7,
−
5 adal ah 4x
−
3y = 43 Cont oh 37 :
Persamaan garis singgung yang dit arik dari t it ik 4, 2 ke l ingkaran x
2
+ y
2
= 10 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
25
Sol usi : Karena 4
2
+ 2
2
10 maka t it ik 4, 2 t erlet ak di l uar l ingkaran. Al t ernat if 1 :
Persamaan garis melal ui t it ik 4, 2 dan gradien m adal ah y
−
2 = mx
−
4. Subt it usi garis t ersebut ke persamaan l ingkaran didapat
x
2
+ mx
−
4m + 2
2
= 10 m
2
+ 1x
2
+ 2
−
4m
2
+ 2mx + 16m
2
−
16m
−
6 = 0 Diskriminan = 2
2
−
4m
2
+ 2m
2
−
4m
2
+ 116m
2
−
16m
−
6 Agar y
−
2 = mx
−
4 menyinggung l ingkaran x
2
+ y
2
= 10 maka diskriminan harus sama dengan 0. 2
2
−
4m
2
+ 2m
2
−
4m
2
+ 116m
2
−
16m
−
6 = 0 16m
4
−
16m
3
+ 4m
2
−
16m
4
+ 16m
3
+ 6m
2
−
16m
2
+ 16m + 6 = 0 3m
2
−
8m
−
3 = 0 3m + 1m
−
3 = 0 Jika m =
−
3 1
maka garis singgung t ersebut memiliki persamaan y
−
2 =
−
3 1
x
−
4. Jika m = 3 maka garis singgung t ersebut memil iki persamaan y
−
2 = 3x
−
4. Jadi, persamaan garis singung yang dit arik dari t it ik 4, 2 adal ah x + 3y = 10 dan 3x
−
y = 10. Al t ernat if 2 :
Misal kan t it ik x
o
, y
o
= 4, 2. Persamaan garis pol ar t it ik x
o
, y
o
t erhadap l ingkaran x
2
+ y
2
= 10 adal ah x
o
x + y
o
y = 10 yait u 2x + y = 5
Subt it usikan persamaan garis pol ar t ersebut ke l ingkaran x
2
+ y
2
= 10 didapat x
2
+ 5
−
2x
2
= 10 x
2
−
4x + 3 = 0 x
1
= 1 at au x
2
= 3 Jika x
1
= 1 maka y
1
= 3 sehingga t it ik singgung dari garis singgung t ersebut pada lingkaran adalah 1, 3 sehingga persamaan garis singgungnya adalah x + 3y = 10.
Jika x
2
= 3 maka y
2
=
−
1 sehingga t it ik singgung dari garis singgung t ersebut pada lingkaran adalah 3,
−
1 sehingga persamaan garis singgungnya adalah 3x
−
y = 10. Jadi, persamaan garis singung yang dit arik dari t it ik 4, 2 adal ah x + 3y = 10 dan 3x
−
y = 10. Al t ernat if 3 :
Misal kan gradien garis singung t ersebut adal ah m. Maka persamaan garis singgung t ersebut adal ah
1
2
+ ±
= m
r mx
y
yait u
10 10
2
+ ±
= m
mx y
Karena garis t ersebut mel al ui t it ik 4, 2 maka
m m
4 2
10 10
2
− ±
= +
10m
2
+ 10 = 4
−
16m + 16m
2
3m + 1m
−
3 = 0 Jika m =
−
3 1
maka garis singgung t ersebut memiliki persamaan y
−
2 =
−
3 1
x
−
4. Jika m = 3 maka garis singgung t ersebut memil iki persamaan y
−
2 = 3x
−
4. Jadi, persamaan garis singung yang dit arik dari t it ik 4, 2 adal ah x + 3y = 10 dan 3x
−
y = 10.
LAT IHAN 5. D
1. Persamaan l ingkaran dengan t it ik pusat 4, 3 dan j ari-j ari = 4 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2. Persamaan l ingkaran yang t it ik pusat nya t erl et ak pada garis y = x + 1 dan menyinggung sumbu X
di t it ik 5, 0 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
26
3. Suat u l ingkaran berj ari-j ari 5, melal ui t it ik 0, 0 dan pusat nya pada garis y = x + 1 mempunyai
persamaan
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4. Diket ahui t it ik A
−
2, 1 , B4,
−
3 dan Px, y t erl et ak sedemikian sehingga PA
2
+ PB
2
= AB
2
. Maka P merupakan t it ik-t it ik yang t erlet ak pada busur l ingkaran yang memot ong sumbu X pada
koordinat
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. Persamaan garis singgung di t it ik 7,
−
1 pada l ingkaran x
2
+ y
2
= 50 adalah
⋅⋅⋅⋅⋅
6. Garis l urus 3x + 4y + k = 0 akan menyinggung l ingkaran x
2
+ y
2
+ 6x + 8y = 0 j ika k bernil ai
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. Jari-j ari l ingkaran yang menyinggung sumbu x di 6, 0 dan menyinggung garis y =
√
3 x adal ah
⋅⋅⋅⋅
8. Persamaan garis singgung yang dit arik dari t it ik 7,
−
1 ke l ingkaran x
2
+ y
2
= 40 adal ah
⋅⋅⋅⋅
9. Persamaan garis singgung pada l ingkaran x
2
+ y
2
= 36 yang t egak l urus garis 4y =
−
3x + 80 adal ah 10.
Jarak t erj auh dari t it ik
−
12, 5 ke l ingkaran dengan persamaan x
2
+ y
2
= 100 adal ah
⋅⋅⋅⋅
11. Bil angan real x dan y memenuhi x + 5
2
+ y
−
12
2
= 14
2
, maka nil ai minimum dari x
2
+ y
2
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
12. AHSME 1998 Kedua graf ik x
2
+ y
2
= 4 + 12x + 6y dan x
2
+ y
2
= k + 4x + 12y memil iki t it ik pot ong j ika k memenuhi a
≤
k
≤
b. Nil ai dari b
−
a adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
13. AHSME 1996 Diberikan persamaan x
2
+ y
2
= 14x + 6y + 6. Nil ai t erkecil dari 3x + 4y yang memenuhi adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
E. Persamaan Nilai mut lak Nil ai mut lak dari x dit ul is dengan
⏐
x
⏐
dan memiliki pengert ian
⏐
x
⏐
= x j ika x
≥
0 dan
⏐
x
⏐
=
−
x j ika x 0. Jika hanya memuat sat u t anda mut l ak maka penyel esaian persamaan dapat dengan
menggunakan pengert ian nil ai mut l ak at au dapat j uga dengan mengkuadrat kan t anda mut l ak. Cont oh 38 :
Selesaikan persamaan
⏐
x
−
2
⏐
= 8 Sol usi :
Al t ernat if 1 : Dari pengert ian didapat j ika x
≥
2 maka x
−
2 = 8 sehingga x = 10 yang memenuhi persamaan. Sedangkan j ika x 2 maka 2
−
x = 8 sehingga x =
−
6 yang j uga memenuhi persamaan. Jadi, penyel esaian x yang memenuhi adal ah x =
−
6 at au x = 10. Al t ernat if 2 :
Karena
⏐
x
−
2
⏐
bernil ai posit if maka penyel esaiannya dapat dil akukan dengan mengkuadrat kan kedua ruas.
x
−
2
2
= 64 x
2
−
4x
−
60 = 0 x
−
10x + 6 = 0 x = 10 at au x =
−
6 Persoal an menj adi l ebih rumit apabila dalam persamaan t ersebut memuat l ebih dari sat u t anda
mut l ak. Penyel esaiannya dapat di lakukan dengan membagi kasus.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
27
Cont oh 39 : OSP 2003 Apakah himpunan j awab dari persamaan
⏐
x + 2
⏐
+
⏐
3x
⏐
= 14 Sol usi :
•
Unt uk x
≤ −
2, maka
|
x + 2
|
=
−
x
−
2 dan
|
3x
|
=
−
3x
|
x + 2
|
+
|
3x
|
= 14. Maka
−
x
−
2
−
3x = 14 sehingga x =
−
4 memenuhi bahwa x
≤ −
2
•
Unt uk
−
2
≤
x
≤
0 maka
|
x + 2
|
= x + 2 dan
|
3x
|
=
−
3x
|
x + 2
|
+
|
3x
|
= 14. Maka x + 2
−
3x = 14 sehingga x =
−
6 t idak memenuhi bahwa
−
2
≤
x
≤ •
Unt uk x
≥
0 maka
|
x + 2
|
= x + 2 dan
|
3x
|
= 3x
|
x + 2
|
+
|
3x
|
= 14. Maka x + 2 + 3x = 14 sehingga x = 3 memenuhi bahwa x
≥
Jadi, himpunan j awab dari persamaan
|
x + 2
|
+
|
3x
|
= 14 adal ah = {
−
4, 3}
LAT IHAN 5. E :
1. OSK 2005 Tent ukan semua sol usi persamaan
⏐
x
−
1
⏐
+
⏐
x
−
4
⏐
= 2. 2.
AIME 1983 Tent ukan nilai minimum dari
⎪
x
−
p
⎪
+
⎪
x
−
15
⎪
+
⎪
x
−
p
−
15
⎪
unt uk suat u nil ai x dal am bat as p
≤
x
≤
15 dimana 0 p 15. 3.
OSP 2006 Diberikan f ungsi f x =
⎪⎪
x
−
2
⎪ −
a
⎪ −
3. Jika graf ik f memot ong sumbu-x t epat di t iga t it ik, maka a =
····
4. OSP 2006 Jika
⏐
x
⏐
+ x + y = 10 dan x +
⏐
y
⏐ −
y = 12, maka x + y =
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. AHSME 1997 Ada berapa banyak t ripel bil angan bulat a, b, c yang memenuhi
⎪
a + b
⎪
+ c = 19 dan ab +
⎪
c
⎪
= 97 6.
AHSME 1977 Unt uk a, b, c bil angan real t aknol , semua kemungkinan nil ai dari
abc abc
c c
b b
a a
+ +
+
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
7. AHSME 1999 Graf ik y =
−⎪
x
−
a
⎪
+ b dan y =
⎪
x
−
c
⎪
+ d berpot ongan di t it ik 2, 5 dan 8, 3. Nil ai a + c adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
8. AIME 1988 x
i
adal ah bil angan real yang memenuhi
−
1 x
i
1 dan
⎪
x
1
⎪
+
⎪
x
2
⎪
+
⋅⋅⋅
+
⎪
x
n
⎪
= 19 +
⎪
x
1
+ x
2
+
⋅⋅⋅
+ x
n
⎪
. Tent ukan nil ai t erkecil n yang memenuhi. 9.
AIME 2001 Fungsi f x memenuhi persamaan f 3x = 3f x unt uk semua bil angan real x dan f x = 1
− ⎪
x
−
2
⎪
unt uk 1
≤
x
≤
3. Tent ukan bil angan posit if x t erkecil yang memenuhi f x = f 2001.
6 . SISTEM PERSAMAAN
Sist em persamaan t erdiri dari l ebih dari sat u persamaan dal am rangka mencari suat u penyel esaian. A.
Sist em Persamaan Linier Sist em persamaan umum yang dikenal adal ah sist em persamaan l inier, yait u sist em persamaan yang
pangkat variabel nya t idak l ebih dari sat u. Ada n buah persamaan dengan n buah variabel .
Eddy Hermanto, ST Aljabar
28
Penyel esaian sist em persamaan dapat dil akukan dengan menggunakan subt it usi, el iminasi maupun dengan memanf aat kan mat riks.
Cont oh 40 : OSK 2003 Hari ini usiaku 1 3 kali usia ayahku. Li ma t ahun yang l al u, usiaku 1 4 kal i usia ayahku
pada wakt u it u. Berapakah usiaku sekarang ? Sol usi :
Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y, maka :
Y X
3 1
=
dan
5 5
4 1
− =
− Y
X 5
3 5
4 1
− =
− X
X
4X
−
20 = 3X
−
5 X = 15
Jadi, usiaku saat ini 15 t ahun
B. Sist em Persamaan Tak Linier
Dal am sist em persamaan t ak l inier pangkat variabel bisa l ebih dari sat u at au merupakan perkal ian di ant ara variabel -variabel yang ada. Dal am sist em persamaan t ak l inier maka persoal an menj adi
l ebih sul it dan membut uhkan t eknik penyel esaian yang l ebih t inggi. Cont oh 41 :
Dit ent ukan 3 buah persamaan dengan x, y, z 0 x
−
1y
−
2 = 12 y
−
2z
−
3 = 20 z
−
3x
−
1 = 15 Tent ukan nilai 3x + 2y + 3z.
Sol usi : Kal ikan ket iga persamaan didapat
x
−
1y
−
2z
−
3
2
= 12
⋅
20
⋅
15 = 60
2
x
−
1y
−
2z
−
3 = 60 Maka z
−
3 = 5, x
−
1 = 3 dan y
−
2 = 4 Didapat x = 4, y = 6 dan z = 8
Jadi, 3x + 2y + 3z = 48. Jika persamaan-persamaan dal am sist em persamaan t ak l inier dapat dibawa ke dal am persamaan-
persamaan sebagaimana t el ah dij el askan pada rumus Viet a maka hubungan suku banyak dengan akar-akarnya dapat digunakan unt uk menyel esai kan persoal an sist em persamaan t ak l inier.
Cont oh 42: Tent ukan nilai a, b dan c yang memenuhi sist em persamaan berikut :
a + b + c = 9 ab + ac + bc = 26
abc = 24 Sol usi :
Sesuai dengan rumus Viet a maka a, b, dan c adal ah akar-akar persamaan x
3
−
9x
2
+ 26x
−
24 = 0 Dengan t eorema horner didapat
x
3
−
9x
2
+ 26x
−
24 = x
−
2x
−
3x
−
4 = 0 Tripel a, b, c yang memenuhi adal ah 2, 3, 4 dan permut asinya.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
29
Cont oh 43 : AIME 1991 m, n adal ah bil angan asli yang memenuhi mn + m + n = 71 dan m
2
n + mn
2
= 880, t ent ukan m
2
+ n
2
. Sol usi :
mn + m + n = 71 m
2
n + mn
2
= 880 sehingga mnm + n = 880 mn +
mn 880
= 71 mn
2
−
71mn + 880 = 0 mn
−
16mn
−
55 = 0 mn = 16 at au mn = 55
•
Jika mn = 16 maka m + n = 71
−
16 = 55 Nil ai m, n yang memenuhi mn = 16 adal ah 1, 16, 2, 8, 4, 4, 8, 2 dan 16, 1 t et api t idak
ada yang memenuhi m + n = 55.
•
Jika mn = 55 maka m + n = 71
−
55 = 16 Nil ai m, n yang memenuhi mn = 55 adal ah 1, 55, 5, 11, 11, 5, 55, 1.
Yang memenuhi m + n = 16 adalah m = 5 dan n = 11 at au m = 11 dan n = 5 m
2
+ n
2
= 5
2
+ 11
2
= 146 Jadi, nil ai dari m
2
+ n
2
sama dengan 146.
LAT IHAN 6 :
1. Harga x yang memenuhi : 3
x + y
= 29 dan x
−
y = 1 adal ah
⋅⋅⋅
2. Tent ukan semua nilai x + y real yang memenuhi sist em persamaan :
x + y +
y x
= 232 dan
y y
x x
+
= 2007 3.
Tent ukan semua penyel esaian pasangan x, y real yang memenuhi x
2
+ y
2
+ x + y = 12 xy + x + y = 3
4. OSK 2005 Diberikan t iga bi l angan posit if x, y dan z yang semuanya berbeda. Jika
z x
y −
=
z y
x +
=
y x
, maka nil ai
y x
sama dengan 5.
Canadian MO 1969 Tunj ukkan bahwa j ika
3 3
2 2
1 1
b a
b a
b a
= =
dan p
1
, p
2
dan p
3
semuanya t idak sama dengan nol , maka :
n n
n n
n n
n
b p
b p
b p
a p
a p
a p
b a
3 3
2 2
1 1
3 3
2 2
1 1
1 1
+ +
+ +
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛
6. AIME 1989 OSN 2004 Diberikan
x
1
+ 4x
2
+ 9x
3
+ 16x
4
+ 25x
5
+ 36x
6
+ 49x
7
= 1 4x
1
+ 9x
2
+ 16x
3
+ 25x
4
+ 36x
5
+ 49x
6
+ 64x
7
= 12 9x
1
+ 16x
2
+ 25x
3
+ 36x
4
+ 49x
5
+ 64x
6
+ 81x
7
= 123. Tent ukan nilai dari 16x
1
+ 25x
2
+ 36x
3
+ 49x
4
+ 64x
5
+ 81x
6
+ 100x
7
. 7.
Irish MO 1999 Sel esaikan sist em persamaan berikut : y
2
= x + 8x
2
+ 2 y
2
−
8 + 4xy + 16 + 16x
−
5x
2
= 0
Eddy Hermanto, ST Aljabar
30
8. Canadian MO 1970 Tent ukan semua t ripel x, y, z yang memenuhi bahwa sal ah sat u bil angan j ika
dit ambahkan dengan hasil kal i kedua bi langan yang l ain hasil nya adal ah 2. 9.
Viet namese MO 1996 Sel esaikan sist em persamaan berikut :
2 1
1 3
= ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ +
+ y
x x
2 4
1 1
7 =
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ −
y x
y
7 . KETAKSAMAAN
A. Konsep Urut an dan Sif at -sif at dasar dari konsep urut an
Sif at pent ing pada bil angan-bil angan real adal ah adanya urut an sehingga dapat membandingkan dua bil angan sehingga didapat apakah kedua bil angan t ersebut sama at au t idak sama.
Sif at -sif at dari dari konsep urut an pada sist em bil angan real : 1
Set iap bilangan real a hanya memenuhi sat u dan hanya sat u dari kemungkinan i
a = 0 ii
a 0 iii
a 0 2
Set iap bilangan real a dan b hanya memenuhi sat u dan hanya sat u dari kemungkinan i
a = b ii
a b iii
a b 3
Jika a 0 dan b 0 maka a + b 0 4
Jika a 0 dan b 0 at au a 0 dan b 0 maka ab 0 5
Jika a b dan b c maka a c 6
Jika a b maka a
±
c b
±
c unt uk set iap bil angan real c 7
Jika a b dan c d maka a + c b + d 8
Jika a b dan c 0 maka ac bc 9
Jika a b dan c 0 maka ac bc 10
Jika a 0 maka
a 1
11 Jika a 0 dan b 0 maka
b a
12 Jika 0 a b at au a b 0 maka
a b
1 1
. 13
Jika a 0 dan b 0 sert a a
2
b
2
maka a b. Sif at -sif at t ersebut j uga berl aku j ika t anda digant i dengan t anda
≤
kecuali unt uk sif at 12 yang mensyarat kan bahwa a dan b keduanya t ak nol .
Cont oh 44 : Bukt ikan bahwa j ika a, b, c dan d adal ah bil angan posit if yang memenuhi
d c
b a
maka
d c
d b
c a
b a
+ +
. Sol usi :
Al t ernat if 1 : Karena bd posit if sert a
d c
b a
maka ad bc
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sif at 7 ad + ab bc + ab
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sif at 6 ab + d ba + c
Karena bb + d posit if maka
d b
c a
c a
+ +
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sif at 7
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
1
Eddy Hermanto, ST Aljabar
31
Karena bd posit if sert a
d c
b a
maka ad bc
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sif at 7 ad + cd bc + cd
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sif at 6 da + c cb + d
Karena db + d posit if maka
d c
d b
c a
+ +
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
sif at 7
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
2 Dari persamaan 1 dan 2 didapat
d c
d b
c a
b a
+ +
t erbukt i Al t ernat if 2 :
Karena
d c
b a
maka bc ad
b a
d b
c a
−
+ +
=
d b
b ad
bc +
−
Karena bc ad sedangkan b dan b + d posit if maka
b a
d b
c a
−
+ +
=
d b
b ad
bc +
−
Jadi,
b a
d b
c a
+ +
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
3
d b
c a
d c
+ +
−
=
d b
d ad
bc +
−
Karena bc ad sedangkan d dan b + d posit if maka
d b
c a
d c
+ +
−
=
d b
d ad
bc +
−
Jadi,
d b
c a
d c
+ +
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
4 Dari persamaan 3 dan 4 didapat
d c
d b
c a
b a
+ +
t erbukt i Cont oh 45 :
Jika a
≥
b dan x
≤
y maka bukt ikan bahwa
2 by
ax +
≤
2 b
a +
⋅
2 y
x +
Sol usi :
2 b
a +
⋅
2 y
x +
−
2 by
ax +
=
4 2
2 by
ax by
bx ay
ax −
− +
+ +
=
4 x
y b
a −
−
Karena a
≥
b dan x
≤
y maka a
−
by
−
x
≥
0. Jadi,
2 b
a +
⋅
2 y
x +
−
2 by
ax +
≥
0. Tanda kesamaan t erj adi j ika a = b at au x = y. Terbukt i bahwa
2 by
ax +
≤
2 b
a +
⋅
2 y
x +
. B.
Kuadrat Sebarang Bil angan Real Sel al u Tak Negat if Sebagaimana kit a ket ahui bahwa kuadrat dari suat u bil angan real t idak mungl kin negat if . Konsep ini
pent ing unt uk menyel esaikan suat u persoal an. Jika a sebarang bil angan real maka a
2
≥
0. Tanda kesamaan t erj adi hanya j ika a = 0. Cont oh 46 :
Bukt ikan bahwa a
2
+ b
2
≥
2ab unt uk bil angan real a dan b. Kapan t anda kesamaan t erj adi ? Sol usi :
Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka a
−
b
2
≥
Tanda kesamaan t erj adi j ika a = b a
2
+ b
2
≥
2ab t erbukt i
Eddy Hermanto, ST Aljabar
32
Cont oh 47 : Diket ahui a, b, c 0 sert a a + b + c = 2. Bukt ikan bahwa ab + bc t idak l ebih dari 1.
Sol usi : ab + bc = ba + c = b2
−
b ab + bc = 1
−
b
−
1
2
Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka ab + bc
≤
1 dengan t anda kesamaan t erj adi j ika b = 1.
Sif at bil angan kuadrat t idak mungkin negat if t idak hanya digunakan unt uk menyl esaikan masal ah pert idaksamaan t et api j uga menyangkut persamaan.
Cont oh 48 : AHSME 1997 Jika x, y dan z adal ah bil angan real yang memenuhi x
−
3
2
+ y
−
4
2
+ z
−
5
2
= 0 maka nil ai dari x + y + z adal ah
Sol usi : Karena bil angan kuadrat t idak mungkin negat if maka penyel esaian x
−
3
2
+ y
−
4
2
+ z
−
5
2
= 0 hanya didapat j ika x
−
3 = 0, y
−
4 = 0 dan z
−
5 = 0. Maka, penyel esaian x, y, z yang memenuhi adal ah x = 3, y = 4 dan z = 5.
Jadi, nil ai dari x + y + z = 3 + 4 + 5 = 12.
C. Ket aksamaan Rat aan Kuadrat QM, Rat aan Arit mat ik AM, Rat aaan Geomet ri GM dan Rat aan
Harmonik HM Perl u dij el askan t erl ebih dahul u pengert ian masing-masing rat aan.
Misalkan x
1
, x
2
, x
3
,
⋅⋅⋅
, x
n
adal ah bilangan real posit if . Rat aan Kuadrat QM =
n x
x x
x
n 2
2 3
2 2
2 1
+ +
+ +
L
Rat aan Arit mat ik AM =
n x
x x
x
n
+ +
+ +
L
3 2
1
Rat aan Geomet ri GM =
n n
x x
x x
L
3 2
1
Rat aan Harmonik HM =
n
x x
x x
n 1
1 1
1
3 2
1
+ +
+ +
L
Cont oh 48 : Hit ungl ah QM, AM, GM dan HM dari bil angan-bil angan 2, 3 dan 7.
Sol usi :
QM =
3 62
3 7
3 2
2 2
2
=
+ +
AM =
3 7
3 2
+ +
= 4 GM =
3 3
42 7
3 2
= ⋅
⋅
HM =
7 1
3 1
2 1
3 +
+
=
41 126
Eddy Hermanto, ST Aljabar
33
Hubungan ant ara QM, AM, GM dan HM adal ah QM
≥
AM
≥
GM
≥
HM Tanda kesamaan t erj adi j ika x
1
= x
2
= x
3
=
⋅⋅⋅
= x
n
Cont oh 49 : Bukt ikan bahwa a
2
+ b
2
≥
2ab unt uk bil angan real a dan b. Sol usi :
Dengan memanf aat kan ket aksamaan AM-GM didapat
2
2 2
b a
+
≥
2 2
b a
= ab Tanda kesamaan t erj adi j ika a
2
= b
2
sehingga a = b. a
2
+ b
2
≥
2ab t erbukt i Cont oh 50 :
Unt uk a, b dan c bil angan posit if , bukt ikan ket aksamaan a + bb + cc + a
≥
8abc. Sol usi :
Berdasarkan ket aksamaan AM
≥
GM maka
2 b
a +
≥
ab
a + b
≥
2
ab
Dengan cara yang sama maka a + c
≥
2
ac
dan b + c
≥
2
bc
a + ba + cb + c
≥
2
ab
⋅
2
ac
⋅
2
bc
a + bb + cc + a
≥
8abc t erbukt i Cont oh 51 :
OSP 2009 AIME 1983 Tent ukan nil ai minimal dari
x x
x x
sin 4
sin 9
2 2
+
unt uk 0 x
π
. Sol usi :
x x
x x
sin 4
sin 9
2 2
+
= 9x sin x +
x x sin
4
Berdasarkan ket aksamaan AM-GM maka
x x
x x
sin 4
sin 9
2 2
+
= 9x sin x +
x x sin
4
≥
x x
x x
sin 4
sin 9
2 ⋅
= 12 Maka nil ai minimum dari
x x
x x
sin 4
sin 9
2 2
+
sama dengan 12.
LAT IHAN 7 :
1. OSP 2004 Tent ukan semua bil angan real x yang memenuhi x
2
⎪
2x
−
8
⎪
2. AIME 1987 Tent ukan bilangan bulat t erbesar n sehingga t erdapat bilangan unik k yang memenuhi
13 7
15 8
+k n
n
.
Eddy Hermanto, ST Aljabar
34
3. India RMO 1995 Tunj ukkan bahwa unt uk sembarang bil angan real x maka
cos sin
2 1
2 2
+ +
+ x
x x
x x
4. OSP 2009 Banyaknya bilangan real x yang memenuhi persamaan x
4
−
2x
3
+ 5x
2
−
176x + 2009 = 0 adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
5. Sel esaikan persamaan berikut dal am bil angan real
v u
z y
x v
u z
y x
+ +
+ +
= +
+ −
+ +
2 2
6. Bal t ic Way 2000 Tent ukan semua bil angan real posit if x, y yang memenuhi persamaan :
x + y
−
x 1
−
y 1
+ 4 = 2
1 2
1 2
− +
− y
x
7. Bukt ikan bahwa unt uk bil angan real x maka
4 1
3 1
4 3
− −
≤
x x
8. ME V2N4 Misal kan a, b dan c adal ah bi l angan posit if yang memenuhi persamaan a
2
+ b
2
−
ab = c
2
. Bukt ikan bahwa a
−
cb
−
c
≤
9. Irish MO 1998 Tunj ukkan bahwa j ika x bil angan real t ak nol maka :
4
1 1
5 8
≥ +
− −
x x
x x
10. Tent ukan nil ai t erkecil dari f x j ika f x =
x x
x +
+ +
1 6
13 8
4
2
unt uk x
≥
0. Tent ukan j uga x yang menyebabkan nil ai minimum t ersebut .
11. Bukt ikan bahwa
2 1
1
1 n
a a
n i
i n
i i
≥ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ ⋅
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛
∑ ∑
= =
unt uk a
i
0. 12.
OSP 2003 Bukt ikan bahwa 999 500
999
. 13.
Jika a dan b adal ah bil angan real posit if maka bukt ikan bahwa
b a
b a
+
≥ +
9 4
1
Kapan t anda kesamaan t erj adi ? 14.
Aust rian MO 2000 : Beginner Compet it ion Jika a dan b adal ah bil angan real posit if maka bukt ikan bahwa
4 27
2 3
≥
+ b
a b
a
Kapan t anda kesamaan t erj adi ? 15.
Canadian MO 1971 Diket ahui x dan y adal ah bi langan real posit if yang memenuhi x + y = 1. Bukt ikan bahwa
y x
1 1
1 1
+ +
≥
9 16.
OSP 2009 Bil angan rasional a b c membent uk barisan hit ung arit mat ika dan
a c
c b
b a
+ +
= 3 Banyaknya bil angan posit if a yang memenuhi adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Aljabar
35
17. x, y dan z adal ah bil angan real yang memenuhi x + y + z = 1. Bukt ikan bahwa xy + yz + xz
≤
3 1
. 18.
Misal kan x, y dan z adal ah bil angan posit if berbeda. Bukt ikan bahwa
yz xz
xy z
y x
1 1
1 1
1 1
+ +
+ +
19. Diberikan persamaan x
4
+ px
3
+ qx
2
+ rx + s = 0 yang mempunyai empat akar real posit if . Bukt ikan bahwa :
a pr
−
16s
≥
b q
2
−
36s
≥
dengan t anda kesamaan t erj adi bil a keempar akarnya sama. 20.
Bukt ikan bahwa unt uk a, b dan c bil angan real posit if maka
3
2 2
2
≥ +
+
+ +
+ b
a c
c a
b c
b a
Kapan t anda kesamaan t erj adi ? 21.
Irish MO 1998 Tunj ukkan bahwa j ika a, b, c adal ah bil angan real posit if maka : i
c b
a +
+ 9
≤
2
a c
c b
b a
+ +
+
+ +
1 1
1
ii
c b
a a
c c
b b
a 1
1 1
2 1
1 1
1
+ +
≤ +
+
+ +
+
22. Bukt ikan bahwa unt uk bil angan real posit if a, b, dan c sebarang berl aku
c b
a b
a c
a c
b c
b a
1 1
1
2
2 2
2
+ +
≥ +
+
+ +
+
23. Bel arussian MO 1999 Jika a, b, c 0 dan a
2
+ b
2
+ c
2
= 3 maka bukt ikan bahwa :
ab +
1 1
+
bc +
1 1
+
ca +
1 1
≥
2 3
24. Misal kan a, b, c 0 dan abc = 1. Tunj ukkan bahwa
ab b
a ab
+ +
5 5
+
bc c
b bc
+ +
5 5
+
ca a
c ca
+ +
5 5
≤
1.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
36
BAB II TEORI BILANGAN
Kategori