5. PENYEBARAN HIV DAN RESPON IMUN SEL CTL
Sel CD4 adalah salah satu jenis dari sel T, yakni sejenis sel darah putih yang merupakan bagian penting dari sistem imun tubuh. Sel CD4 sendiri adalah target utama
dari HIV. Virus HIV cenderung memilih target sel CD4 karena pada permukaan sel CD4 terdapat gp120 surface glycoprotein 120 yang merupakan pasangan ideal bagi
permukaan luar HIV. Virus HIV yang masuk ke dalam tubuh segera berusaha menginfeksi sel CD4. Keberhasilan replikasi HIV berdampak pada kenaikan jumlah sel
CD4 yang terinfeksi. Keadaan ini mendorong terjadinya penurunan jumlah CD4 sehat berarti pula terjadi penurunan sistem imun tubuh sehingga mudah terkena penyakit.
Munculnya berbagai penyakit karena rendahnya jumlah sel CD4 oleh pengaruh HIV, disebut sebagai infeksi opportunistik. Hal inilah yang memicu munculnya AIDS.
Komponen jenis lain dari sel T adalah sel CD8 atau CTL Cytotoxic T cell yang berfungsi untuk membunuh sel yang terinfeksi oleh virus, dan seringkali
juga dapat membunuh virus yang masuk. Berdasarkan [4], cara kerja CTL ini adalah dengan merilis Cytotoxins yang mengakibatkan virus mengalami
apoptosis. Apoptosis merupakan bentuk kematian sel yang ditandai dengan perubahan struktur seperti penyusutan volume. Aktivasi CTL bergantung pada
jumlah sel CD4 sehat maupun terinfeksi sebagai stimulus dan adanya interaksi atau kontak antara permukaan sel CD4 dengan permukaan sel CD4 yang
terinfeksi. Sekali diaktifkan, CTL akan mulai mem-proliferasi atau menaikkan jumlah CTL yang spesifik terhadap virus yang akan dibunuh secara cepat. Ketika
proses tersebut telah selesai, beberapa sel CTL yang aktif ini akan mati.
6. MODEL PENYEBARAN HIV
Berikut ini adalah model HIVAIDS dengan perubahan jumlah virus konstan yang terdiri dari tiga kompartemen yakni populasi sel CD4 sehat
, populasi sel CD4 terinfeksi
dan populasi sel CTL :
1
dengan laju produksi sel CD4 sehat sebesar , laju HIV menginfeksi sel CD4
sehat menjadi terinfeksi dan memproduksi virus HIV sebesar , laju kematian sel
CD4 sehat sebesar , laju kematian sel CD4 terinfeksi sebesar , laju kematian sel CD4 terinfeksi karena serangan sel CTL sebesar
kemudian dan
masing- masing adalah laju pengaktifan sel CTL dan laju kematian sel CTL. Asumsi yang
digunakan adalah :
44
Jurnal Matematika 2013
44
1. Infeksi HIV terjadi secara internal yaitu didalam tubuh manusia.
2. Tidak ada virus lain yang menyerang tubuh selain virus HIV.
3. Laju produksi sel CD4 sehat dalam tubuh konstan.
4. HIV hanya menginfeksi sel CD4 sehat.
5. Sel CTL hanya membunuh sel CD4 terinfeksi.
6. Aktivasi dan proliferasi sel CTL bergantung pada jumlah sel CD4 sehat, sel CD4
terinfeksi dan sel CTL sendiri. 7.
Perubahan jumlah virus HIV dalam tubuh konstan .
7. ANALISIS KESTABILAN
Untuk menganalisis kestabilan dari suatu model matematika yang berbentuk nonlinier, maka langkah awal yang dilakukan adalah mencari titik setimbang dari
model tersebut. Berdasarkan [2] titik setimbang dapat diperoleh dengan menggunakan
dengan adalah titik setimbang dan
adalah persamaan diferensial yang autonomous. Setelah didapatkan titik setimbang,
selanjutnya dilakukan analisis kestabilan dengan cara membentuk matriks Jacobian dari titik setimbang tersebut dan didapatkan persamaan karakteristik
sehingga diperoleh nilai eigen.
Sebelum dilakukan analisis model perlu dikenalkan suatu bilangan reproduksi dasar
dan . Bilangan reproduksi dasar dari sel CD4
terinfeksi didefinisikan sebagai yakni bilangan yang menyatakan rata-rata jumlah sel-
sel CD4 terinfeksi yang muncul akibat masuknya virus HIV di dalam lingkungan sel-sel CD4 sehat. Sedangkan
didefinisikan sebagai bilangan reproduksi dasar dari respon imun sel CTL yakni bilangan yang menyatakan rata-rata jumlah sel-sel
CTL yang diproduksi oleh satu sel CTL di dalam sistem yang didalamnya terdapat sel-sel CD4 sehat dan terinfeksi.
Pada permasalahan tertentu kestabilan dari titik setimbang tidak dapat diamati karena tanda bagian real dari nilai eigen tidak mudah ditentukan. Untuk matriks yang berukuran
dengan 2 tanda bagian real dari nilai eigen dapat ditentukan dengan
menggunakan kriteria kestabilan Routh-Hurwitz. Berdasarkan [1], analisis kestabilan dengan menggunakan Kriteria Routh-Hurwitz, dapat dilakukan sebagai berikut:
Diberikan persamaan karakteristik: 2
dengan ,
, adalah bilangan real. Diberikan matriks Hurwitz dinotasikan
, yang berisi koefisien dari persamaan karakteristik 2 sebagai berikut :
45
Jurnal Matematika 2013
45
Kategori