1. Infeksi HIV terjadi secara internal yaitu didalam tubuh manusia.
2. Tidak ada virus lain yang menyerang tubuh selain virus HIV.
3. Laju produksi sel CD4 sehat dalam tubuh konstan.
4. HIV hanya menginfeksi sel CD4 sehat.
5. Sel CTL hanya membunuh sel CD4 terinfeksi.
6. Aktivasi dan proliferasi sel CTL bergantung pada jumlah sel CD4 sehat, sel CD4
terinfeksi dan sel CTL sendiri. 7.
Perubahan jumlah virus HIV dalam tubuh konstan .
7. ANALISIS KESTABILAN
Untuk menganalisis kestabilan dari suatu model matematika yang berbentuk nonlinier, maka langkah awal yang dilakukan adalah mencari titik setimbang dari
model tersebut. Berdasarkan [2] titik setimbang dapat diperoleh dengan menggunakan
dengan adalah titik setimbang dan
adalah persamaan diferensial yang autonomous. Setelah didapatkan titik setimbang,
selanjutnya dilakukan analisis kestabilan dengan cara membentuk matriks Jacobian dari titik setimbang tersebut dan didapatkan persamaan karakteristik
sehingga diperoleh nilai eigen.
Sebelum dilakukan analisis model perlu dikenalkan suatu bilangan reproduksi dasar
dan . Bilangan reproduksi dasar dari sel CD4
terinfeksi didefinisikan sebagai yakni bilangan yang menyatakan rata-rata jumlah sel-
sel CD4 terinfeksi yang muncul akibat masuknya virus HIV di dalam lingkungan sel-sel CD4 sehat. Sedangkan
didefinisikan sebagai bilangan reproduksi dasar dari respon imun sel CTL yakni bilangan yang menyatakan rata-rata jumlah sel-sel
CTL yang diproduksi oleh satu sel CTL di dalam sistem yang didalamnya terdapat sel-sel CD4 sehat dan terinfeksi.
Pada permasalahan tertentu kestabilan dari titik setimbang tidak dapat diamati karena tanda bagian real dari nilai eigen tidak mudah ditentukan. Untuk matriks yang berukuran
dengan 2 tanda bagian real dari nilai eigen dapat ditentukan dengan
menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Berdasarkan [1], analisis kestabilan dengan menggunakan Kriteria Routh-Hurwitz, dapat dilakukan sebagai berikut:
Diberikan persamaan karakteristik: 2
dengan ,
, adalah bilangan real. Diberikan matriks Hurwitz dinotasikan
, yang berisi koefisien dari persamaan karakteristik 2 sebagai berikut :
45
Jurnal Matematika 2013
45
, ,
,
untuk gasal dan
untuk genap.
dengan saat
. Akar-akar persamaan karakteristik 2 akan negatif atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika
.
8. HASIL DAN PEMBAHASAN 8.1. Analisis Kestabilan Model HIVAIDS dengan Perubahan Jumlah Virus Konstan
Dengan menggunakan [2], model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan mempunyai tiga titik setimbang yaitu titik setimbang bebas penyakit
= , titik
setimbang immune-absence =
yang dijamin ada jika 3
dan titik setimbang immune-presence
dijamin ada jika
dan . Perhatikan pertidaksamaan
berikut: .
Berdasarkan pertidaksamaan tersebut sama halnya dengan mengatakan bahwa titik setimbang
dijamin ada jika 4
Selanjutnya akan dianalisis kestabilan pada setiap titik setimbang tersebut dengan menggunakan kriteria Kestabilan Routh-Hurwitz. Untuk titik setimbang
didapatkan matriks Jacobian
.
46
Jurnal Matematika 2013
46
