Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
37
2. SIFAT-SIFAT KETERBAGIAN
Def inisi : Sebuah bilangan bul at a dikat akan membagi b j ika t erdapat bil angan bul at k sehingga b = a
⋅
k. Beberapa hal berkait an dengan pembagian adal ah sebagai berikut :
1. 1 Misal kan a, b, c, x dan y bil angan bul at , maka sif at -sif at di bawah ini berl aku :
1 a
⏐
a semua bil angan bulat membagi dirinya sendiri 2
a
⏐
0 semua bil angan bulat membagi 0 3
1
⏐
a sat u membagi semua bil angan bulat 4
Jika a
⏐
1 maka a =
±
1 5
Jika a
⏐
b maka a
⏐
xb 6
Jika a
⏐
b dan b
⏐
c maka a
⏐
c 7
Jika a
⏐
b dan a
⏐
c maka a
⏐
bx + cy 8
Jika a
⏐
b maka xa
⏐
xb 9
Jika a
⏐
b dan b
≠
0 maka
⏐
a
⏐ ≤
⏐
b
⏐
10 Jika a
⏐
b dan b
⏐
a maka a =
±
b 11
Jika ab = c maka a
⏐
c 12
Jika a
⏐
bc dan FPBa, b = 1 maka a
⏐
c 13
⏐
a hanya j ika a = 0 1. 2
Jika suat u bilangan habis dibagi a dan j uga habis dibagi b, maka bil angan t ersebut akan habis dibagi ab dengan syarat a dan b rel at if prima. Berl aku sebaliknya.
Dua bil angan dikat akan prima rel at if , j ika f akt or persekut uan t erbesarnya FPB dua bil angan t ersebut sama dengan 1.
Cont oh : 36 habis dibagi 4 dan 3, maka 36 akan habis dibagi 12. 45 habis dibagi 15. Maka 45 j uga habis dibagi 3 dan 45 j uga habis dibagi 5.
12 habis dibagi 4 dan 12 j uga habis dibagi 6 t et api 12 t idak habis dibagi 4
⋅
6 = 24 sebab 4 dan 6 t idak rel at if prima, FPB 4, 6 = 2
1. 3 Bil angan yang dapat diubah menj adi perkal ian n bil angan bulat berurut an akan habis dibagi n dengan t anda “ ” menyat akan f akt orial . n = 1
⋅
2
⋅
3
⋅ ⋅⋅⋅
⋅
n. Cont oh : 3x4x5x6 = 360 merupakan perkal ian 4 bil angan bul at berurut an maka habis dibagi 4 = 24.
1. 4 Mengingat penj abaran pada dua persamaan berikut : i a
n
−
b
n
= a
−
ba
n-1
+ a
n-2
b + a
n-3
b
2
+
⋅⋅⋅
+ ab
n-2
+ b
n-1
dengan n
∈
bil angan asl i ii a
n
+ b
n
= a + ba
n-1
−
a
n-2
b + a
n-3
b
2
− ⋅⋅⋅
−
ab
n-2
+ b
n-1
dengan n
∈
bil angan ganj il Maka a
−
b membagi a
n
−
b
n
unt uk semua a, b bul at dan n bil angan asl i a + b membagi a
n
+ b
n
unt uk semua a, b bul at dan n bil angan ganj il Cont oh 2 :
OSN 2003 SMP MTs Bukt ikan bahwa n
−
1nn
3
+ 1 senant iasa habis dibagi oleh 6 unt uk semua bil angan asl i n.
Sol usi : Al t ernat if 1 :
Berdasarkan 1. 2 maka n
−
1nn
3
+ 1 akan habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3. Jika dapat dibukt ikan bahwa n
−
1nn
3
+ 1 habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3 maka dapat dibukt ikan n
−
1nn
3
+ 1 senant iasa habis dibagi ol eh 6 unt uk semua bilangan asl i n.
n
−
1 dan n adal ah 2 bil angan bul at berurut an maka n
−
1n akan habis dibagi 2. Berdasarkan 2. 1 poin 1 maka n
−
1nn
3
+ 1 habis dibagi 2. Sebuah bil angan bul at dapat dikl asif ikasikan ke dal am salah sat u bent uk dari 3k, 3k + 1 at au 3k + 2.
Jika n = 3k maka 3 membagi n sehingga 3
⏐
n
−
1nn
3
+ 1 Jika n = 3k + 1 maka 3
⏐
n
−
1 sehingga 3
⏐
n
−
1nn
3
+ 1. Jika n = 3k + 2 maka n
3
+ 1 =3k + 2
3
+ 1 = 39k
3
+ 18k
2
+ 12k + 3 sehingga 3
⏐
n
3
+ 1. Maka 3
⏐
n
−
1nn
3
+ 1. Didapat bahwa n
−
1nn
3
+ 1 habis dibagi 2 dan j uga habis dibagi 3. Karena 2 dan 3 rel at if prima maka n
−
1nn
3
+ 1 habis dibagi 2
⋅
3 = 6. Jadi, n
−
1nn
3
+ 1 habis dibagi 6.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
38
Al t ernat if 2 : n
−
1nn
3
+ 1 = n
−
1nn + 1n
2
−
n + 1 Karena n
−
1, n dan n t iga bil angan asli berurut an maka n
−
1nn + 1n
2
−
n + 1 habis dibagi ol eh 3 = 6. Jadi, n
−
1nn
3
+ 1 habis dibagi 6. Cont oh 3 :
OSK 2005 SMP MTS Bil angan 43 dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b karena unt uk a = 13 dan b =
−
2, nilai dari 5a + 11b adal ah 43. Manakah dari t iga bil angan 37, 254 dan 1986 yang t idak dapat dinyat akan dal am bent uk 5a + 11b ?
A. 1983 B. 254
C. 254 dan 1986 D. semua
E. t ak ada Sol usi :
Perhat ikan bahwa 1 dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b dengan a =
−
2 dan b = 1. Karena 1 membagi semua bil angan bul at maka semua bilangan dapat dinyat akan ke dal am bent uk 5a + 11b.
Jawaban : D Misal kan diinginkan 5a + 11b = k maka kesamaan akan t erj adi saat a =
−
2k dan b = k. Cont oh 4 :
OSK 2005 SMP MTS Bil angan A adal ah bil angan asl i t erkecil yang merupakan hasil kali dari 3 bil angan prima pert ama. Dua buah bil angan ant ara 200 dan 300 yang memil iki f akt or prima t epat sama dengan
bil angan A t ersebut adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Cat at an : 10 dan 30 punya f akt or prima yang t idak t epat sama sedangkan 12 dan 18 memil iki f akt or prima yang t epat sama
Sol usi : Tiga bil angan prima pert ama adal ah 2, 3 dan 5 maka A = 2
⋅
3
⋅
5 = 30. Maka bil angan yang dimint a pada soal adal ah bilangan yang f akt or-f akt or primanya adal ah 2, 3 dan 5.
Bil angan t ersebut adal ah 2
4
⋅
3
⋅
5 = 240 dan 2
⋅
3
3
⋅
5 = 270. Cont oh 5 :
Bukt ikan bahwa 7, 13 dan 181 adal ah f akt or dari 3
105
+ 4
105
Sol usi : Karena 105 ganj il maka 3
105
+ 4
105
habis dibagi 3 + 4 = 7. 3
105
+ 4
105
= 3
3 35
+ 4
3 35
= 27
35
+ 64
35
Karena 35 ganj il maka 3
105
+ 4
105
habis dibagi 27 + 64 = 91. Karena 91 = 7
⋅
13 maka 3
105
+ 4
105
habis dibagi 13. 3
105
+ 4
105
= 3
5 21
+ 4
5 21
= 243
21
+ 1024
21
Karena 21 ganj il maka 3
105
+ 4
105
habis dibagi 243 + 1024 = 1267. Karena 1267 = 7
⋅
181 maka 3
105
+ 4
105
habis dibagi 181. Cont oh 6 :
OSK 2004 SMP MTS Semua n sehingga n dan
1 3
− +
n n
keduanya merupakan bil angan bul at adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Al t ernat if 1 :
Perhat ikan bahwa
1 4
1 4
1 1
3
1
− −
+ −
− +
+ =
=
n n
n n
n
Agar
1 4
1
−
+
n
merupakan bil angan bul at maka n
−
1 harusl ah merupakan f akt or dari 4. Maka nil ai dari n
−
1 adalah
±
1,
±
2 dan
±
4.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
39
Nil ai n yang memenuhi adal ah
−
1,
−
1, 0, 2, 3 dan 5. Al t ernat if 2 :
Sel ain dengan mengunakan sif at ket erbagian, soal t ersebut j uga bisa disel esaikan dengan memf akt orkan. Misalkan
1 3
− +
n n
unt uk suat u bil angan bul at n dan m. Persamaan di at as ekival en dengan
n + 3 = mn
−
m m
−
1n
−
1 = 4. n
−
1 harusl ah merupakan f akt or dari 4. Maka nil ai dari n
−
1 adalah
±
1,
±
2 dan
±
4. Nil ai n yang memenuhi adal ah
−
1,
−
1, 0, 2, 3 dan 5. Cont oh 7 :
OSP 2005 SMP MTs Semua pasangan bil angan asl i m dan n yang memenuhi
1
3 2
= +
n m
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅
Sol usi : Persamaan pada soal ekival en dengan 2n + 3m = mn
m
−
2n
−
3 = 6 Dengan demikian m
−
2 dan n
−
3 keduanya merupakan f akt or dari 6. Karena m dan n bil angan asl i maka m
−
2
−
2 dan n
−
3
−
3 Maka m
−
2 = 1, 2, 3 at au 6. Jadi m = 3, 4, 5 at au 8. Jadi, pasangan m, n yang memenuhi adal ah 3, 9, 4, 6, 5, 5, 8, 4.
LAT IHAN 2 :
1. OSK 2002 Bil angan n t erbesar sehingga 8
n
membagi 44
44
adal ah 2.
OSK 2002 Berapa banyak pasang bil angan bul at posit if a, b yang memenuhi
6 1
1 1
= +
b a
. 3.
OSK 2003 Jika a dan b bil angan bul at sedemikian sehingga a
2
−
b
2
= 2003, maka berapakah nil ai dari a
2
+ b
2
? Diket ahui bahwa 2003 merupakan bilangan prima
4. AIME 1986 Tent ukan nil ai n t erbesar sehingga n + 10 membagi n
3
+ 100. 5.
MATNC 2001 Juml ah N bil angan kuadrat sempurna pert ama merupakan kelipat an 41. Tent uan nil ai minimal dari N.
6. OSP 2009 Diket ahui k, m, dan n adal ah t i ga bilangan bul at posit if yang memenuhi
6 1
4 =
+ n
m m
k
Bil angan m t erkecil yang memenuhi adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅⋅
7. AIME 1987 OSP 2008 m dan n adal ah bil angan bulat yang memenuhi m
2
+ 3m
2
n
2
= 30n
2
+ 517. Nilai dari 3m
2
n
2
adal ah
⋅⋅⋅⋅⋅
8. AIME 1989 Lima bil angan asli berurut an memenuhi bahwa j umlahnya merupakan bilangan kubik dan
j uml ah t iga bil angan di t engah merupakan bilangan kuadrat . Tent ukan nil ai t erkecil dari bilangan yang di t engah.
Eddy Hermanto, ST Teori Bilangan
40
9. AIME 1989 Misal kan k
∈
N sehingga 36 + k, 300 + k, 596 + k adalah kuadrat dari t iga bilangan yang membent uk barisan arit mat ika. Tent ukan nil ai k.
10. OSP 2002 Berapakah bilangan bul at posit if t erbesar yang membagi semua bil angan 1
5
−
1, 2
5
−
2,
⋅⋅⋅
, n
5
−
n,
⋅⋅
? 11.
Jika n adal ah bil angan bulat l ebih dari 1, bukt ikan bahwa n
6
−
n
2
habis dibagi 60. 12.
Tunj ukkan bahwa 1
5
+ 2
5
+ 3
5
+
⋅⋅⋅
+ 99
5
+ 100
5
habis dibagi 10100, namun t idak habis dibagi 3. 13.
AIME 1993 Tent ukan banyaknya t upel bil angan bul at a, b, c, d yang memenuhi 0 a b c d 500 dan a + d = b + c sert a bc
−
ad = 93. 14.
Bukt ikan bahwa j ika a, b dan c bil angan asli dan b adal ah kel ipat an a, c adal ah kel ipat an b sert a a adal ah kel ipat an c maka a = b = c.
15. AIME 2001 Tent ukan penj uml ahan semua bil angan asli dua angka yang habis dibagi ol eh masing-
masing digit nya. 16.
Bil angan bul at n dikat akan merupakan kel ipat an 7 j ika memenuhi n = 7k dengan k bil angan bul at . a.
Jika p dan q bil angan bul at dan memenuhi 10p + q kel ipat an 7, bukt ikan bahwa p
−
2q j uga kel ipat an 7.
b. Jika c dan d bil angan bul at dan memenuhi 5c + 4d kel ipat an 7, bukt ikan bahwa 4c
−
d j uga kel ipat an 7.
17. Tent ukan bilangan bul at posit if t erbesar x yang memenuhi dua persyarat an berikut :
a. x t idak habis dibagi 10
b. Jika dua angka t erakhir dari x
2
dibuang maka bil angan t ersisa j uga merupakan bil angan kuadrat . 18.
Canadian MO 1971 Unt uk n bil angan bul at , t unj ukkan bahwa n
2
+ 2n + 12 bukan kel ipat an 121. 19.
ME V1N2 Juml ah dua bilangan bulat posit if adal ah 2310. Tunj ukkan bahwa hasil kal i keduanya t idak habis dibagi 2310.
3. UJI HABIS DIBAGI