Model Penyakit HIV dengan Koinfeksi Kolera

Setelah didapatkan titik setimbang non endemik maupun endemik, selanjutnya akan diuji kestabilan asimtotis dari titik setimbang tersebut. Adapun matriks Jacobian dari titik setimbang non endemik adalah : Nilai eigen dari matriks adalah : Berdasarkan Williams and Lawrence, 2007, sistem persamaan akan stabil asimtotis jika , Karena , jelas bahwa dan . Sedangkan untuk akan bernilai negatif jika memenuhi Selanjutnya untuk akan bernilai negatif jika memenuhi Sedangkan untuk , terdapat dua keadaan. Pertama, ketika diskriminan bernilai positif, maka bernilai negatif. Kedua, ketika diskriminan bernilai negatif, maka Re bernilai negatif. Jadi selalu dipenuhi untuk bernilai negatif. Berdasarkan uraian di atas diperoleh teorema sebagai berikut : Teorema 1.1 Titik setimbang non endemik model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera stabil asimtotis jika memenuhi . Berikutnya akan diuji kestabilan asimtotis dari titik setimbang endemik model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera Bentuk dari matriks Jacobian titik setimbang endemik sangat rumit. Oleh karena itu titik setimbang endemik dari model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera dianalisis secara numerik. Analisis numerik dilakukan dengan memberi beberapa nilai yang berbeda untuk . Kemudian dari bilangan reproduksi dasar penyebaran penyakit HIV dan kolera diperoleh nilai parameter yang paling berpengaruh yaitu dan . Oleh karena itu, selain nilai yang berbeda-beda akan diberikan pula nilai parameter dan yang berbeda. Perbedaan nilai parameter dan yang diambil berdasarkan nilai dan 75 Jurnal Matematika 2013 75 Nilai awal Parameter parameter Nilai eigen agar kurang maupun lebih dari satu. Nilai parameter lainnya yang diinputkan ke matriks Jacobian untuk mendapatkan nilai eigen matriks tersebut diambil dari Jurnal Mushayabasa dan Bhunu 2012 . Nilai awal dan parameter yang diinputkan akan dijelaskan dalam tabel di bawah ini : Tabel 1.1 : Nilai awal dan parameter Berdasarkan Williams and Lawrence, 2007, titik setimbang endemik model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi stabil asimtotis jika nilai eigen dari matriks Jacobian dari titik setimbang endemik bernilai negatif. Matriks Jacobian dari titik setimbang endemik model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera yang telah disubtitusi nilai dan parameter yang berbeda dari Tabel 1.1 menghasilkan nilai eigen yang negatif. Untuk lebih lengkapnya, nilai eigen yang dihasilkan dijelaskan dalam tabel di bawah ini : Tabel 1.2 : Nilai Eigen 1a -0,4389 -0,0711 -0,0140 -0,00118 -0,000086 1b -0,4389 -0,0711 -0,0139 -0,0026 -0,000086 1c -0,4306 -0,0141 -0,0050 -0,06525 -0,06621 2a -0,4389 -0,0711 -0,014 -0,00108 -0,0000851 2b -0,4389 -0,0711 -0,01404 -0,00249 -0,000083 2c -0,4389 -0,0711 -0,014 -0,00108 -0,000129 3a -0,4389 -0,0711 -0,014 -0,00118 -0,000086 3b -0,4389 -0,0711 -0,0139 -0,0026 -0,000086 3c -0,4389 -0,0711 -0,014 -0,00118 -0,00013 Berdasarkan uraian di atas, dapat diketahui bahwa titik setimbang endemik cenderung stabil asimtotis jika memenuhi kondisi dan yang diberikan. Dari beberapa studi kasus diatas, maka titik setimbang endemik cenderung stabil asimtotis jika memenuhi a b c 1. P=80, D=50, B=100 2. P=40, D=50, B=100 3. P=50, D=80, B=100 76 Jurnal Matematika 2013 76 dengan dan . Atau jika: a. dan b. dan c. dan

2.2 Interpretasi Model Matematika Penyebaran Penyakit HIV dengan Koinfeksi

Kolera Dalam model epidemiologi, besarnya nilai ambang batas berhubungan dengan besarnya infeksi penyakit yang terjadi. Pada model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera tidak terjadi penyebaran penyakit ketika yaitu ketika tidak ada wabah penyakit HIV dan kolera. Penyebaran penyakit dapat terjadi dalam tiga keadaan. Pertama, ketika dan yaitu ketika terjadi wabah penyakit HIV dan kolera sehingga mungkin terjadi koinfeksi antara HIV dan kolera. Kedua, ketika dan yaitu ketika terjadi wabah penyakit HIV dan tidak terjadi wabah penyakit kolera. Ketiga, dan yaitu ketika tidak terjadi wabah penyakit HIV dan terjadi wabah penyakit kolera. Secara biologi, koinfeksi antara HIV dan kolera sangat mungkin terjadi. Pada gambar di bawah ini, diberikan hasil simulasi untuk model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera dilihat dari input nilai yang berbeda-beda dengan merupakan fungsi bobot yang menjelaskan besarnya laju penderita HIV yang terinfeksi kolera Gambar 1.1 : Jumlah populasi penderita kolera untuk beberapa nilai Gambar 1.2 : Jumlah populasi penderita HIV untuk beberapa nilai 77 Jurnal Matematika 2013 77 Pada gambar di bawah ini, diberikan hasil simulasi untuk model penyebaran penyakit HIV dengan koinfeksi kolera dilihat dari input nilai yang berbeda-beda dengan merupakan fungsi bobot yang menjelaskan besarnya kontribusi bakteri Vibrio cholerae di lingkungan yang berasal dari populasi manusia yang terinfeksi HIV dengan koinfeksi kolera. Gambar 1.3 : Jumlah populasi penderita hiv-kolera untuk beberapa nilai Gambar 1.6 : Jumlah penderita hiv-kolera untuk beberapa nilai Gambar 1.4 : Jumlah penderita kolera untuk beberapa nilai Gambar 1.5 : Jumlah penderita hiv untuk beberapa nilai 78 Jurnal Matematika 2013 78