MODEL PENYEBARAN TB Jurnal Matematika Vol 2 No 1 Januari 2013

daerah 2. Sedangkan laju pertumbuhan atau kelahiran individupada daerah 1 dinotasikan , laju kematian individu secara alamipada daerah 1 dinotasikan , laju transmisi infeksi antarkontak individu pada daerah 1 dinotasikan , laju perpindahan dari daerah pertama ke daerah kedua dinotasikan , laju perpindahan dari derah kedua ke daerah pertama dinotasikan , laju kematian individu yang disebabkan oleh penyakit TB pada daerah 1 dinotasikan , laju pertumbuhan atau kelahiran individu daerah 2 dinotasikan , laju kematian individu secara alami pada daerah 2 dinotasikan , dan laju transmisi infeksi antarkontak individu pada daerah 2 dinotasikan ,laju kematian alami pada daerah 2 dinotasikan , laju kematian individu yang disebabkan oleh penyakit TB pada daerah 2 dinotasikan . 13.ANALISA KESTABILAN Untuk menganalisa kestabilan dari suatu model matematika yang berbentuk nonlinier, langkah awal yang dilakukan adalah melinearkan persamaan dan mencari titik tetap dari model tersebut. Berdasarkan [3] titik tetap dapat diperoleh dengan menggunakan dengan adalah titik tetap dan adalah persamaandiferensialyang autonomous. Setelah diperolehtitik tetap, selanjutnya dilakukan analisa kestabilan dengan cara membentuk matriks Jacobian dari titik tetap dan diperoleh persamaan karakteristik sehingga didapatkan nilai eigen. Sebelum dilakukan analisa model perlu dikenalkan bilangan reproduksi dasar, , yaitu bilangan yang menyatakanbanyaknyakasusbarudariindividuterinfeksi yang munculakibatmasuknyaindividuterinfeksidalamsuatupopulasi virgin. Pada permasalahan tertentu kestabilan dari titik tetap tidak dapat diamati karena tanda bagian real dari nilai eigen tidak mudah ditentukan. Untuk matriks yang berukuran dengan 2 tanda bagian real dari nilai eigen dapat ditentukan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Berdasarkan [1], analisa kestabilan dengan menggunakan Kriteria Routh-Hurwitz, dapat dilakukan sebagai berikut: Misal, diberikanpersamaan karakteristik: 64 Jurnal Matematika 2013 64 1 dengan , , adalah bilangan real. Diberikan matriks Hurwitz dinotasikan , yang berisi koefisien dari persamaan karakteristik 1 sebagai berikut : , , , , dengan saat . Akar-akar persamaan karakteristik 1 akan bernilai negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika .

5. HASIL DAN PEMBAHASAN

a. AnalisaKestabilan

Dengan menggunakan [3], model penyebaran penyakit TB mempunyai empattitik tetap yaitu titiktetapbebaspenyakit , titik tetap endemik pada daerah pertama , titik tetap endemik pada daerah kedua dantitiktetapendemik di keduadaerah . Dengan , , 65 Jurnal Matematika 2013 65 , , , , , , , , , dan . Selanjutnya akan dianalisa kestabilan pada setiap titik tetap tersebut dengan menggunakan kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz. a. Untuk titik tetap didapatkan matriks Jacobian . NilaieigendarimatriksJacobian memenuhi persamaan karakteristik 66 Jurnal Matematika 2013 66