SEGI-N BERATURAN LINGKARAN GEOMETRI

Eddy Hermanto, ST Geometri 78 t it ik S t erl et ak pada sisi AD sehingga AS : SD = 1 : 3. Maka rasio l uas segiempat PQRS t erhadap l uas t rapesium ABCD adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 5. OSK 2007 Diket ahui empat t it ik pada bidang dengan koordinat A1, 0, B2008, 2007, C2007, 2007, D0, 0. Luas j aj aran genj ang ABCD sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 6. Pada suat u j aj aran genj ang, dua diagonal nya membent uk sudut 60 o . Panj ang sisi-sisinya adal ah 6 dan 8. Luas j aj aran genj ang t ersebut adal ah 7. ABCD adal ah t rapesium dengan AB sej aj ar CD. Diagonal AC dan BD berpot ongan di t it ik O. Luas segit iga AOB = 99 2 sedangkan l uas segit iga COD = 19 2 . Tent ukan l uas t rapesium t ersebut . 8. Tit ik E dan F secara berurut an t erl et ak pada sisi AB dan CD suat u persegi panj ang ABCD sehingga DFBE adal ah belah ket upat . Jika AB = 16 dan BC = 12, maka panj ang EF sama dengan ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9. Bul garian MO 1995 : Spring MC Grade 8 Misal kan M adal ah t it ik t engah sisi BC pada j aj aran genj ang ABCD sedangkan N adal ah perpot ongan AM dan diagonal BD. Perpanj angan DA dan CN berpot ongan di t it ik P. a. Bukt ikan bahwa AP = AD b. Jika AB = AC maka bukt ikan CP = BD

5. SEGI-N BERATURAN

Segi-n berat uran adal ah suat u bangun dat ar yang memil iki sisi sebanyak n dan panj ang semua sisinya sama. Gambar di at as adal ah cont oh segi-n berat uran yait u segi-12 berat uran. Misal kan panj ang sisi suat u segi-n berat uran adalah s maka Kel il in segi-n berat uran = n ⋅ s Bagaimana caranya menghit ung l uas ? Segi-n berat uran dapat dibagi menj adi n buah segit iga sama kaki dengan salah sat u sisi panj angnya s dan dua sisi yang l ain sama panj ang. Karena sat u put aran = 360 o maka besarnya sudut pada segit iga di hadapan sisi s besarnya dapat dihit ung yait u = n ° 360 . Karena salah sat u sat u sisi diket ahui dan sudut di hadapan sisi t ersebut diket ahui sert a dua sisi yang l ain sama panj ang maka l uas segit iga t ersebut dapat dihit ung. Luas segi-n berat uran = n ⋅ Luas segit iga LAT IHAN 5 : 1. OSK 2004 Pada sebuah segi6 berat uran, rasio panj ang ant ara diagonal t erpendek t erhadap diagonal t erpanj ang adal ah Eddy Hermanto, ST Geometri 79 2. OSP 2005 Sebuah segienam berat uran dan sebuah segit iga sama sisi mempunyai kelil ing yang sama. Jika l uas segit iga adal ah 3 , maka l uas segienam adal ah ⋅⋅⋅⋅ 3. Diket ahui bahwa ABCDEF adal ah segienam berat uran. Tent ukan perbandingan l uas segienam berat uran ABCDEF dengan l uas daerah diarsir. 4. ABCDEFGH adal ah segidelapan berat uran dengan penyusunan huruf disusun berl awanan arah j arum j am. Diket ahui koordinat A0, 4, B4, 0 dan Ep, q. Maka p − q = ⋅⋅⋅⋅

6. LINGKARAN

Lingkaran adal ah kumpulan t it ik-t it i k yang memil iki j arak yang sama t erhadap suat u t it ik t ert ent u, yait u pusat l ingkaran. Jadi ada dua hal yang sangat berkait an dengan l ingkaran yait u j ari-j ari l ingkaran, R, dan pusat l ingkaran. Unsur-unsur pada l ingkaran dapat dilihat pada gambar berikut . a. Tit ik O disebut sebagai pusat l ingkaran b. OA, OB, OD, OE disebut sebagai j ari-j ari l ingkaran c. Ruas garis l urus AB yang mel al ui pusat l ingkaran di sebut diamet er l ingkaran d. Ruas garis DE disebut t ali busur e. Garis l engkung DE dan AC disebut busur l ingkaran f . Daerah arsiran yang dibat asi dua j ari-j ari pada gambar dibat asi OA dan OC sert a berwarna hit am disebut j uring g. Daerah yang dibat asi t al ibusur DE dan busur DE disebut t embereng h. Garis OF yang t egak l urus DE disebut apot ema Misal kan r adal ah j ej ari lingkaran dan d adal ah diamet er l ingkaran dengan d = 2r Luas l ingkaran = π r 2 = 2 4 1 d π . Kel il ing Lingkaran = 2 π r Luas Juring = 2 360 r n π ⋅ dengan n adal ah sudut pusat diukur dalam deraj at . Panj ang Busur = r n ⋅ ⋅ π 2 360 Luas t embereng DE = Luas Juring ODE − Luas ∆ ODE Eddy Hermanto, ST Geometri 80 Dal am menj el askan l ingkaran dengan ol impiade mat emat i ka di Indonesia, Penul is t idak akan menj el askan persamaan l ingkaran, t et api l ebih mengedepankan kepada dal il -dal il yang berhubungan dengan l ingkaran. a Mi sal kan gar is l menyi nggung l i ngkar an yang ber pusat di O pada t i t i k A maka OA akan t egak l ur us gar is l . b Mi sal kan t i t ik A t er l et ak di l uar l i ngkar an L maka dar i t i t i k A dapat di buat dua buah gar i s si nggung yang j ar aknya t er hadap t i t i k si nggungnya sama panj ang. Tit ik A t erl et ak di l uar l ingkaran. Dari A dibuat dua garis yang menyinggung l ingkaran di t it ik P dan Q maka panj ang AP = AQ. Sel ain it u ∠ PAO = ∠ QAO. c Mi sal kan t i t i k P t er l et ak di l uar l i ngkar an L yang ber pusat di O dan gar i s yang di t ar i k dar i t i t i k P menyi nggung l i ngkar an di t i t i k A dan B. Maka ∠ APO = ∠ BPO. Berdasarkan kesimet rian akan didapat ∠ APO = ∠ BPO. d Sebuah l i ngkar an ber pusat di A menyinggung di l uar sebuah l i ngkar an ber pusat di B pada t i t i k P. Maka A, P dan B ber ada pada sat u gar is l ur us. Buat garis singgung mel al ui t it ik P. Maka garis singgung t ersebut akan t egak l urus AP dan PB berakibat AP dan PB akan sej aj ar. Jadi, A, P dan B berada pada sat u garis l urus. e Gar is yang menghubungkan pusat dua l i ngkar an akan memot ong t egak l ur us per t engahant al i busur per sekut uannya. Eddy Hermanto, ST Geometri 81 Misal kan lingkaran yang berpusat di A berpot ongan di t it ik P dan Q dengan lingkaran yang berpusat di B. Maka AB akan berpot ongan t egak l urus dengan PQ di t it ik T yang merupakan pert engahan PQ. f Besar sudut pusat sama dengan dua kal i sudut kel i l i ng Misal kan AB adal ah t alibusur dan O pusat l ingkaran. Maka ∠ AOB disebut sebagai sudut pusat . Misal kan j uga t it ik C t erl et ak pada l ingkaran t ersebut , maka ∠ ACB disebut sudut kel il ing. Hubungan ant ara sudut pusat dan sudut kel il ing t ersebut adal ah ∠ AOB = 2 ∠ ACB Berl aku j uga bahwa j ika ∠ AOB = 2 ∠ ACB maka dapat dibuat sebuah l ingkaran mel al ui A, B dan C sert a berpusat di O. g Besar sudut kel i l i ng yang menghadap t al i busur yang sama akan sama besar . Misal kan AB adal ah t al ibusur dan t it ik C dan D t erl et ak pada l ingkaran. Maka ∠ ACB = ∠ ADB h Mi sal kan AB adal ah diamet er suat u l i ngkar an dan C t er l et ak pada l i ngkar an maka ∠ ACB = 90 o i Mi sal kan AB adal ah t al i busur suat u l i ngkar an yang ber pusat di O dan t i t i k P adal ah per t engahan AB maka OP akan t egak l ur us AB Karena O adal ah pusat l ingkaran maka OA = OB = j ari-j ari l ingkaran. Jadi ∆ AOB adalah segit iga sama kaki. Karena OAB segit iga sama kaki maka garis dari O akan memot ong t egak lurus pert engahan sisi AB. Eddy Hermanto, ST Geometri 82 j Mi sal kan dua t al i busur AB dan CD pada sat u l i ngkar an sal i ng ber pot ongan di t i t i k X maka ber l aku AX ⋅ XB = CX ⋅ XD. Ber l aku sebal i knya, j i ka dua buah gar is AB dan CD ber pot ongan di t it i k X dan memenuhi AX ⋅ XB = CX ⋅ XD maka keempat t i t i k A, B, C dan D t er l et ak pada sat u l i ngkar an. Perhat ikan gambar. Dari hubungan garis didapat bahwa ∠ AXD = ∠ CXB Perhat ikan bahwa ruas AC j uga merupakan t alibusur sehingga dari dal il sebel umnya maka ∠ ADC = ∠ ABC. Dengan cara yang sama akan didapat bahwa ∠ BAD = ∠ BCD. Karena ket iga sudut ∆ ADX dan ∆ BCX sama maka kedua segit iga t ersebut sebangun. Akibat nya XB CX XD AX = sehingga AX ⋅ XB = CX ⋅ XD Berl aku kebal ikannya. k Pada segi empat t al i busur , j uml ah sudut sehadapan sama dengan 180 o ber l aku j uga bahwa j i ka j uml ah sudut sehadapan sama dengan 180 o maka segi empat t er sebut mer upakan segi empat t al i busur . Perl u dij el askan bahwa segiempat t alibusur adal ah segiempat yang keempat t it ik sudut nya t erl et ak pada sat u l ingkaran. Karena t it ik-t it ik A, B, C dan D semuanya t erl et ak pada sat u lingkaran maka ABCD adal ah segiempat t al i busur. Maka berl aku ∠ ABC + ∠ ADC = 180 o ∠ BAD + ∠ BCD = 180 o Cont oh 21 : Perhat ikan gambar. AB dan CD adal ah diamet er l ingkaran dengan AB = CD = 8 sert a AB dan CD sal ing t egak l urus. Busur AC, CB, BD dan DA adal ah 4 busur yang kongruen dengan dua busur yang berdekat an sal ing bersinggungan. Tent ukan l uas daerah yang diarsir. Jawaban bol eh dinyat akan dal am π . Perl u dicat at bahwa π ≠ 7 22 maupun 3, 14. Eddy Hermanto, ST Geometri 83 Sol usi : Al t ernat if 1 : Buat persegi EFGH dengan A, B, C dan D adal ah pert engahan sisi-sisinya. Luas arsir = Luas persegi EFGH − 4 ⋅ Luas 1 4 lingkar an Luas arsir = 8 ⋅ 8 − 4 ¼ π 4 2 Luas arsir = 64 − 16 π Al t ernat if 2 : Misal perpot ongan garis AB dan CD di t it ik O Luas t embereng AC = Luas 1 4 l ingkaran − Luas ∆ AOC Luas t embereng AC = ¼ ⋅ π ⋅ 4 2 − ½ ⋅ 4 ⋅ 4 Luas t embereng AC = 4 π − 8 Luas arsir = Luas l ingkaran − 8 ⋅ Luas t embereng Luas arsir = π ⋅ 4 2 − 8 ⋅ 4 π − 8 Luas arsir = 64 − 16 π Cont oh 22 : ABC adal ah sebuah segit iga dengan panj ang AB = 6. Dibuat sebuah l ingkaran dal am yang menyinggung sisi AB di K, sisi AC di L dan sisi BC di M l ihat gambar. Jika diket ahui panj ang LC = 5, t ent ukan kel il ing segit iga ABC. Sol usi : Perhat ikan bahwa CM = CL, BM = BK dan AL = AK Kel il ing ∆ ABC = BK + KA + AL + LC + CM + MB Kel il ing ∆ ABC = BK + KA + KA + LC + LC + BK Kel il ing ∆ ABC = 2BK + KA + 2LC Kel il ing ∆ ABC = 2AB + 2LC Kel il ing ∆ ABC = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 5 Kel il ing ∆ ABC = 22 Cont oh 23 : OSP 2002 Garis t engah sebuah set engah l ingkaran berimpit dengan alas AB dari ∆ ABC. Tit ik sudut C bergerak sedemikian rupa, sehingga t it ik t engah sisi AC sel al u t erl et ak pada set engah l ingkaran. Berupa apakah l engkungan t empat kedudukan t it ik C ? Eddy Hermanto, ST Geometri 84 Sol usi : AB adal ah diamet er dan D t erl et ak pada l ingkaran. Maka ∠ ADB = 90 o Karena AD = CD dan BD ⊥ AC maka ∆ ABC adal ah segit iga sama kaki dengan AB = BC. Karena BC = AB = diamet er l ingkaran yang berart i bernil ai t et ap dan B adal ah t it ik yang t et ap maka l engkung yang t erj adi adalah berupa set engah l ingkaran dengan pusat t it ik B. Jadi, l engkung yang t erj adi adal ah berupa set engah l ingkaran LAT IHAN 6 : 1. Tent ukan sudut t erkecil yang dibent uk ol eh j arum panj ang menit dan j arum pendek j am pada pukul 20 : 06. 2. OSK 2002 Suat u persegi panj ang berukuran 8 kali 2 √ 2 mempunyai t it ik pusat yang sama dengan suat u l ingkaran berj ari-j ari 2. Berapakah l uas daer ah irisan ant ara persegi panj ang dan l ingkaran t ersebut ? 3. OSP 2004 Sant i dan Tini berl ari sepanj ang sebuah l int asan yang berbent uk l ingkaran. Keduanya mul ai berl ari pada saat yang sama dari t it ik P, t et api mengambil arah berl awanan. Sant i berl ari 1½ kal i l ebih cepat daripada Tini. Jika PQ adalah garis t engah l ingkaran l int asan dan keduanya berpapasan unt uk pert ama kal inya di t it ik R, berapa deraj at kah besar ∠ RPQ ? 4. OSP 2006 Pada t rapesium ABCD, sisi AB sej aj ar dengan DC. Sebuah l ingkaran yang menyinggung keempat sisi t rapesium dapat dibuat . Jika AB = 75 dan DC = 40, maka kel il ing t rapesium ABCD = ⋅⋅⋅⋅⋅ 5. Garis AD adal ah diamet er set engah l ingkaran dengan M adal ah t it ik t engah diamet er t ersebut . Tit ik B dan t it ik C keduanya t erlet ak pada set engah l ingkaran sedemikian sehingga garis AC t egak l urus BM. Jika diket ahui ∠ CAD = 50 o , hit ungl ah sudut yang dibent uk ant ara garis AC dan BD. 6. NHAC 1994-1995 Second Round Sebuah l ingkaran menyinggung bagian dal am suat u segienam ABCDEF. Jika diket ahui panj ang sisi-sisi AB = 1, BC = 2, CD = 3, DE = 4 dan EF = 5 maka panj ang sisi FA adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7. Canadian MO 1971 DEB adal ah t ali busur suat u l i ngkaran dengan DE = 3 dan EB = 5. Misal kan O adal ah pusat l ingkaran. Hubungkan OE dan perpanj angan OE memot ong l ingkaran di t it ik C. Diket ahui EC = 1. Tent ukan radius l ingkaran t ersebut . 8. ABCD adal ah persegi dengan panj ang sisi 9. Tit ik P t erl et ak pada sisi AB sehingga AP : PB = 7 : 2. Sebuah seperempat l ingkaran dibuat dengan C sebagai t it ik pusat dan CB j ej arinya. Dari t it ik P dibuat sebuah garis yang menyinggung seperempat l ingkaran t ersebut dan memot ong sisi AD di t it ik Q. Panj ang QD adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 9. Jika ∠ ACB = ∠ ADB maka bukt ikan bahwa dapat dibuat sebuah l ingkaran yang mel al ui A, B, C dan D. 10. LM adal ah t al i busur suat u l ingkaran dengan K adal ah pert engahan LM. Dari t it ik K dibuat garis yang memot ong lingkaran di t it ik D dan J. Dengan DJ sebagai diamet er dibuat set engah lingkaran. Sebuah Eddy Hermanto, ST Geometri 85 garis mel al ui t it ik K dan t egak l urus DJ memot ong set engah l ingkaran di t it ik S. Bukt ikan bahwa panj ang KS = KL. 11. Canadian MO 1975 Tit ik-t i t ik A, B, C dan D bert urut -t urut t erl et ak pada sat u buah l ingkaran pada arah put aran yang sama. Tit ik-t it ik P, Q, R dan S bert urut -t urut pert engahan busur-busur AB, BC, CD dan DA. Bukt ikan bahwa PR t egak l urus QS. 12. Tit ik P t erl et ak di l uar sebuah l ingkaran. Dari t it ik P dit arik sebuah garis memot ong l ingkaran di t it ik A dan B dengan PA PB. Dari t it ik P j uga dit arik sebuah garis l ain yang memot ong l ingkaran di t it ik C dan D dengan PC PD. Sat u buah garis l agi dit ari k dari t it ik P menyinggung l ingkaran di t it ik T. Bukt ikan bahwa PA ⋅ PB = PC ⋅ PD = PT 2 Eddy Hermanto, ST Kombinatorik 86

BAB IV KOMBINATORIK

1. KAIDAH PENCACAHAN DAN PENJABARAN BINOM NEWTON

Ada beberapa il ust rasi persoal an yang berhubungan dengan cara yang mungkin t erj adi sepert i sebagai berikut : Cont oh 1 : Misal kan t erdapat 3 buah cel ana dan 4 buah baj u. Permasalahannya adalah ada berapa banyak cara seseorang memil ih cel ana dan baj u yang akan dipakai ? Cont oh 2 : Misal kan ada 3 buku : Mat emat ika, Fisika dan Biol ogi. Jika seseorang ingin menumpuk dua buku secara vert ikal , ada berapa cara ia mel akukan penumpukan ? Masal ah-masal ah t ersebut dapat diselesaikan dengan Kaidah Pencacahan yang dapat dit empuh dengan menggunakan sat u at au beberapa cara berikut : - at uran pengisian t empat f il l ing sl ot - permut asi - kombinasi

A. Aturan pengisian tempat

f illing slot s Misal kan ada n t empat t ersedia dengan k 1 adal ah banyaknya cara mengisi t empat pert ama, k 2 adal ah banyaknya cara mengisi t empat kedua, dan set erusnya hingga k n adal ah banyaknya cara mengisi t empat ke-n. Maka banyaknya cara mengisi t empat adal ah k 1 x k 2 x ⋅⋅⋅ x k n . Cara ini disebut sebagai at uran pengisian t empat dan sering disebut dengan kaidah perkal ian. Sebagai il ust rasi penyel esaian soal cont oh 1 adal ah sebagai berikut : Tempat pert ama adal ah memil ih cel ana. Karena banyaknya cel ana ada 3, maka banyaknya cara memil ih cel ana ada 3 sedangkan banyaknya cara memilih baj u ada 4. Maka banyaknya cara memil ih pasangan cel ana dan baj u ada 4 ⋅ 3 = 12 cara. Unt uk soal pada cont oh 2, banyaknya cara memil ih t empat pert ama ada 3 cara karena bukunya ada 3. Unt uk memilih buku yang kedua hanya t inggal 2 cara karena sat u buku sudah dipil ih pada t empat pert ama. Banyaknya cara memil ih dua buku adal ah 3 ⋅ 2 = 6 cara. Cont oh 3 : Berapa banyak cara menyusun huruf -huruf R, A, J, I, N j ika a huruf pert ama dimul ai dari huruf hidup vokal b huruf pert ama dimul ai dari huruf mat i konsonan Sol usi : a Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 2 yait u A at au I. Karena huruf A at au I sudah dipakai sebagai huruf pert ama maka banyaknya cara memi l ih huruf kedua t inggal 4 cara. Misal kan huruf pert ama adalah A maka kemungkinan huruf kedua ada 4 yait u R, J, I at au N. Banyaknya cara memil ih huruf ket iga ada 3 cara, huruf keempat ada 2 cara dan huruf kel ima t inggal 1 cara. Banyaknya cara menyusun huruf t ersebut ada 2 x 4 x 3 x 2 x 1 = 48 cara. b Banyaknya cara memilih huruf pert ama ada 3 yait u R, J at au N. Banyaknya cara memil ih huruf kedua, ket iga, keempat dan kel ima bert urut -t urut ada 4, 3, 2, dan 1 cara. Banyaknya bil angan yang dapat dibent uk ada 3 x 4 x 3 x 2 x 1 = 72 cara.