mempengaruhi perubahan jumlah sel CD4 sehat dan sel CTL yang cenderung berosilasi konstan..
7. DAFTAR PUSTAKA
[1] Merkin, D.R., 1997, Introduction to the Theory of Stability, Springer, New York [2] Olsder, G.J., 1992, Mathematical System Theory, Delft, The Natherland
[3]
Huang, G, dkk., 2012, HIV Evolution and Progression of the Infection to AIDS, Journal of Theoretical Biology 30, page 149-159
[4] Nasronudin, 2007, HIV AIDS Pendekatan Biologi Molekuler, Klinis dan Sosial, Airlangga University Press:Surabaya
Lampiran: Grafik Simulasi Numerik
Gambar 3 Populasi CD4 Sehat terhadap
52
Jurnal Matematika 2013
52
Gambar 4 Populasi CD4 Terinfeksi terhadap
Gambar 5 Populasi Sel CTL terhadap
53
Jurnal Matematika 2013
53
Bilangan Dominasi Lokasi Metrik pada Graf Kisi
Ratnaning Palupi, Liliek Susilowati,Nenik Estuningsih Hazrul Iswadi DepartemenMatematikaFakultasSainsdanTeknologi
UniversitasAirlangga
ratnaning.palupiyahoo.com
Abstract. For an ordered set
of vertices and a vertex in a
connected graph , the representation of v with respect to
is the ordered -tuple
, where represents the
distance between the vertices and
. The set is called a locating set for
if every vertex of
has a distinct representation. A set is a dominating set of
if every vertex in is adjacent to a vertex of
. A dominating set is a metric-locating-
dominating set, or an MLD-set, if is both a dominating set and a locating set in
. The metric location domination number
of is the minimum cardinality of an MLD-set
in . The purpose of this paper is to find the metric location domination of grid graph. A
grid graph is defined as a cartesian product of two path graphs . The results are
metric location domination number for each and
is and
for is
. Moreover, we found a conjecture that a metric location domination for and
is .
Keywords:grid graph, metric location domination number, and metric locating dominating set.
5 Latar Belakang
Graf G didefinisikan sebagai himpunantitik tak kosong dan himpunangaris
yang menghubungkanduatitiktak terurut pada . Kardinalitas
, dinotasikan dengan
disebut ordo dari graf . Graf
disebut graf sederhana jika setiap garis pada graf
menghubungkan dua titik yang berbeda dan setiap dua titik yang berbeda di graf
hanya dihubungkan oleh satu garis. Graf dikatakan terhubung jika setiap dua
titik dan
di graf selalu terdapat lintasan yaitu barisan selang-seling titik dan garis
yang menghubungkan dengan
. Pada makalah ini, graf yang ditinjau adalah graf
sederhana dan terhubung. Istilah dan notasi yang digunakan pada makalah ini mengacu pada Chartrand dan Lesniak 1996.
Jarak antara dua titik dan
dinotasikan di suatu graf terhubung
adalah panjang lintasan terpendek dari
ke di
. Misalkan . Representasi dari
terhadap di
adalah vektor
dengan unsur
dengan komponennya adalah jarak dari
ke semua titik di . Himpunan
disebut dengan himpunan pelokasian untuk
jika maka
untuk semua ,
di . Himpunan
disebut himpunan pendominasi dari jika setiap titik di
bertetangga dengan minimal sebuah titik dari . Bilanganpendominasi
adalah kardinalitas minimum dari himpunan pendominasi pada
. Pada Gambar 1, titik-titik
54
Jurnal Matematika 2013
54
berwarna hitam merupakan salah satu himpunan pendominasi pada graf ,
sedangkan pada Gambar 2 titik-titik berwarna hitam merupakan salah satu himpunan pelokasian pada graf
.
Gambar 1 Himpunan pendominasi pada graf
Gambar 2 Himpunan pelokasian pada graf
Henning dan Oellermann menggabungkan konsep himpunan pendominasi dan himpunan pelokasian menjadi konsep himpunan pendominasi pelokasian metrik Henning dan
Oellermann, 2004. Himpunan-MLD W di graf terhubung adalah himpunan titik-titik
dari yang bersifat sebagai himpunan pelokasian dan himpunan pendominasi di
. Bilangan dominasi lokasi metrik
dari adalah kardinalitas minimum dari suatu
himpunan-MLD di .
Makalah ini membahas penentuan bilangan dominasi lokasi metrik dari graf kisi dengan
dan . Setiap indeks dalam pembahasan ini merupakan
bilangan asli.
6 Pembahasan
Graf kisi didefinisikan sebagai suatu graf yang dibentuk dari graf
dan dengan himpunan titik dan himpunan garisnya berturut-turut adalah
dan dan
dengan adalah graf lintasan berordo
.
55
Jurnal Matematika 2013
55
Gambar 1 Graf Kisi
Haynes dkk Haynes dkk., 1998 telah menunjukkan kondisi sebuah himpunan pendominasi minimal seperti yang dinyatakan pada teorema berikut.
Teorema 2.1 Sebuah himpunan pendominasi S merupakan himpunan pendominasi
minimal jika dan hanya jika untuk setiap titik , satu dari dua kondisi berikut
dipenuhi : a.
adalah isolasi pada b. terdapat sebuah titik pada
sedemikian hingga Iswadi 2010 telah menunjukkan bahwa super himpunan dari himpunan pelokasian juga
merupakan himpunan pelokasian seperti yang dinyatakan pada Lemma 2.2.
Lemma 2.2 Misal
adalah sebuah graf dan . Jika
memuat sebuah himpunan pelokasian pada
sebagai himpunan bagiannya, maka juga himpunan pelokasian.
Lemma 2.3 merupakan himpunan
dominasi pada graf .
Bukti Jarak antar titik pada
adalah tiga. Ini artinya setiap lintasan antar titik pada ,
misalkan dan
selalu melalui dua titik yang masing-masing bertetangga dengan atau
. Dengan demikian setiap titik dalam merupakan anggota
atau bertetangga dengan minimal satu anggota
.■
Lemma 2.4 merupakan himpunan
dominasi minimal pada graf .
Bukti Jarak antar titik pada
adalah tiga sehingga setiap titik pada merupakan isolasi
pada . Jadi, berdasarkan Teorema 2.1 maka himpunan
merupakan himpunan dominasi minimal pada graf
. Selanjutnya himpunan disebut sebagai himpunan
.■
Lemma2.5 Himpunan dominasi minimal pada graf
adalah gabungan dari himpunan dominasi minimal pada tiap blok, yaitu
.
Bukti Berdasarkan Lemma 2.4,
merupakan himpunan dominasi minimal. Misalkan dicerminkan terhadap lintasan
maupun terhadap lintasan
dan hasil pencerminannya disebut makajarakantara
dengan cermin akan sama dengan jarak antara dengan cermin.
Dengan demikian,
karena untuk
setiap maka
untuksetiap . Ini artinya
merupakan himpunan dominasi
56
Jurnal Matematika 2013
56
minimal.Selanjutnya, jelas bahwa setiap hasil pencerminan dari merupakan
himpunan dominasi minimal.Setiap titik di selalu berjarak minimal dua dengan
kecuali titik yang terletak pada cermin. Dengan demikiangabungandari dengan
juga merupakan himpunan dominasi minimal yaitu
■
Lemma 2.6 Himpunandominasi minimal
pada graf kisi juga merupakan himpunan pelokasian dari graf tersebut.
Bukti Berikut ini adalah representasi semua titik pada graf
terhadap .
• Untuk
dan
• Untuk
dan
57
Jurnal Matematika 2013
57
• Untuk
dan
• Untuk
dan
Karena representasi setiap titik terhadap
berbeda, maka merupakan himpunan pelokasian pada
Himpunan memuat
sebagai himpunan bagiannya. Berdasarkan Lemma 2.2 maka juga
merupakan himpunan pelokasian. ■
Teorema 2.7 Himpunandominasi minimal
merupakan himpunan pendominasi pelokasian metrik padagrafkisi
.
Bukti Berdasarkan Lemma2.5 dan Lemma2.6,
merupakan himpunan dominasi
minimal sekaligus
himpunan pelokasian.
Dengan demikian,
merupakan himpunan dominasi lokasi metrik.■
Teorema 2.8 Bukti
Andaikan . Misalkan
Berikut adalah kombinasi posisi dari titik dominasi yaitu pada titik ujung, titik tepi atau titik tengah dan banyaknya
titik dominasi pada posisi tersebut dengan asumsi bahwa untuk setiap titik dominasi dan
maka dan
tidak saling beririsan.
Tabel 1 Kombinasi posisi titik dominasi pada graf
Titik Tengah Titik Tepi
Titik Ujung Keterangan
58
Jurnal Matematika 2013
58
3 Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak
memenuhi himpunan dominasi minimal karena semua titik ujung tidak terdominasi.
2 1
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat tiga titik ujung yang tidak terdominasi.
2 1
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat tiga titik ujung yang tidak terdominasi.
1 2
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat dua titik ujung yang tidak terdominasi. 1
1 1
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat dua titik ujung yang tidak terdominasi.
Titik Tengah Titik Tepi
Titik Ujung Keterangan
1 2
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat dua titik ujung yang tidak terdominasi.
3 Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak
memenuhi himpunan dominasi minimal karena terdapat satu titik ujung yang tidak terdominasi.
2 1
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat satu titik ujung yang tidak terdominasi.
1 2
Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak memenuhi himpunan dominasi minimal karena
terdapat satu titik ujung yang tidak terdominasi.
3 Berdasarkan Observasi 6, kombinasi ini tidak
memenuhi himpunan dominasi minimal karena terdapat satu titik ujung yang tidak terdominasi.
Karenatidakadakombinasitigatitikpada yang memenuhi kriteria himpunan
dominasi minimal maka sebuah himpunan dengan kardinalitas tiga pada bukan
himpunan dominasi.
Dengan demikian
pengandaiansalahsehinggaterbuktibahwa .■
Dengan cara yang sama akan diperoleh beberapa teorema berikut.
59
Jurnal Matematika 2013
59
Teorema 2.9 Teorema 2.10
Teorema 2.11 Teorema 2.12
Teorema 2.13 Teorema 2.14
Teorema 2.15 Teorema 2.16
Selanjutnya untuk graf
diperoleh sebuah konjektur sebagai berikut.
Konjektur 2.17
7 Kesimpulan
Himpunan dominai lokasi metrik pada graf adalah
Himpunan dominai lokasi metrik pada graf adalah
Beberapa bilangan dominasi lokasi metrik pada graf kisi yaitu ,
, ,
, ,
, ,
, .
Dari hasil di atas, diperoleh konjektur sebagai berikut.
60
Jurnal Matematika 2013
60
8 Daftar Pustaka
[10]
Chartrand, G. danLesniak, L., Graphs and Digraphs, Chapman and Hall CRC, New York, 1996.
[11]
Dreyer, P. A., Applications and Variations of Domination in Graphs, New Brunswick, New Jersey, 2000.
[12] Haynes, T. W., Hedetniemi, S. T., dan Peter J. S., Fundamentals of Domination in Graphs, Marcel Dekker, Inc, New York, 1998.
[13] Iswadi, H., Baskoro, E. T., Salman A. N. M., dan Simanjuntak, R., The Resolving Graph of Amalgamation of Cycles, An International Journal of Discrete and
Combinatorial Mathematics, Utilitas Mathematica 83, 2010. [14] Iswadi, H., Batas Atas Bilangan Dominasi Lokasi Metrik dari Graf Hasil Operasi
Korona, Universitas Surabaya, Surabaya, 2011. [15] Sukma, I. A., Pelabelan-α pada Graf Grid Dimensi Dua dan Dimensi Tiga, Minor
Tesis, Universitas Brawijaya, Malang, 2011.
61
Jurnal Matematika 2013
61
MODEL MATEMATIKA PENYEBARAN PENYAKIT TUBERKULOSIS DENGAN PENGARUH MIGRASI
Rizky Eka Abdullah, Fatmawati, Windarto Departemen Matematika FakultasSainsdanTeknologi
UniversitasAirlangga
kyky120790gmail.com
Tuberkulosis TB
merupakansalahsatujenispenyakitmenular yang
berakibatpadakematian yang
disebabkanolehbakteriMycobactrium tuberculosis
MTB.Tuberkulosismenyerangsaluranparu-paru, ginjaldanbagiantubuhlainnya.TB
dapatditularkanoleh orang
yang berstatus
TB aktif.
Orang yang
terinfeksi TB
masihbisaberpindahtempatdarisuatudaerahkedaerah yang
lain. Rantaipenularandapatdicegahdenganmengisolasipasien yang aktif TB dandiberiterapi anti-TB agar
penyebarannyadapatdicegah. Dalam
model, populasipadamasing-masingdaerahdibagimenjadikompartemen
komunitas manusia yang sehat dan terinfeksi TB sehingga terdapat empat kompartemen, yaitu
. Dari permasalahantersebut, padapenulisaniniakandikonstruksikan model matematikapenyebaranpenyakit TB denganpengaruhmigrasisertamenganalisiskestabilan model.
DalammenentukankestabilansistemdigunakankriteriakestabilanRouth- Hurwitz.Berdasarkanhasilanalisis
model penyebaranpenyakit
TB denganpengaruhmigrasidiperolehempattitiksetimbangyaitutitiksetimbangbebaspenyakit
, titiksetimbangendemikpadadaerahpertama
, titiksetimbangendemikpadadaerahkedua
dantitiksetimbangendemik di
keduadaerah Selainitujugadiperolehbilanganreproduksidasar
. Titiksetimbang akan stabil asimtotis jika dan hanya jika
. Hasilsimulasinumeriktersebutmengindikasikanjika
dan maka titik setimbang
akanstabilasimstotissertamenunjukkanbahwapenyebaran TB
denganpengaruh proses
migrasidapatmencapaikondisi yang stabildalamwaktutertentu. Individu yang terinfeksi TB layaknyasegeraditanganidenganpemberianobatsehinggapenyebaran
TB dapatditekandankematianindividukarenapenyakit TB jugaberkurang.
Kata Kunci:
Tuberkulosis, Mycobactrium
tuberculosis, Model
Matematika, BilanganReproduksiDasar, KriteriaKestabilanRouth-Hurwitz
10. PENDAHULUAN
Tuberkulosis TB merupakan salah satu jenis penyakit menular yang berakibat pada kematian yang disebabkan oleh bakteri Mycobactrium tuberculosis MTB. Penyakit
ini umumnya menyerang paru-paru. Di seluruh dunia, TB merupakan penyakit infeksi nomor dua penyumbang angka kematian yang menyebabkan sekitar 1,7 juta orang
meninggal dunia. Analisa matematika dari model transmisi penyakit biomedis dapat memberikan kontribusi pada pemahaman mekanisme proses untuk merancang terapi yang
optimal. Pada penulisan ini, dibuat model dengan dua subpopulasi. Penulis berniat untuk menyelidiki secara sistematis model penyebaran penyakit TB dengan dua jalur penularan
TB, yaitu dengan adanya proses migrasi pada masing-masing subpopulasi. Dalam hal ini,
62
Jurnal Matematika 2013
62
individu yang rentan yang melakukan perpindahan atau migrasi sehingga dua subpopulasi dapat bervariasi, namun, tidak pada individu yang terinfeksi.
11. PENYEBARAN TUBERKULOSIS
TB menular dari orang ke orang melalui udara. Ketika orang dengan paru-paru TB batuk atau meludah, mereka mendorong kuman TB ke udara. Bakteri TB yang
terdapat di udara terhirup dan masuk mencapai paru dan masuk ke makrofag sel berukuran makro yang terdapat pada tenggorok. Selanjutnya bakteri berkembang dan
mulai terbentuknya lesi atau luka bercak putih. Setelah terbentuk lesi, terdapat kemungkinan bakteri berhenti tumbuh dan lesi mengeras sehinga bakteri akan
mereaktivasi diri dan berkembang lagi di dalam makrofag atau lesi mencair dan mengeluarkan bakteri melalui media berupa dahak atau riak. Selanjutnya bakteri tersebut
menyebar ke darah atau organ tubuh lainnya. Seseorang yang menghirup beberapa kali dari kuman ini bisa menjadi terinfeksi.TB dapat ditularkan oleh orang yang berstatus TB
aktif. Rantai penularan dapat dicegah dengan mengisolasi pasien yang aktif TB dan diberi terapi anti-TB. Faktor-faktor seperti munculnya resistensi terhadap pemberian obat dan
peningkatan kejadian HIV pada beberapa tahun terakhir meminta peningkatan pengawasan strategi untuk TB.
12. MODEL PENYEBARAN TB
Model dasar penyebaran TB dalam populasi manusia dengan pengaruh proses migrasi hanya dilakukan oleh individu yang sehat dan dengan asumsi penyebaran terjadi
dari individu yang sehat susceptible langsung ke individu terinfeksi infected dapat dinyatakan dalam bentuk sistem persamaan diferensial sebagai berikut:
dengan dan
adalah populasi individu yang sehat yang rentan tertular penyakit susceptible dan populasi individu terinfeksi penyakit infected.
, ,
, adalah laju
perubahan individu sehat pada daerah 1, laju perubahan individu terinfeksi pada daerah 1, laju perubahan individu sehat pada daerah 2 dan laju perubahan individu terinfeksi pada
63
Jurnal Matematika 2013
63
daerah 2. Sedangkan laju pertumbuhan atau kelahiran individupada daerah 1 dinotasikan , laju kematian individu secara alamipada daerah 1 dinotasikan
, laju transmisi infeksi antarkontak individu pada daerah 1 dinotasikan
, laju perpindahan dari daerah pertama ke daerah kedua dinotasikan
, laju perpindahan dari derah kedua ke daerah pertama dinotasikan
, laju kematian individu yang disebabkan oleh penyakit TB pada daerah 1 dinotasikan
, laju pertumbuhan atau kelahiran individu daerah 2 dinotasikan , laju
kematian individu secara alami pada daerah 2 dinotasikan , dan laju transmisi infeksi
antarkontak individu pada daerah 2 dinotasikan ,laju kematian alami pada daerah 2
dinotasikan , laju kematian individu yang disebabkan oleh penyakit TB pada daerah 2
dinotasikan .
13.ANALISA KESTABILAN
Untuk menganalisa kestabilan dari suatu model matematika yang berbentuk nonlinier, langkah awal yang dilakukan adalah melinearkan persamaan dan mencari titik
tetap dari model tersebut. Berdasarkan [3] titik tetap dapat diperoleh dengan menggunakan
dengan adalah titik tetap dan
adalah persamaandiferensialyang autonomous. Setelah diperolehtitik tetap, selanjutnya
dilakukan analisa kestabilan dengan cara membentuk matriks Jacobian dari titik tetap dan diperoleh persamaan karakteristik sehingga didapatkan nilai eigen. Sebelum
dilakukan analisa model perlu dikenalkan bilangan reproduksi dasar, , yaitu bilangan
yang menyatakanbanyaknyakasusbarudariindividuterinfeksi
yang munculakibatmasuknyaindividuterinfeksidalamsuatupopulasi virgin.
Pada permasalahan tertentu kestabilan dari titik tetap tidak dapat diamati karena tanda bagian real dari nilai eigen tidak mudah ditentukan. Untuk matriks yang
berukuran dengan
2 tanda bagian real dari nilai eigen dapat ditentukan dengan menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Berdasarkan [1], analisa
kestabilan dengan menggunakan Kriteria Routh-Hurwitz, dapat dilakukan sebagai berikut:
Misal, diberikanpersamaan karakteristik:
64
Jurnal Matematika 2013
64
Kategori