Interpr HASIL DAN PEMBAHASAN 1. Analisis Kestabilan Model HIVAIDS dengan Perubahan Jumlah Virus Konstan

sedangkan merupakan fungsi nonlinier dalam . Dengan mensubstitusikan nilai ke fungsi diperoleh, . Karena adaah fungsi linier naik jelas bahwa untuk mengakibatkan artinya titik setimbang bebas penyakit stabil lebih jauh lagi tidak terjadi infeksi HIV dalam tubuh. Sedangkan untuk mengakibatkan yang berarti telah terjadi penyebaran virus HIV dalam tubuh. Selanjutnya akan diuraikan nilai yang dapat memaksimumkan , maka dilakukan langkah berikut: , karena maka atau . Selanjutnya akan ditentukan syarat agar yang didapat mengakibatkan maksimum, . Didefinisikan , ketika maka akan mencapai nilai maksimum dengan syarat . Hal ini berarti, respon imun yang dihasilkan oleh sel CTL merupakan respon maksimalnya. Dengan mensubstitusikan ke , berikut adalah nilai maksimum dari yakni, . 4 Berdasarkan syarat kestabilan titik setimbang immune-absence dan immune-presence maka nilai maksimum dari dapat dibagi menjadi dua kasus yakni dan . Untuk , berdasarkan 4 diperoleh, Interpretasinya, rasio aktivasi produksi sel CTL dengan kematian sel CTL lebih rendah dibanding rasio matinya sel CD4 terinfeksi dan sel CD4 sehat terhadap jumlah produksi sel CD4 sehat. Individu yang berada dalam kondisi tersebut dapat dikatakan mengalami primary immunodeficiency syndrome, yakni sindrom awal penurunan sistem imun tubuh. Sedangkan untuk mengimplikasikan bahwa terdapat dan sehingga lihat Gambar 2. Berikut ini adalah nilai dari dan : 48 Jurnal Matematika 2013 48 maka dan . Dari pertidaksamaan diperoleh, . Jelas bahwa, . Di lain sisi, sehingga dapat disimpulkan . Gambar 1 Grafik fungsi untuk Gambar 2 Grafik fungsi untuk Ketika maka dan sehingga dapat diinterpretasikan sebagai adanya penyebaran virus HIV dalam tubuh namun respon imun dari sel CTL tidak muncul. Pada interval tersebut dapat dikatakan tubuh dalam fase infeksi HIV. Dalam fase ini kemungkinan virus HIV yang menyerang tubuh khususnya sel CD4 masih dalam jumlah yang sedikit, kemungkinan yang lain tubuh justru belum menyadari adanya zat asing berupa virus HIV sehingga sel imun belum teraktivasi untuk menghancurkan virus yang masuk. Rata-rata fase ini terjadi sekitar kurang lebih 4 minggu dan akan berakhir ketika terjadi aktivasi respon imun sel CTL yang kemudian diikuti dengan fase asymptomatic. Fase asymptomatic adalah fase penyebaran infeksi virus HIV yang menjadi kronis dan diiringi oleh respon imun tubuh yang muncul untuk melawan serangan virus. Secara matematis, fase ini terjadi pada interval jelas bahwa dan . Umumnya, fase asymptomatic ini berlangsung cukup lama hingga bertahun-tahun bergantung pada imunitas tubuh dan bantuan treatment yang diberikan pada penderita. Pada fase ini respon imun sel CTL akan terus menyerang virus HIV sehingga diharapkan dapat mempertahankan jumlah sel CD4 tidak kurang dari 200 selml sekaligus tidak turun secara drastis. Semakin kuat imunitas tubuh maka fase asymptomatic yang dialami oleh tubuh akan semakin panjang. Berdasarkan hal tersebut kemungkinan besar infeksi HIV ini akan dapat dicegah agar tidak berkembang menjadi AIDS. Sedangkan pada interval , jelas bahwa . Dengan memperhatikan , setelah melampaui maka dan lambat laun 49 Jurnal Matematika 2013 49 akan mendekat nol. Jika diinterpretasikan, dalam tubuh terjadi penyebaran atau infeksi virus HIV sangat kronis mengingat nilai pada interval lebih kecil dari nilai pada interval , tetapi respon imun dari sel CTL menurun drastis bahkan hampir tidak ada. Jumlah sel CD4 sehat dalam keadaan tersebut sangat rendah sehingga sel CD4 sehat tidak dapat ikut berperan mengaktivasi sel CTL akibatnya selain karena serangan virus HIV, jumlah sel CTL juga akan semakin turun. Keadaan tubuh dengan rendahnya sel CD4 sehat berkisar kurang dari sama dengan 200 selml dan serangan virus yang terus terjadi tanpa ada perlawanan dari sel CTL mengakibatkan tubuh mudah terserang penyakit lain sehingga dapat memperparah keadaan tubuh lebih jauh lagi hal tersebut akan menyebabkan kematian. Pada interval inilah tubuh dikatakan berada dalam fase AIDS.

5.3 Simulasi Numerik

Pada subbab ini akan dibahas mengenai dinamika perubahan jumlah populasi- populasi pada model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan dengan mensimulasikan model tersebut menggunakan MATLAB. Parameter yang digunakan pada simulasi ini diambil dari [3] sebagai berikut: , , , , , dan Berikut ini adalah tabel yang diperoleh berdasarkan parameter tersebut: Tabel 1. Parameter Simulasi Model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan Titik Setimbang Bebas Penyakit Titik Setimbang Immune-Absence Titik Setimbang Immune-Presence Nilai awal yang diberikan untuk model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan adalah . Simulasi ini dilakukan untuk hari. Dengan menggunakan sofware MATLAB, diperoleh grafik jumlah 50 Jurnal Matematika 2013 50 populasi sel CD4 sehat, jumlah populasi sel CD4 terinfeksi dan jumlah populasi sel CTL terhadap waktu dari Sistem 1 yang dapat dilihat pada Gambar 3 – Gambar 5 lihat Lampiran. Pada Gambar 3 dan Gambar 4 menunjukkan bahwa populasi sel CD4 sehat mulai mengalami osilasi secara konstan pada saat kepadatan sel CD4 terinfeksi berosilasi konstan. Pada Gambar 4 juga menunjukkan bahwa perubahan jumlah populasi sel CD4 terinfeksi mengalami osilasi yang beraturan cenderung konstan dan tidak mengalami perubahan jumlah populasi yang ekstrem. Efeknya jumlah sel CTL juga cenderung mengalami osilasi konstan lihat Gambar 5 dalam perubahan jumlah populasinya untuk mengimbangi jumlah sel CD4 terinfeksi dan virus HIV dalam tubuh sehingga dapat menekan jumlah kedua populasi tersebut. Dengan kata lain, konstannya perubahan jumlah virus HIV dalam tubuh mengakibatkan konstannya perubahan jumlah sel CD4 terinfeksi sehingga mempengaruhi perubahan jumlah sel CD4 sehat dan sel CTL yang cenderung berosilasi konstan. Dari ketiga gambar tersebut menunjukkan bahwa untuk nilai awal yang diberikan, populasi sel CD4 sehat, sel CD4 terinfeksi, dan sel CTL mengalami osilasi dan dalam jangka panjang konvergen menuju ke titik setimbang immune-presence . Hal ini menunjukkan bahwa populasi sel CD4 terinfeksi tetap ada, dengan kata lain infeksi virus tetap menyebar dalam tubuh.

9. KESIMPULAN

5. Pada analisis model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan diperoleh titik setimbang bebas penyakit bersifat stabil asimtotis lokal untuk , titik setimbang immune-absence bersifat stabil asimtotis lokal untuk dan sedangkan titik setimbang immune- presence bersifat stabil asimtotis lokal untuk . 6. Interpretasi model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan diperoleh acuan klasifikasi fase penyakit berdasarkan parameter penyebaran HIVAIDS yakni . Dalam jangka waktu yang panjang, penderita diklasifikasikan berada dalam fase bebas infeksi HIV pada interval . Pada interval , penderita akan berada dalam fase infeksi HIV. Sedangkan pada interval dan berturut-turut penderita diklasifikasikan berada dalam fase asymptomatic dan fase AIDS. Dengan , dan . Konstannya perubahan jumlah virus dalam tubuh pada model HIVAIDS ini menyebabkan konstannya perubahan jumlah sel CD4 terinfeksi sehingga 51 Jurnal Matematika 2013 51