Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
105
Persoal an ini sudah dibahas sebel umnya. Sebagai cont oh adal ah menent ukan banyaknya bil angan 3 angka dengan angka-angkanya diambil dari 1, 2, 3, 4 dengan bol ehnya ada angka yang berul ang.
Banyaknya bil angan ada 4
3
= 64, yait u 111, 112, 113, 114, 121, 122,
⋅⋅⋅
, 444. Bil angan 112, 121 dan 211 diangap berbeda. Bagaimana persoal annya j ika 112, 121, 211 dianggap sama karena urut annya
t idak diperhat ikan ? Pandang n obyek t ersebut sebagai ’ t empat ’ . Persoal annya adalah sepert i menempat kan r ’ obyek’
ident ik pada n ’ t empat ’ . Banyaknya cara adalah
r+n-1
C
r.
Cont oh 38 : Dua angka dipil ih dari himpunan {1, 2, 3, 4} dengan pengul angan diperbolehkan. Ada berapa cara
memil ih dua angka t ersebut ? Sol usi :
Pandang 4 buah kant ong. Dua bola akan dit empat kan pada kant ong-kant ong t ersebut . Jika bol a t ersebut dit empat kan pada kant ong 1 dan 4 maka berart i angka-angka yang dipil ih adal ah 1, 4. Jika
kedua bol a t ersebut dit empat kan pada kant ong 3 maka berart i angka yang dipil ih adal ah 3, 3. Banyaknya cara memilih =
2+4-1
C
2
=
5
C
2
= 10. Pasangan angka-angka t ersebut 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 2, 2, 3, 2, 4, 3, 3, 3, 4 dan 4, 4.
LAT IHAN 1. E
1. OSP 2004 Berapakah banyaknya barisan bil angan bul at t ak negat if x, y, z yang memenuhi
persamaan x + y + z = 99 ? 2.
Sebuah t oko memil iki 10 buah bal on merah, 9 buah bal on kuning dan 11 buah bal on hij au. Seorang pembel i ingin membel i 8 buah bal on. Ada berapa banyak cara pembel i t ersebut membeli
bal on ?
3. Tent ukan banyaknya t upel bil angan asli a, b, c, d yang memenuhi a + b + c + d = 17.
4. Tent ukan banyaknya t ripel bil angan bul at x, y, z yang memenuhi persamaan x + y + z = 18
dengan syarat x
≥
3 ; y
≥
4 dan z
≥
5. 5.
OSP 2009 Tiga dadu berwarna hit am, merah, dan put ih dil empar bersama-sama. Macam hasil l emparan sehingga j uml ah ket iga mat a dadu adalah 8 sebanyak
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
6. Tent ukan banyaknya t ripel bil angan bulat x, y, z yang memenuhi persamaan x + y + z = 9 dengan
syarat 0
≤
x
≤
4 ; 0
≤
y
≤
5 dan 0
≤
z
≤
3.
F. Penj abaran Binom Newton dengan Not asi Kombinasi
Pada saat SMP, siswa t el ah diaj arkan menj abarkan bent uk a + b
n
yang unt uk nil ai n = 2 dapat dil akukan dengan perkal ian l angsung sedangkan unt uk n yang besar dapat dil akukan dengan
menggunakan segit iga pascal unt uk mendapat kan koef isien-koef isien penj abaran. Unt uk n = 1
1 1
Unt uk n = 2 1
2 1
Unt uk n = 3 1
3 3
1 Unt uk n = 4
1 4
6 4
1 Unt uk n = 5
1 5
10 10 5
1
⋅⋅⋅
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
106
Bil angan yang di bawah merupakan penj uml ahan dua bil angan di at asnya. Dari segit iga pascal t ersebut akan didapat
a
−
2b
5
= 1a
5
−
2b
o
+ 5a
4
−
2b
1
+ 10a
3
−
2b
2
+ 10a
2
−
2b
3
+ 5a
1
−
2b
4
+ 1a
−
2b
5
a
−
2b
5
= a
5
−
10a
4
b + 40a
3
b
2
−
80a
2
b
3
+ 80ab
4
−
32b
5
Cara l ain adal ah dengan menggunakan rumus kombinasi. Jika a + b
n
kit a j abarkan akan didapat rumus sebagai berikut :
a + b
n
=
n
C
o
a
n
b +
n
C
1
a
n-1
b
1
+
n
C
2
a
n-2
b
2
+
⋅⋅⋅
+
n
C
n-1
a
1
b
n-1
+
n
C
n
a b
n
…………. . 1. E. 1
at au dapat j uga dit ul is
a + b
n
=
n
C
o
a b
n
+
n
C
1
a
1
b
n-1
+
n
C
2
a
2
b
n-2
+
⋅⋅⋅
+
n
C
n-1
a
n-1
b
1
+
n
C
n
a
n
b
…………. 1. E. 2
Cont oh 39 : Jabarkan 2m + n
5
. Sol usi :
2m + n
5
=
5
C
o
2m
5
n +
5
C
1
2m
4
n
1
+
5
C
2
2m
3
n
2
+
5
C
3
2m
2
n
3
+
5
C
4
2m
1
n
4
+
5
C
5
2m n
5
2m + n
5
= 132m
5
1 + 516m
4
n + 108m
3
n
2
+ 104m
2
n
3
+ 52mn
4
+ 11n
5
2m + n
5
= 32m
5
+ 80m
4
n + 80m
3
n
2
+ 40m
2
n
3
+ 10mn
4
+ n
5
Cont oh 40 : Jabarkan bent uk 2x
−
3y
3
Sol usi : 2x
−
3y
3
=
3
C
o
2x
3
−
3y +
3
C
1
2x
2
−
3y
1
+
3
C
2
2x
1
−
3y
2
+
3
C
3
2x
−
3y
3
2x
−
3y = 18x
3
1 + 34x
2
−
3y + 32x9y
2
+ 11
−
27y
3
2x
−
3y
3
= 8x
3
−
36x
2
y + 54xy
2
−
27y
3
Persoal an t imbul adal ah bil a variabel yang akan dij abarkan t idak t erdiri dari hanya 2 variabel . Sebenarnya hal ini t idak t erl al u sulit sebab dengan menggunakan pemisalan maka dari beberapa
variabel dapat diubah menj adi 2 variabel saj a. Misalkan penj abaran x + y + z
n
dapat diubah menj adi A + B
n
dengan pemisal an A = x dan y + z = B. Cont oh 41 :
Jabarkan bent uk a + b + c
3
. Sol usi :
a + b + c
3
=
3
C
o
a
3
b + c +
3
C
1
a
2
b + c
1
+
3
C
2
a
1
b + c
2
+
3
C
3
a a + b
3
Dengan menggunakan penj abaran binom sebel umnya dapat diket ahui bahwa : b + c
2
= b
2
+ 2bc + c
2
dan b + c
3
= b
3
+ 3b
2
c + 3bc
2
+ c
3
sehingga didapat : a + b + c
3
= a
3
+ 3a
2
b + c + 3ab
2
+ 2bc + c
2
+ b + c
3
a + b + c
3
= a
3
+ 3a
2
b + 3a
2
c + 3ab
2
+ 6abc + 3ac
2
+ b
3
+ 3b
2
c + 3bc
2
+ c
3
a + b + c
3
= a
3
+ b
3
+ c
3
+ 3a
2
b + 3a
2
c + 3ab
2
+ 3ac
2
+ 3b
2
c + 3bc
2
+ 6abc Persoal an berikut nya adal ah bagaimana caranya dapat diket ahui koef isien dari suat u variabel t ert ent u
t anpa harus menj abarkan semua suku-sukunya. Cont oh 42 :
Tent ukan koef isien x
6
y
5
dari penj abaran 2x
−
5y
11
.
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
107
Sol usi : Karena yang dimint a hanya koef isien x
6
y
5
maka kit a hanya berkonsent rasi pada penj abaran bent uk 2x
6
5y
5
saj a. 2x
−
5y
11
=
⋅⋅⋅
+
11
C
5
2x
6
−
5y
5
+
⋅⋅⋅
2x
−
5y
11
=
⋅⋅⋅
+ 46264x
6
−
3125y
5
+
⋅⋅⋅
2x
−
5y
11
=
⋅⋅⋅ −
92400000 x
6
y
5
+
⋅⋅⋅
Maka koef isien x
6
y
5
dari penj abaran 2x
−
5y
11
adal ah
−
92400000. Cont oh 43 :
Apakah koef isen x
6
pada penj abaran
10 1
x
x −
? Sol usi :
Jika
10 1
x
x −
dij abarkan akan didapat :
L L
+ −
+ =
−
− r
x r
r x
x C
x
1 10
10 10
1
L L
+ −
+ =
⎟ ⎠
⎞ ⎜
⎝ ⎛ −
− r r
r
x C
x x
2 10
10 10
1 1
. Karena yang dit anyakan adal ah koef isien x
6
maka harus dipenuhi 10
−
2r = 6 sehingga r = 2. Unt uk r = 2 didapat :
L L
L L
+ +
= +
− +
= ⎟
⎠ ⎞
⎜ ⎝
⎛ −
6 6
2 2
10 10
45 1
1 x
x C
x x
Maka koef isen x
6
pada penj abaran
10 1
x
x −
adalah 45. Sel ain digunakan dal am penj abaran suku-suku dari suat u binom, met ode yang digunakan dal am
segit iga pascal j uga dapat dit erapkan pada suat u persoal an menarik. Cont oh 44 :
Tent ukan banyaknya cara menyusun kat a SUKA dari at as ke bawah pada susunan berikut j ka huruf - huruf yang diambil harus berdekat an.
S U
U K
K K
A A
A A
Sol usi : Jika dit ul iskan sebagaimana met ode pascal didapat
1 1
1 1
2 1
1 3
3 1
Angka-angka di at as menyat akan banyaknya cara unt uk sampai pada angka t ersebut . Dari angka-angka t ersebut didapat banyaknya cara unt uk menyusun kat a SUKA = 1 + 3 + 3 + 1 = 8.
S S
S S
U U U U
U U U U
K K K
K K K K
K K K
K K A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
108
S S
S S
U U
U U
U U
U U
K K K
K K K
K K K
K K K
A A A A
A A A A
A A A A
A A A A
Jadi, banyakya cara menyusun kat a SUKA adal ah 8. Cont oh 45 :
Ada berapa banyak cara menyusun kat a MATHEMATICS dimul ai dari at as ke bawah j ika huruf -huruf yang diambil harus berdekat an.
M
A A
T T T H
H H H
E E E E E M M M M M M
A A A A A T T T T
I I I C C
S Sol usi :
1 1
1 1 2 1
1 3
3 1 1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1 6 15 20 15 6
21 35 35 21 56 70 56
126 126 252
Maka banyaknya cara menyusun kat a MATHEMATICS adal ah 252.
LAT IHAN 1. F
1. Bukt ikan bahwa
n
C
r
=
n-1
C
r-1
+
n-1
C
r
. 2.
Jabarkan bent uk 3x
−
y
6
. 3.
Nur Faj ri berhasil menj abarkan bent uk 2x + 3y
10
. Apakah koef isien x
6
y
4
yang didapat nya ? 4.
Tent ukan koef isien ab
2
c pada penj abaran a + 3b
−
c
4
. 5.
Tent ukan koef isien x
3
y
2
z
4
pada penj abaran x + y
−
2z
9
. 6.
Berapakah perbandingan koef isien suku x
5
dengan koef isien suku x
6
pada penj abaran 2x + 3
20
?
Eddy Hermanto, ST Kombinatorik
109
7. Jika 3x
−
1
7
dij abarkan dal am suku-sukunya maka akan berbent uk a
7
x
7
+ a
6
x
6
+ a
5
x
5
+
⋅⋅⋅
+ a
1
x + a
o
. Berapakah nil ai a
1
+ a
2
+ a
3
+ a
4
+ a
5
+ a
6
+ a
7
? 8.
Tent ukan nilai n dal am penj abaran 1 + x
n
dengan n 1, j ika diket ahui a.
koef isien suku x
2
sama dengan koef isien suku x
3
. b.
koef isien suku x
3
sama dengan l ima kali koef isien suku x
5
. 9.
Berapakah penj uml ahan semua koef isien suku-suku pada penj abaran : c.
x + y
6
d. a
−
2b
8
10. Tent ukan nilai dari
n
C +
n
C
1
+
n
C
2
+
⋅⋅⋅
+
n
C
n
. 11.
OSK 2009 Nil ai eksak dari adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ +
⎟⎟⎠ ⎞
⎜⎜⎝ ⎛
+ ⎟⎟⎠
⎞ ⎜⎜⎝
⎛ 1004
2009 2
2009 1
2009 L
12. Tent ukan banyaknya cara menyusun kat a OLIMPIADE j ika dimul ai dari kiri at as ke kanan bawah
a. O L I M b. O L I M P
c. O L I M P I L I M P
L I M P I L I M P I A
I M P I I M P I A
I M P I A D M
P I A
M P
I A D
M P
I A D
E P
I A D
P I A
D E
I A D
E 13.
AIME 1983 Tent ukan sisanya j ika 6
83
+ 8
83
dibagi 49. 14.
AIME 1986 Suku banyak 1
−
x + x
2
−
x
3
+
⋅⋅⋅ −
x
15
+ x
16
−
x
17
dapat dit ul is sebagai suku banyak dal am variabel y dengan y = x + 1. Koef isien dari y
2
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
15. AIME 2001 Tent ukan penj uml ahan semua akar-akar persamaan pol inomial
x
2001
+
2 1
− x
2001
= 0
.
2. KEJADIAN DAN PELUANG SUATU KEJADIAN, PENGAMBILAN CONTOH DENGAN DAN TANPA
