SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN TEORI BILANGAN

Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 37

2. SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN

Def inisi : Sebuah bilangan bul at a dikat akan membagi b j ika t erdapat bil angan bul at k sehingga b = a ⋅ k. Beberapa hal berkait an dengan pembagian adal ah sebagai berikut : 1. 1 Misal kan a, b, c, x dan y bil angan bul at , maka sif at -sif at di bawah ini berl aku : 1 a ⏐ a semua bil angan bulat membagi dirinya sendiri 2 a ⏐ 0 semua bil angan bulat membagi 0 3 1 ⏐ a sat u membagi semua bil angan bulat 4 Jika a ⏐ 1 maka a = ± 1 5 Jika a ⏐ b maka a ⏐ xb 6 Jika a ⏐ b dan b ⏐ c maka a ⏐ c 7 Jika a ⏐ b dan a ⏐ c maka a ⏐ bx + cy 8 Jika a ⏐ b maka xa ⏐ xb 9 Jika a ⏐ b dan b ≠ 0 maka ⏐ a ⏐ ≤ ⏐ b ⏐ 10 Jika a ⏐ b dan b ⏐ a maka a = ± b 11 Jika ab = c maka a ⏐ c 12 Jika a ⏐ bc dan FPBa, b = 1 maka a ⏐ c 13 ⏐ a hanya j ika a = 0 1. 2 Jika suat u bilangan habis dibagi a dan j uga habis dibagi b, maka bil angan t ersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b rel at if prima. Berl aku sebaliknya. Dua bil angan dikat akan prima rel at if , j ika f akt or persekut uan t erbesarnya FPB dua bil angan t ersebut sama dengan 1. Cont oh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12. 45 habis dibagi 15. Maka 45 j uga habis dibagi 3 dan 45 j uga habis dibagi 5. 12 habis dibagi 4 dan 12 j uga habis dibagi 6 t et api 12 t idak habis dibagi 4 ⋅ 6 = 24 sebab 4 dan 6 t idak rel at if prima, FPB 4, 6 = 2 1. 3 Bil angan yang dapat diubah menj adi perkal ian n bil angan bulat berurut an akan habis dibagi n dengan t anda “ ” menyat akan f akt orial . n = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ⋅⋅⋅ ⋅ n. Cont oh : 3x4x5x6 = 360 merupakan perkal ian 4 bil angan bul at berurut an maka habis dibagi 4 = 24. 1. 4 Mengingat penj abaran pada dua persamaan berikut : i a n − b n = a − ba n-1 + a n-2 b + a n-3 b 2 + ⋅⋅⋅ + ab n-2 + b n-1 dengan n ∈ bil angan asl i ii a n + b n = a + ba n-1 − a n-2 b + a n-3 b 2 − ⋅⋅⋅ − ab n-2 + b n-1 dengan n ∈ bil angan ganj il Maka a − b membagi a n − b n unt uk semua a, b bul at dan n bil angan asl i a + b membagi a n + b n unt uk semua a, b bul at dan n bil angan ganj il Cont oh 2 : OSN 2003 SMP MTs Bukt ikan bahwa n − 1nn 3 + 1 senant iasa habis dibagi oleh 6 unt uk semua bil angan asl i n. Sol usi : Al t ernat if 1 : Berdasarkan 1. 2 maka n − 1nn 3 + 1 akan habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3. Jika dapat dibukt ikan bahwa n − 1nn 3 + 1 habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3 maka dapat dibukt ikan n − 1nn 3 + 1 senant iasa habis dibagi ol eh 6 unt uk semua bilangan asl i n. n − 1 dan n adal ah 2 bil angan bul at berurut an maka n − 1n akan habis dibagi 2. Berdasarkan 2. 1 poin 1 maka n − 1nn 3 + 1 habis dibagi 2. Sebuah bil angan bul at dapat dikl asif ikasikan ke dal am salah sat u bent uk dari 3k, 3k + 1 at au 3k + 2. Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3 ⏐ n − 1nn 3 + 1 Jika n = 3k + 1 maka 3 ⏐ n − 1 sehingga 3 ⏐ n − 1nn 3 + 1. Jika n = 3k + 2 maka n 3 + 1 =3k + 2 3 + 1 = 39k 3 + 18k 2 + 12k + 3 sehingga 3 ⏐ n 3 + 1. Maka 3 ⏐ n − 1nn 3 + 1. Didapat bahwa n − 1nn 3 + 1 habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 rel at if prima maka n − 1nn 3 + 1 habis dibagi 2 ⋅ 3 = 6. Jadi, n − 1nn 3 + 1 habis dibagi 6. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 38 Al t ernat if 2 : n − 1nn 3 + 1 = n − 1nn + 1n 2 − n + 1 Karena n − 1, n dan n t iga bil angan asli berurut an maka n − 1nn + 1n 2 − n + 1 habis dibagi ol eh 3 = 6. Jadi, n − 1nn 3 + 1 habis dibagi 6. Cont oh 3 : OSK 2005 SMP MTS Bil angan 43 dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b karena unt uk a = 13 dan b = − 2, nilai dari 5a + 11b adal ah 43. Manakah dari t iga bil angan 37, 254 dan 1986 yang t idak dapat dinyat akan dal am bent uk 5a + 11b ? A. 1983 B. 254 C. 254 dan 1986 D. semua E. t ak ada Sol usi : Perhat ikan bahwa 1 dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b dengan a = − 2 dan b = 1. Karena 1 membagi semua bil angan bul at maka semua bilangan dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b. Jawaban : D Misal kan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan t erj adi saat a = − 2k dan b = k. Cont oh 4 : OSK 2005 SMP MTS Bil angan A adal ah bil angan asl i t erkecil yang merupakan hasil kali dari 3 bil angan prima pert ama. Dua buah bil angan ant ara 200 dan 300 yang memil iki f akt or prima t epat sama dengan bil angan A t ersebut adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅ Cat at an : 10 dan 30 punya f akt or prima yang t idak t epat sama sedangkan 12 dan 18 memil iki f akt or prima yang t epat sama Sol usi : Tiga bil angan prima pert ama adal ah 2, 3 dan 5 maka A = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 = 30. Maka bil angan yang dimint a pada soal adal ah bilangan yang f akt or-f akt or primanya adal ah 2, 3 dan 5. Bil angan t ersebut adal ah 2 4 ⋅ 3 ⋅ 5 = 240 dan 2 ⋅ 3 3 ⋅ 5 = 270. Cont oh 5 : Bukt ikan bahwa 7, 13 dan 181 adal ah f akt or dari 3 105 + 4 105 Sol usi : Karena 105 ganj il maka 3 105 + 4 105 habis dibagi 3 + 4 = 7. 3 105 + 4 105 = 3 3 35 + 4 3 35 = 27 35 + 64 35 Karena 35 ganj il maka 3 105 + 4 105 habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7 ⋅ 13 maka 3 105 + 4 105 habis dibagi 13. 3 105 + 4 105 = 3 5 21 + 4 5 21 = 243 21 + 1024 21 Karena 21 ganj il maka 3 105 + 4 105 habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7 ⋅ 181 maka 3 105 + 4 105 habis dibagi 181. Cont oh 6 : OSK 2004 SMP MTS Semua n sehingga n dan 1 3 − + n n keduanya merupakan bil angan bul at adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi : Al t ernat if 1 : Perhat ikan bahwa 1 4 1 4 1 1 3 1 − − + − − + + = = n n n n n Agar 1 4 1 − + n merupakan bil angan bul at maka n − 1 harusl ah merupakan f akt or dari 4. Maka nil ai dari n − 1 adalah ± 1, ± 2 dan ± 4. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 39 Nil ai n yang memenuhi adal ah − 1, − 1, 0, 2, 3 dan 5. Al t ernat if 2 : Sel ain dengan mengunakan sif at ket erbagian, soal t ersebut j uga bisa disel esaikan dengan memf akt orkan. Misalkan 1 3 − + n n unt uk suat u bil angan bul at n dan m. Persamaan di at as ekival en dengan n + 3 = mn − m m − 1n − 1 = 4. n − 1 harusl ah merupakan f akt or dari 4. Maka nil ai dari n − 1 adalah ± 1, ± 2 dan ± 4. Nil ai n yang memenuhi adal ah − 1, − 1, 0, 2, 3 dan 5. Cont oh 7 : OSP 2005 SMP MTs Semua pasangan bil angan asl i m dan n yang memenuhi 1 3 2 = + n m adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ Sol usi : Persamaan pada soal ekival en dengan 2n + 3m = mn m − 2n − 3 = 6 Dengan demikian m − 2 dan n − 3 keduanya merupakan f akt or dari 6. Karena m dan n bil angan asl i maka m − 2 − 2 dan n − 3 − 3 Maka m − 2 = 1, 2, 3 at au 6. Jadi m = 3, 4, 5 at au 8. Jadi, pasangan m, n yang memenuhi adal ah 3, 9, 4, 6, 5, 5, 8, 4. LAT IHAN 2 : 1. OSK 2002 Bil angan n t erbesar sehingga 8 n membagi 44 44 adal ah 2. OSK 2002 Berapa banyak pasang bil angan bul at posit if a, b yang memenuhi 6 1 1 1 = + b a . 3. OSK 2003 Jika a dan b bil angan bul at sedemikian sehingga a 2 − b 2 = 2003, maka berapakah nil ai dari a 2 + b 2 ? Diket ahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima 4. AIME 1986 Tent ukan nil ai n t erbesar sehingga n + 10 membagi n 3 + 100. 5. MATNC 2001 Juml ah N bil angan kuadrat sempurna pert ama merupakan kelipat an 41. Tent uan nil ai minimal dari N. 6. OSP 2009 Diket ahui k, m, dan n adal ah t i ga bilangan bul at posit if yang memenuhi 6 1 4 = + n m m k Bil angan m t erkecil yang memenuhi adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 7. AIME 1987 OSP 2008 m dan n adal ah bil angan bulat yang memenuhi m 2 + 3m 2 n 2 = 30n 2 + 517. Nilai dari 3m 2 n 2 adal ah ⋅⋅⋅⋅⋅ 8. AIME 1989 Lima bil angan asli berurut an memenuhi bahwa j umlahnya merupakan bilangan kubik dan j uml ah t iga bil angan di t engah merupakan bilangan kuadrat . Tent ukan nil ai t erkecil dari bilangan yang di t engah. Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan 40 9. AIME 1989 Misal kan k ∈ N sehingga 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari t iga bilangan yang membent uk barisan arit mat ika. Tent ukan nil ai k. 10. OSP 2002 Berapakah bilangan bul at posit if t erbesar yang membagi semua bil angan 1 5 − 1, 2 5 − 2, ⋅⋅⋅ , n 5 − n, ⋅⋅ ? 11. Jika n adal ah bil angan bulat l ebih dari 1, bukt ikan bahwa n 6 − n 2 habis dibagi 60. 12. Tunj ukkan bahwa 1 5 + 2 5 + 3 5 + ⋅⋅⋅ + 99 5 + 100 5 habis dibagi 10100, namun t idak habis dibagi 3. 13. AIME 1993 Tent ukan banyaknya t upel bil angan bul at a, b, c, d yang memenuhi 0 a b c d 500 dan a + d = b + c sert a bc − ad = 93. 14. Bukt ikan bahwa j ika a, b dan c bil angan asli dan b adal ah kel ipat an a, c adal ah kel ipat an b sert a a adal ah kel ipat an c maka a = b = c. 15. AIME 2001 Tent ukan penj uml ahan semua bil angan asli dua angka yang habis dibagi ol eh masing- masing digit nya. 16. Bil angan bul at n dikat akan merupakan kel ipat an 7 j ika memenuhi n = 7k dengan k bil angan bul at . a. Jika p dan q bil angan bul at dan memenuhi 10p + q kel ipat an 7, bukt ikan bahwa p − 2q j uga kel ipat an 7. b. Jika c dan d bil angan bul at dan memenuhi 5c + 4d kel ipat an 7, bukt ikan bahwa 4c − d j uga kel ipat an 7. 17. Tent ukan bilangan bul at posit if t erbesar x yang memenuhi dua persyarat an berikut : a. x t idak habis dibagi 10 b. Jika dua angka t erakhir dari x 2 dibuang maka bil angan t ersisa j uga merupakan bil angan kuadrat . 18. Canadian MO 1971 Unt uk n bil angan bul at , t unj ukkan bahwa n 2 + 2n + 12 bukan kel ipat an 121. 19. ME V1N2 Juml ah dua bilangan bulat posit if adal ah 2310. Tunj ukkan bahwa hasil kal i keduanya t idak habis dibagi 2310.

3. UJI HABIS DIBAGI