Estimasi Model Regresi Panel Poisson
Mengestimasi parameter
, dimulai
dengan mendiferensialkan
hasil log-likelihood dari langkah 5 terhadap parameter
. Langkah 7
Hasil dari diferensial pada langkah 6 disamakan dengan nol sebagai syarat perlu untuk memaksimumkan fungsi log-likelihood dan diselesaikan.
Langkah 8 Melakukan pendekatan iterasi, dengan menggunakan algoritma Newton-Raphson karena
pada langkah 7 masih diperoleh persamaan yang berbentuk implisit. Langkah-langkah algoritma Newton-Raphson yaitu:
1
Menentukan , dan nilai awal estimator parameter
2 Menghitung dan
dengan
dan
3 Menghitung 4 Jika nilai maksimum
, dengan memilih , maka
perhitungan dilanjutkan
langkah 5,
tetapi jika
nilai maksimum
, maka
ulangi langkah
3 dengan
mengganti .
5 Mendapatkan estimator 6 Mengestimasi model regresi panel poisson
2.2Uji Kesesuaian Model
Setelah mendapatkan estimasi parameter, dilakukan beberapa uji terhadap parameter diantaranya uji serentak menggunakan uji Likelihood Ratio Test
LRT., uji individu menggunakan statistik uji , dan uji kesesuaian model
menggunakan statistik uji deviance.
28
Jurnal Matematika 2013
28
a. Untuk menguji pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respon secara serentak menggunakan statistik uji LRT dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1 Merumuskan hipotesis
Langkah 2 Menghitung nilai maksimum fungsi log-likelihood masing-masing di bawah
benar dan
benar yaitu dan
.
Langkah 3 Menghitung nilai statistik LRT yaitu
Langkah 4 Menentukkan daerah kritis dengan tingkat signifikansi , yaitu tolak
jika diperoleh .
b. Untuk menguji pengaruh variabel prediktor terhadap variabel respon secara individu menggunakan statistik uji uji normal baku atau statistik uji Wald dengan langkah-
langkah sebagai berikut. Langkah 1
Merumuskan hipotesis
vs
Langkah 2 Menghitung nilai statistik uji normal baku, yaitu
Langkah 3 Menentukkan daerah kritis dengan tingkat signifikansi , yaitu tolak
jika diperoleh .
c. Untuk menguji kesesuaian model dugaan dibandingkan dengan model sebenarnya menggunakan statistik uji deviance dilakukan langkah-langkah sebagai berikut.
Langkah 1 Merumuskan hipotesis
: Model regresi panel poisson sesuai. : Model regresi panel dengan poisson tidak sesuai..
Langkah 2 Menghitung nilai deviance, yaitu
Langkah 3 Menentukkan daerah kritis dengan tingkat signifikansi
, yaitu tolak jika
diperoleh:
29
Jurnal Matematika 2013
29
3. HASIL DAN PEMBAHASAN 3.1 Estimasi Model Panel Poisson
Diasumsikan data panel yang
memenuhi model regresi poisson yaitu: 1
dengan adalah variabel respon pada unit cross-section ke- dan waktu ke-
adalah sebuah vektor berdimensi adalah vektor parameter berdimensi
Variabel respon pada
mempunyai fungsi kepadatan peluang fkp yaitu: 2
Pada kasus data panel dengan tetap dan
besar, maka akan diperoleh estimator maksimum likelihood yang tidak konsisten, sehingga digunakan pendekatan CML
dengan jumlah variabel respon sebagai syarat.
Karena distribusi Poisson adalah anggota dari keluarga eksponensial, maka terdapat statistik cukup untuk
dan . Dengan demikian
berdistribusi poisson dengan parameter sehingga CML dapat diterapkan.
Selanjutnya menentukan pdf bersama dari dengan syarat
yaitu
3 dengan
Dari diperoleh fungsi likelihood
4 Fungsi log-likelihood dari
adalah , sehingga diperoleh
5
30
Jurnal Matematika 2013
30
Syarat perlu agar fungsi log-likelihood pada persamaan 5 mencapai nilai maksimum
adalah dan akhirnya diperoleh persamaan secara umum sebagai berikut
6 Persamaan 6 merupakan persamaan berbentuk implisit sehingga tidak dapat
diselesaikan secara analitik. Untuk mengetimasi vektor parameter pada persamaan 6
digunakan metode iterasi Newton Raphson. Didefinisikan vektor gradien sebagai berikut. 6a
maka diperoleh bentuk umum yaitu: 7
Turunan kedua dari fungsi log-likelihood terhadap dan
untuk dengan
adalah
8 Dari persamanaan 7 dan 8 diperoleh matriks Hessian sebagai berikut:
9
Syarat perlu agar fungsi log-likelihood pada persamaan 5 mencapai nilai maksimum adalah matriks Hessian pada persamaan 9 harus definit negatif.
Langkah-langkah untuk menyelesaikan persamaan 6 dengan menggunakan algoritma Newton-Raphson adalah sebagai berikut.
Langkah 1. Menentukkan nilai awal estimator parameter
dengan memilih Nilai
dapat dihitung menggunakan metode kuadrat terkecil seperti yang diusulkan Draper dan Smith 1992 sebagai berikut:
10 Untuk mengestimasi parameter pada persamaan 10 dapat didekati dengan model regresi
linier berganda sehingga diperoleh bentuk matriks sebagai berikut. 11
dengan
31
Jurnal Matematika 2013
31