dandimensimetriksuatugrafmendapatkanbanyakperhatiandariahligrafteori. Padapenelitianini,
ditentukandimensimetrikdanbilanganpembedaterhubungdarigrafpiramidadangrafpiramida terpancung.
2. Pembahasan
Pengubinanadalahrangkaiandarisegibanyak yang
digunakanuntukmenutupisuatubidangdatartertentutanpatumpangtindihdantanpaadanyaper potongan.
Subgrafberhinggadarihasilpengubinandisebutdengangrafubin[4].Misalkanterdapatsuatupe ngubinanpadabidangdatarmenggunakansegitigasamasisi
yang kongruen,
duasegitigadikatakanterhubungjikaduasegitigatersebutbersekutupadasatusisi. Misalkan T adalahkumpulansegitiga-segitiga
yang terhubung,
maka T
adalahgrafterhubungdengansikelterpendektigadanmasing-masingsegitiga paling
sedikitterdapatsatusisi yang bersekutudengansisisegitiga
yang lainnya. Kumpulan
segitigaterhubungdisebuttriomino. T disebut -triominojika T merupakan buah graf
ubin. Graf ular, graf piramida, dan graf piramida terpancung terbentuk dari satu buah graf ubin sehingga ketiga graf tersebut merupakan 1-triomino. [6]
Definisi 2.2.1 Graf ular denganpanjang yang dinotasikan dengan
merupakan 1- triomino yang dibentuk dari
segitiga samasisi dengan cara berikut:
Definisi 2.2.2 Graf piramida dengantinggi
ditulis merupakan 1-triomino,
yang dibentuk dengan cara berikut:
terdiri dari , dengan ordo dari
adalah 3.
terdiri dari dan
, dengan ordo dari adalah 6.
17
Jurnal Matematika 2013
17
terdiri dari ,
, dan , dengan ordo dari
adalah 10.
Graf piramida dengan
= { 1,2,3, ,
dan } dan
= {
1,2,3, , +1 1,2,3, ,
dan }.
terdiri dari ,
, , .
. ., dandan , dengan ordo dari
adalah .
Graf piramidaterpancungadalahgraf
yang dibentukdaripenghapusantitikpadapuncaksegitiga
dan dinotasikan , dengan
menunjukkan banyaknya lapisan graf piramida yang dipancung dan
18
Jurnal Matematika 2013
18
adalah tinggi graf piramida terpancung. Graf piramida disajikan pada gambar
berikutini:
Graf piramidaterpancung
dengan {
+1 +2
+1dan }d
an ={
+1, +2, +3,…, +1
1,2,3,…, dan
+1, +1,
+1, }. Ordo dari graf
adalah +2 +2
+1 .
Lemma 1
Misalkan adalah graf terhubung dengan ordo
. Graf mempunyai
dimensi metrik 1 jika dan hanya jika graf adalah
. [2]
Lemma 2
Misalkan graf terhubungdan
. Jika memuat sebuah himpunan
pembeda pada sebagai himpunan bagiannya, maka
juga merupakan himpunan pembeda. [5]
Berikutiniadalahhasildari dan
yang disajikandalambentukteorema.
Teorema 2.1
Bukti: Dipilihhimpunanterurut
dantitik-titikpada tersebut
membangun subgraf
terhubung dari
. Representasisetiaptitik
terhadap himpunan adalah:
Karenarepresentasisetiaptitik di
terhadap himpunan berbeda maka
merupakan himpunan pembeda dari . Berdasarkan Lemma 1, karenagrafpiramida
19
Jurnal Matematika 2013
19
bukan merupakan graf lintasan maka sehinggahimpunan
merupakan himpunan pembeda minimal. Jadi
merupakan basis dari dan terbukti bahwa
=2. ▀
Teorema 2.2
Bukti: Dipilihhimpunanterurut
dantitik- titikpada
tersebut membangun
subgraf terhubung
dari
. Representasisetiaptitik
terhadaphimpunan adalah:
Karenarepresentasisetiaptitik di
terhadap himpunan berbeda maka
merupakan himpunan
pembeda dari
. Berdasarkan
Lemma 2.3.3,
karenagrafpiramidaterpancung bukan
merupakan graf
lintasan maka
sehinggahimpunan merupakan himpunan pembeda minimal. Jadi
merupakan basis dari graf piramida terpancung dan terbukti bahwa
=2. ▀
Setelahmenentukandimensimetrikdarigrafpiramida dan graf piramida terpancung
, selanjutnya ditentukan bilangan pembeda terhubung dari graf piramida dan
graf piramida terpancung . Berikut ini disajikan beberapa lemma untuk mendukung
penentuan bilangan pembeda terhubung dari grafpiramida dan graf piramida
terpancung .
Lemma 2.3
Misalkan , jika anggota himpunan
terdiri dari tepatsatutitikujungdantitik-titiksegarisdengantitikujungtersebutmaka
bukan merupakan himpunan pembeda.
Bukti:
Misalkandiambilsebarang yang anggotadari
terdiri dari titik- titik segaris tanpa titik ujung, maka terdapat 2 titik di
yang mempunyai representasi yang sama terhadap himpunan
. Himpunan tersebut adalah:
Tanpamengurangikeumumanbukti, dipilihhimpunan
mengakibatkan .
Karena maka
himpunan tersebut bukan merupakanhimpunanpembedadari
. ▀
Lemma 2.4
Misalkan , jika anggota himpunan
terdiri dari titik-titik segaris tanpa memuat titik ujung maka
bukan merupakan himpunan pembeda.
Bukti: Diambilsebarang
yang anggota dari terdiri dari titik-titik
segaris tanpa titik ujung dan titik-titik pada tersebut membangun subgraf terhubung
dari . Himpunan
= . Tanpa mengurangi
keumuman bukti,
misalkan dipilih
himpunan mengakibatkan
. Karena maka himpunan
tersebut bukan himpunan pembeda dari .
▀ Lemma
2.5
20
Jurnal Matematika 2013
20
Bukti:
Dipilihhimpunan dantitik-titikpada
tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasi setiap titik di terhadap
himpunan sebagai berikut:
Karenarepresentasisetiaptitik di terhadap himpunan
tersebut berbeda maka himpunan
tersebut merupakan himpunan pembeda terhubung dari . Berdasarkan
Lemma 1, karena bukan merupakan graf lintasan maka
sehingga himpunan
tersebut merupakan himpunan pembedaterhubung minimal dari dan
terbukti bahwa .
▀ Lemma
2.6 Bukti:
Dipilihhimpunan
dantitik-titikpada tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasi setiap titik di terhadap himpunan
sebagai berikut: Representasisetiaptitik di
terhadap himpunan berbeda sehingga himpunan
merupakan himpunan pembeda terhubung dari graf .
Selanjutnya dibuktikan untuk himpunan dengan
. Berdasarkan Lemma 2.3dan Lemma 2.4, himpunan
dengan bukan merupakan
himpunanpembedaterhubungdarigraf . Representasi setiap titik di
terhadap himpunan
dengan disajikan
pada Lampiran
1. Karena
himpunan merupakan himpunan pembeda terhubung dan semua
himpunan dengan
bukan merupakan himpunan pembeda terhubung dari maka himpunan
merupakan himpunan pembeda terhubung minimal dari graf
dan terbukti bahwa .
▀ Lemma
2.7 Bukti:
Dipilihhimpunan
dantitik-titikpada tersebut
membangun subgraf terhubung dari
. Representasisetiaptitik di terhadap
himpunan diberikan pada Lampiran 4. Karena representasi setiap titik di
terhadap himpunan
berbeda maka himpunan merupakan himpunan
pembeda terhubung dari graf . Selanjutnya dibuktikan untuk himpunan
dengan . Berdasarkan Lemma 2.3dan Lemma 2.4, himpunan
dengan bukan merupakan himpunan pembeda terhubung dari graf
. Representasi setiap titik di
terhadap himpunan dengan
disajikanpadaLampiran 2. Karenahimpunan
merupakan himpunan pembeda terhubung dan semua himpunan
dengan bukan merupakan himpunan pembeda terhubung
dari maka himpunan
merupakan himpunan pembeda terhubung minimal dari graf
dan terbukti bahwa .
▀ Lemma
2.8 Bukti:
Dipilihhimpunan
dantitik-titikpada tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasisetiaptitik di terhadap himpunan
diberikan pada Lampiran 4. Karena representasi setiap titik di terhadap himpunan
berbeda maka himpunan merupakan
himpunan pembeda terhubung dari graf . Selanjutnya dibuktikan untuk
himpunan dengan
. Berdasarkan Lampiran 2, semua himpunan dengan
bukanmerupakanhimpunanpembedakarenaselaluterdapat 2 titikpadagraf
yang mempunyai representasi sama terhadap himpunan tersebut.
21
Jurnal Matematika 2013
21
Sehingga himpunan dengan
bukan merupakan himpunan pembeda terhubung dari graf
. TerbuktibahwaW merupakan himpunan
pembeda terhubung minimal dari graf dan
. ▀
Lemma 2.9
Bukti: Dipilihhimpunan
dantitik-titikpada tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasisetiaptitik di terhadap himpunan
diberikan pada Lampiran 4. Karena representasi setiap titik di terhadap himpunan
berbeda maka himpunan merupakan
himpunan pembeda
terhubung darigraf
. Selanjutnyadibuktikanuntukhimpunan
dengan .
Semua himpunan
dengan mempunyai karakterisasi yang sama seperti
himpunan dengan
. Karena himpunan dengan
bukan merupakan himpunan pembeda terhubungdari maka himpunan
dengan juga bukan merupakan himpunan pembeda terhubung dari
graf .
Jaditerbuktibahwahimpunan merupakan himpunan
pembeda terhubung minimal dari graf dan
. ▀
Lemma 2.10
Bukti: Dipilihhimpunan
dantitik- titikpada
tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasisetiaptitik di
terhadap himpunan diberikan pada Lampiran 4. Karena representasi setiap titik
di terhadap himpunan
berbedamakahimpunan merupakan himpunan pembeda terhubungdarigraf
. Selanjutnya dibuktikan untuk himpunan
, dengan . Berdasarkan Lampiran 3, semua himpunan
dengan bukanmerupakanhimpunanpembedakarenaselaluterdapat 2
titikpadagraf yang mempunyai representasi sama terhadap himpunan
tersebut. Sehingga himpunan
dengan bukan merupakan himpunan
pembeda terhubung
dari graf
. Jadi
terbukti bahwahimpunan
merupakanhimpunanpembedater hubung minimal darigraf
dan terbukti bahwa
▀ Lemma
2.11 Bukti:
Dipilihhimpunan
dantitik- titikpada
tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasisetiaptitik di
terhadap himpunan diberikan pada Lampiran 4. Karena representasi setiap titik
di terhadap himpunan
berbeda maka himpunan merupakan himpunan pembeda terhubung dari graf
. Selanjutnya dibuktikan untuk himpunan
, dengan . Semua himpunan
dengan mempunyai karakterisasi yang samasepertihimpunan
dengan . Karena himpunan
dengan bukan merupakan himpunan
pembeda terhubung dari maka himpunan
dengan juga bukan
merupakan himpunan
pembeda terhubung
dari graf
. Jaditerbuktibahwahimpunan
merupakan himpunan pembeda terhubung minimal dari graf
dan .
▀
Dari Lemma
2.5 sampaidengan
Lemma 2.11dapatdisimpulkanbahwa,bilanganpembedadarigrafpiramida
untuk adalah,
22
Jurnal Matematika 2013
22
Selanjutnyadidapatkankonjekturbilanganpembedaterhubungdarigrafpiramida untuk
, yaitu:
Konjektur 2.12 Bilanganpembedaterhubungdarigrafpiramida
dengan adalah,
denganhimpunanpembedaterhubungminimalnyaadalah,
Setelahmenentukan , untuk
, selanjutnya disajikan beberapa lemma untuk bilangan pembeda terhubung dari graf piramida terpancung
.
Lemma 2.13
Bukti:
Dipilihhimpunan dantitik-titikpada
tersebut membangun subgraf terhubung dari . Representasi setiap titik di
terhadap himpunan sebagai berikut:
Karenarepresentasisetiaptitik di terhadap himpunan
tersebut berbeda dan subgraf dari
yang terinduksi oleh adalah subgraf terhubung maka
himpunan tersebut merupakan himpunan pembeda terhubung dari
. Berdasarkan Lemma 2.3.3, himpunan
tersebut merupakan himpunan pembeda terhubung minimal dari
dan terbukti bahwa .
▀
Lemma 2.14
.
Bukti: Dipilihhimpunan
dan titik-titik pada tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Representasi setiap titik di terhadap himpunan
sebagai berikut:
23
Jurnal Matematika 2013
23
Karenarepresentasisetiaptitik di terhadap himpunan
tersebut berbeda dan subgraf dari
yang terinduksi oleh adalah subgraf terhubung maka
himpunan tersebutmerupakanhimpunanpembedaterhubungdari
. Berdasarkan Lemma 2.3.3, karena
bukan merupakan graf lintasan maka himpunan
tersebut merupakan himpunan pembeda terhubung minimal dari dan terbukti bahwa
.
▀
Lemma 2.15
.
Bukti: Dipilihhimpunan
dan titik-titik pada tersebut membangun subgraf terhubung dari
. Karena ,
berdasarkan Lemma 4.3.4, maka merupakan hipunan
pembeda terhubungdari . Diambil sebaranghimpunan
dengan dan titik-titik pada
tersebut membangun subgraf terhubung dari .
Semua kombinasi himpunan tersebut selalu beranggotakan tepat satu titik
ujung dan
titik-titik segaris
dengannya atautitik-titiksegaris
yang tidakmemuattitikujung. Berdasarkan Lemma 4.3.1 dan Lemma 4.3.2,
himpunan merupakan himpunan pembeda terhubung minimal
dari graf dan terbukti bahwa
.
▀
Dari Lemma
2.13, Lemma
2.14, dan
Lemma 2.15dapatdisimpulkanbahwabilanganpembedaterhubungdarigrafpiramidaterpancung
untuk adalah,
Selanjutnyadidapatkankonjekturbilanganpembedaterhubungdarigrafpiramidaterpanc ung
untuk , yaitu:
Konjektur 2.16
Bilanganpembedaterhubungdarigrafpiramidagrafpiramidaterpa ncung
adalah,
denganhimpunanpembedaterhubungnya,
3. Kesimpulan
24
Jurnal Matematika 2013
24
1. Graf piramida dengan
= { 1,2,3, , +1dan
} dan =
{ 1,2,3, , +1
1,2,3, , dan
}. Dimensi
metrik dari
grafpiramida adalah 2danbasisnyaadalah
. 2. Graf
piramidaterpancung dengan
{ +1
+2 +1dan
}dan =
{ +1,
+2, +3, , +1 1,2,3, ,
dan +1,
+1, +1,
}. Dimensi metrik dari grafpiramidaterpancung adalah
2dan
basisnyaadalah .
3. Bilanganpembedaterhubungdarigrafpiramida dengan
adalah,
4. Bilanganpembedaterhubungdarigrafpiramidaterpancung
untuk adalah,
4
. DaftarPustaka
[1] Baskoroputro,
Herolistra.,DimensiMetrikdanBilanganPembedaTerhubungdariAmalgamasi- SisiSiklus. Matematika, InstitutTeknologi Bandung, Bandung, 2009.
[2]
Chartrand, G., Eroh, L., Johnson M.A., danOellermann, O.R., Resolvability in
graphs and the metric dimension of a graph, Discrete Appl. Math., 105: 5 – 7, 2000.
[3]
Chartrand, G. danLesniak, L., Graphs and Digraph, 3
rd
ed., Chapman Hall,
Florida, pp. 1-16, 2000. [4]
Grunbaum, B. danShephard, G.C., Tilings and Patterns, W. H. Freeman and Company, Newyork, pp. 58-64, 2007.
[5] Iswadi, H., Baskoro, E.T., Salman, A.N.M., danSimanjutak, R., The Resolving
Graph of Amalgamation of Cycles, An International Journal of Discrete and Combinatorial Mathematics. UtilitasMathematica, 83, 2010.
[6] Low, R.M. dan Lee, S.M., On the integer-magic spectra of tessellation graphs,
Australian Journal of Combinatorics, 34: 195-210, 2004. [7]
Manuel, P., Rajan, B., Rajasingh, I., dan M., Chris, On minimum metric dimension of honeycomb networks, Journal of Discrete Algorithms, 6: 20-27, 2000.
25
Jurnal Matematika 2013
25
Estimasi Model Regresi Panel Poisson dengan Conditional Maximum Likelihood
Friska Panggabean, Suliyanto Toha Saifudin Departemen Matematika Fakultas Sains dan Teknologi
Universitas Airlangga
friskagabeymail.com
Abstrct. Panel Poisson Regression Model using Conditional Maximum Likelihood is a combination of cross-section data and time series data, that is applied to data that individual
effects have highly significant correlation to the predictor variable from a large population, stated as the following below:
. The purpose of this final project is to obtain estimates of the panel poisson regression
model using the Conditional Maximum Likelihood method and to test the suitability of the model. To estimate the model parameters can be obtained by solving the equation form
below
Parameter estimation of the panel Poisson regression model is gotten in a implicit form, so that it is solved using numerical iteration, which is the Newton-Raphson algorithm.
After obtaining the parameter estimates, carried out several tests: to test the parameter estimation twice: simultaneously using Likelihood Ratio Test LRT and individually using
test statistics
. After that, continued to test the suitability of the model using deviance test statistic.
Keywords : Conditional Maximum Likelihood, Deviance, Newton-Raphson, Panel Poisson
Regression Model
1. PENDAHULUAN
Hubungan fungsional variabel respon dengan variabel prediktor dapat digambarkan oleh model regresi. Data panel merupakan gabungan dari data time series dan data cross
section. Ekonometrika secara sederhana dijelaskan sebagai ilmu yang memperlajari suatu aplikasi dalam metode statistika pada ekonomi, yang tidak hanya terfokus pada data
statistik saja namun merupakan gabungan dari teori ekonomi, matematika dan statistika. Data panel merupakan gabungan dari data time series dan data cross section. Dengan
demikian pada data panel terdapat
unit individu yang masing-masing diamati dalam interval waktu
. Data panel adalah jenis data yang paling banyak digunakan dalam ekonometrika melalui model regresi panel.
Seiring dengan perkembangan pengetahuan mengenai model data panel dalam ekonometrika,
1984 diikuti oleh 1997 mengembangkan
suatu model regresi panel Poisson dengan pendekatan estimator Conditional Maximum Likelihood CML yaitu suatu pendekatan yang sederhana untuk mengestimasi model
data panel. Estimator CML dapat diterapkan pada data yang efek individunya memiliki korelasi yang sangat signifikan dengan variabel prediktor. Walaupun pendekatan
26
Jurnal Matematika 2013
26
estimator CML memiliki keuntungan membuat data dapat dianalisis dengan mudah, namun diperlukan asumsi bahwa variabel prediktornya bersifat sangat mempengaruhi
variabel responnya sehingga pada model regresinya variabel responnya hanya bergantung pada variabel prediktornya. Pada kasus data panel dengan
tetap dan besar, maka akan
diperoleh masalah parameter yang terjadi secara isidentil tak terduga dan estimator maksimum likelihood menjadi tidak konsisten, sehingga digunakan pendekatan CML
dengan jumlah variabel respon sebagai syarat.
Berdasarkan uraian di atas dalam skripsi ini penulis tertarik untuk membahas estimasi model regresi panel Poisson menggunakan CML dengan bantuan algoritma Newton
Raphson karena algoritma ini akan memberikan hasil yang lebih akurat dan merupakan penyelesaian CML ketika diperoleh bentuk implisit. Setelah memperoleh nilai estimator
parameter selanjutnya akan dilakukan uji parameter secara serentak dan individu serta melakukan uji kesesuaian model regresi panel poisson, dan menerapkan model tersebut
pada data riil.
2. METODE PENELITIAN
2.1 Estimasi Model Regresi Panel Poisson
Untuk mengestimasi Model Regresi Panel Poisson digunakan langkah-langkah sebagai berikut :
Langkah 1 Mengasumsikan data panel
yang memenuhi model regresi poisson yaitu
dengan adalah variabel respon pada unit cross-section ke- dan waktu ke-
adalah sebuah vektor berdimensi adalah vektor parameter berdimensi
Langkah 2 Mengasumsikan variabel respon
pada langkah 1 mempunyai fkp yaitu
Langkah 3 Menentukan fkp bersama dari
dengan syarat yang dapat dituliskan
sebagai
Langkah 4 Menentukkan fungsi likelihood dari langkah 3, yaitu:
Langkah 5 Menentukkan fungsi log-likelihood dari langkah 4, yaitu:
Langkah 6
27
Jurnal Matematika 2013
27
