MATEMATIKA 529
3. Jika diketahui titik potong sumbu-X dan titik puncak
3HUKDWLNDQJDPEDUGLVDPSLQJ7HUGDSDWVXDWXIXQJVL
1 -1
-1 1
2 3
X -2
-3 -2
-3 -4
2 3
4 Y
kuadrat yang memotong sumbu-X GL7LWLN
SXQFDNIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWEHUDGDGLNRRUGLQDW SDNDK VLVZD VXGDK ELVD PHQHQWXNDQ IXQJVL
kuadratnya dan bagaimana caranya?
Perhatikan langkah-langkah berikut: D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax
2
+ bx + c.
E DUL JUD¿N GLVDPSLQJ GLSHUROHKVXPEX VLPHWUL x
HUGDVDUNDQVLIDWVLPHWULWLWLNSRWRQJGL sumbu-X yang lain adalah hasil pencerminan
NRRRUGLQDW WHUKDGDS JDULV x = 1, yakni pada koordinat x
F 6HKLQJJD IXQJVL NXDGUDWQ\D GDSDW GLQ\DWDNDQ dengan
f x ax
2
+ bx + c = a xxí
G .DUHQDWLWLNSXQFDNEHUDGDGLPDNDGLSHUROHKf f
a± -4 = a
u diperoleh a
GDQIXQJVLNXDGUDWfx xx± x
2
– 2x – 3.
Ayo Kita Simpulkan
-LNDIXQJVLNXDGUDWy = ax
2
+ bx + c PHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDWLWLNNRRUGLQDWs, t
PDNDVXPEXVLPHWULIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDGDODKJDULV x = s
4. Jika diketahui titik potong sumbu-Y dan titik puncak
3HUKDWLNDQ JDPEDU GL VDPSLQJ 7HUGDSDW VXDWX IXQJVL NXDGUDW \DQJ PHPRWRQJ sumbu-Y
GL7LWLNSXQFDNIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWEHUDGDGLNRRUGLQDW SDNDKVLVZDVXGDKELVDPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWQ\DGDQEDJDLPDQDFDUDQ\D
Perhatikan langkah-langkah berikut:
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas IX SMPMTs 530
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax
2
+ bx + c.
E DULJUD¿NGLVDPSLQJGLSHUROHKVXPEXVLPHWUL x
HUGDVDUNDQVLIDWVLPHWULMLNDWLWLN GLFHUPLQNDQWHUKDGDSJDUXVx = -2 diperoleh
NRRUGLQDW F 6HKLQJJDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHODOXL
tiga titik koordinat yaitu GDQ
d. Dengan menggunakan cara seperti pada Sub- Kegiatan 3.1, diperoleh
a = 1
8 , b =
1 4
, dan c = 3 H 6HKLQJJDGLGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWfx
1 8
x
2
– 1
4 x + 3.
Menentukan Fungsi Kuadrat
Materi Esensi
6HWHODK PHODNXNDQ VHPXD NHJLDWDQ JXUX PHQMHODVNDQ PDWHUL EDJDLPDQD PHQGDSDWNDQIXQJVLNXDGUDWEHUGDVDUNDQEHEHUDSDLQIRUPDVL,QIRUPDVLQ\DDGDODK
sebagai berikut: D 7LWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXX.
E 7LWLNSRWRQJGHQJDQVXPEXY. F 7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL
G HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW
Menentukan Fungsi Kuadrat
Materi Esensi
8QWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWGLSHUOXNDQEHEHUDSDLQIRUPDVLGLDQWDUDQ\D HEHUDSDWLWLNNRRUGLQDW\DQJGLODOXLIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXW
7LWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEXX. 7LWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEXY.
7LWLNSXQFDNGDQVXPEXVLPHWUL
5 4
3 2
1
-1 1
-1 -2
-3 X
Y
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 531
DQJNDKSHUWDPDXQWXNPHQGDSDWNDQQ\DDGDODKGHQJDQPHPLVDONDQIXQJVLNXDGUDW tersebut dengan f
x ax
2
+ bx + c HULNXWLQLDGDODKODQJNDKVHODQMXWQ\DEHUGDVDUNDQ
LQIRUPDVLLQIRUPDVLGLDWDV 1. Jika diketahui beberapa titik koordinat yang lain.
-LNDIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWPHODOXLNRRUGLQDWp, qPDNDGLSHUROHKfp q. -LNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEXX.
-LND IXQJVL NXDGUDW PHPRWRQJ VXPEX; GL p GDQ q PDND IXQJVL NXDGUDWWHUVHEXWGDSDWGLWXOLVNDQPHQMDGLfx axípxíq
-LNDGLNHWDKXLWLWLNSRWRQJIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWGLVXPEX -LNDIXQJVLNXDGUDWPHPRWRQJVXPEXXGLrPDNDGLSHUROHK
f r
HQJDQPHQVXEVWLWXVLNDQQLODLSDGDI[GLSHUROHK f
a
2
+ b c = c.
Sehingga diperoleh c = r. 4. Jika diketahui titik puncak dan sumbu simetri.
-LND IXQJVL NXDGUDW NXDGUDW WHUVHEXW PHPLOLNL WLWLN SXQFDN GL s, t PDND GLSHUROHKVXPEXVLPHWULIXQJVLNXDGUDWWHUVHEXWDGDODKJDULV
x = s 6HODQMXWDQ\D MLND GLNHWDKXL IXQJVL NXDGUDW WHUVHEXW PHODOXL e, d PDND GHQJDQ
PHQJJXQDNDQ VLIDW VLPHWUL GLSHUROHK WLWLN NRRUGLQDW \DQJ ODLQ KDVLO SHQFHUPLQDQ NRRUGLQDWe, dWHUKDGDSJDULVx = s.
Contoh 10.5
Menentukan Fungsi Kuadrat I
3DGDRQWRKVLVZDGLDMDNXQWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDGLNHWDKXL tiga titik koordinat.
Contoh 10.5
Menentukan Fungsi Kuadrat I
7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXLWLWLNNRRUGLQDWGDQ
Alternatif Penyelesaian:
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax
2
+ bx + c. E .DUHQDPHODOXLWLWLNNRRUGLQDWGDQGLSHUROHKf
f GDQf
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas IX SMPMTs 532
- f
a
2
+ b c = 4
o c = 4. Diperoleh
f x ax
2
+ bx + 4 -
f a
2
+ b o a – b + 4
= -1. Diperoleh persamaan a – b
- f
a
2
+ b o a + b + 4 =
5. Diperoleh persamaan a + b
HQJDQPHQMXPODKNDQSHUVDPDDQGDQ diperoleh
2a = -4 o a = -2
Kemudian b = 1 – a ±
c. Diperoleh nilai a = -2, b = 3 dan c VHKLQJJDIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODK
f x x
2
+ 3x +4.
Contoh 10.6
Menentukan Fungsi Kuadrat II
3DGDRQWRKVLVZDGLDMDNXQWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDGLNHWDKXL titik potong sumbu-X dan sumbu-Y.
Contoh 10.6
Menentukan Fungsi Kuadrat II
7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D
X Y
memiliki titik potong sumbu-X pada titik NRRUGLQDWGDQVHUWDPHPRWRQJ
sumbu-Y SDGDNRRUGLQDW
Alternatif Penyelesaian:
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax
2
+ bx + c. b. Karena
memotong sumbu-X
pada NRRUGLQDW GDQ IXQJVL
NXDGUDWQ\DGDSDWGLXEDKPHQMDGL f
x ax x ±
Y
X
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 533
c. Karena memotong sumbu-Y SDGDNRRUGLQDWGLSHUROHKf
f a± a
Sehingga diperoleh -6a = 3 o a = -
1 2
G LSHUROHKIXQJVLNXDGUDW f
x 1
2 x x ±
1 2
x
2
– x ±
1 2
x
2
+ 1
2 x
2
+ 3.
Contoh 10.7
Menentukan Fungsi Kuadrat III
3DGDRQWRKVLVZDGLDMDNXQWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDGLNHWDKXL titik puncak dan titik potong sumbu sumbu-Y.
Contoh 10.7
Menentukan Fungsi Kuadrat III
7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDWLWLNNRRUGLQDW VHUWDPHPRWRQJVXPEXYSDGDWLWLNNRRUGLQDW
X Y
Alternatif Penyelesaian:
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax
2
+ bx + c. b. Diperoleh sumbu simetri x = -1.
F HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDULV x = -1 GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
G XQJVLNXDGUDWPHODOXLWLJDWLWLNNRRUGLQDW\DNQLVHUWD H .DUHQD PHODOXL WLWLN NRRUGLQDW GDQ GLSHUROHK f
f GDQf
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas IX SMPMTs 534
- f
a
2
+ b F
o c = 1. Diperoleh
fx = ax
2
+ bx + 1
- f
a
2
+ b o a íb + 1 = 3. Diperoleh persamaan
a – b = 2 1
- f
a
2
+ b o 4a – 2b + 1 = 1 Diperoleh persamaan
2a íb = 0 2
HQJDQPHQJXUDQJLSHUVDPDDQGDQGLSHUROHK
-a = 2 o a = -2
Kemudian b = 2a I LSHUROHKQLODLa = -2, b = -4 dan c VHKLQJJDIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODK
fx= -2x
2
í4x + 1 Contoh 10.8
Menentukan Fungsi Kuadrat
3DGDRQWRKVLVZDGLDMDNXQWXNPHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDWMLNDGLNHWDKXL salah satu titik potong sumbu-X, titik potong sumbu-Y serta sumbu simetri.
Contoh 10.8
Menentukan Fungsi Kuadrat
7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPLOLNL VXPEX VLPHWUL x = - 1
2 yang
memotong sumbu-X SDGD WLWLN NRRUGLQDW GDQ PHPRWRQJ VXPEXY pada
NRRUGLQDW x = -
1 2
Y
X
Alternatif Penyelesaian:
D 0LVDONDQIXQJVLNXDGUDWQ\DDGDODKfx ax
2
+ bx + c.
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 535
E HUGDVDUNDQ VLIDW VLPHWUL MLND WLWLN GLFHUPLQNDQ WHUKDGDS JDULV x = - 1
2 GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
c. Karena memotong sumbu-X SDGDNRRUGLQDWGDQIXQJVLNXDGUDWQ\D
GDSDWGLXEDKPHQMDGL f
x axx± d. Karena memotong sumbu-Y
SDGDNRRUGLQDWGLSHUROHKf f
a± a Sehingga diperoleh -6a = 2
o a = 1
3 H LSHUROHKIXQJVLNXDGUDW
f x
1 3
xxí 1
3 x
2
+ x í
1 3
x
2
í 1
3 x
2
+ 2
Tahukah Kamu
.HWLND VLVZD PHQJJDPEDU JUD¿N IXQJVL OLQHDU GDQ JUD¿N IXQJVL NXDGUDW DWDX PHQJJDPEDUGXDJUD¿NIXQJVLNXDGUDWGLPXQJNLQNDQNHGXDJUD¿NWHUVHEXWVDOLQJ
berpotongan.
1 -1
-1 1
3 4
5 6
X Y
y = x
2
íx + 4 y = x
2
íx + 2
y = x í
-2 -3
-2 2
3 4
5
2
DULJDPEDUGLDWDVJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = xíGDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x
2
íx EHUSRWRQJDQSDGDGXDWLWLNNRRUGLQDW\DLWXGDQ6HGDQJNDQ JUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x
2
íx + 4 dan y = x
2
íx + 2 berpotongan pada satu titik NRRUGLQDW\DLWX
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas IX SMPMTs 536
6LVZDMXJDGDSDWPHQHQWXNDQWLWLNSRWRQJQ\DWDQSDPHQJJDPEDUJUD¿NDUDQ\D adalah dengan “menyamakannya”.
7LWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLOLQHDUGDQIXQJVLNXDGUDW Fungsi linear : y = -x
IXQJVLNXDGUDWy [
2
íx + 4 HQJDQPHQ\DPDNDQNHGXDIXQJVLGLDWDVGLSHUROHK
[
2
– 5x + 4 = x í
[
2
– 5x íx + 1 = 0
[
2
– 6x + 5 = 0 x±xí
Diperoleh x = 1 atau x = 5. Dari nilai x di atas siswa dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai
x SDGDVDODKVDWXIXQJVL
Untuk x = 1 o y = x í í GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
Untuk x = 5 oy = xí í GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW
-DGLWLWLNSRWRQJQ\DSDGDWLWLNNRRUGLQDWGDQ 7LWLNSRWRQJGXDIXQJVLNXDGUDW
Fungsi kuadrat f
1
x x
2
íx + 4 dan f
2
x x
2
íx + 2 Karena yang dicari titik potong maka f
1
x f
2
xVHODQMXWQ\DGLGDSDWNDQ x
2
– 5x + 4 = x
2
íx + 2 x
2
– 5x íx
2
– 4x -
x + 2 = 0 Diperoleh x = 2.
Dari nilai x di atas siswa dapat memperoleh nilai y dengan mensubstitusikan nilai x
SDGDVDODKVDWXIXQJVL Untuk x = 2
o y = x
2
– 5x
2
í GLSHUROHKWLWLNNRRUGLQDW -DGLWLWLNSRWRQJQ\DSDGDWLWLNNRRUGLQDW
Ayo Kita Tinjau Ulang
3DGDEDJLDQLQLVLVZDGLDMDNXQWXNPHQJHUMDNDQDWDXPHQJHQDOLVDEHEHUDSDVRDO WDPEDKDQPHQJHQDL³PHQHQWXNDQIXQJVLNXDGUDW´LKDUDSNDQPHODOXL\R.LWD
7LQMDX8ODQJVLVZDVHPDNLQPHPDKDPLPHQJHQDLPDWHULLQL
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 537
Ayo Kita Tinjau Ulang
1. Untuk suatu bilangan bulat p q DSDNDKWHUGDSDWVXDWXIXQJVLNXDGUDWy = ax
2
+ bx + c \DQJPHODOXLWLWLNNRRUGLQDWpGDQq
Jelaskan alasanmu. 2. Untuk suatu bilangan bulat p q r
DSDNDKWHUGDSDWVXDWXIXQJVLNXDGUDW y = ax
2
+ bx + c \DQJPHODOXLWLWLNNRRUGLQDWppGDQr
Jelaskan alasanmu. SDNDKPXQJNLQJUD¿NIXQJVLOLQHDUGDQJUD¿NIXQJVLNXDGUDWEHUSRWRQJDQGL
tiga titik koordinat berbeda? Jelaskan alasanmu.
SDNDK PXQJNLQ GXD JUD¿N JUD¿N IXQJVL NXDGUDW EHUSRWRQJDQ GL WLJD WLWLN koordinat berbeda?
Jelaskan alasanmu.
Penyelesaian:
7LGDNPXQJNLQNDUHQDWLGDNPXQJNLQJDULVYHUWLNDOPHPRWRQJIXQJVLNXDGUDWy = ax
2
+ bx + c pada dua titik koordinat yang berbeda. 7LGDNPXQJNLQNDUHQDWLGDNPXQJNLQJDULVKRULVRQWDOPHPRWRQJIXQJVLNXDGUDW
y = ax
2
+ bx + c pada tiga titik koordinat yang berbeda. 7LGDNPXQJNLQNDUHQDSDOLQJEDQ\DNEHUSRWRQJDQSDGDGXDWLWLN\DQJEHUEHGD
7LGDNPXQJNLQNDUHQDSDOLQJEDQ\DNEHUSRWRQJDQSDGDGXDWLWLN\DQJEHUEHGD
Menentukan Fungsi Kuadrat
Latihan 10.3
7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW
Penyelesaian: f
x x
2
– 3x – 4. 7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHPRWRQJVXPEXX pada titik koordinat
GDQVHUWDPHODOXLWLWLNNRRUGLQDW
Penyelesaian: f
x x
2
– x – 12. 7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPRWRQJ VXPEXX pada koordinat
GDQPHPLOLNLWLWLNSXQFDNSDGDNRRUGLQDW
Penyelesaian: f
x x
2
–4x – 12. 7HQWXNDQ IXQJVL NXDGUDW \DQJ JUD¿NQ\D PHPRWRQJ VXPEXY pada koordinat
PHODOXLWLWLNNRRUGLQDWGDQPHPLOLNLVXPEXVLPHWULx = 2.
Di unduh dari : Bukupaket.com
Buku Guru Kelas IX SMPMTs 538
Penyelesaian: f
x x
2
+ 4x + 4. 7DQWDQJDQ7HQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXLGDQ
Penyelesaian:
7LGDNDGDIXQJVLNXDGUDW\DQJPHPHQXKLNDUHQDWLGDNPXQJNLQ IXQJVLNXDGUDWPHPRWRQJVXPEXX dua kali.
8QWXNVXDWXELODQJDQEXODWSWHQWXNDQIXQJVLNXDGUDW\DQJJUD¿NQ\DPHODOXL WLWLNNRRUGLQDWpGDQpGDQp
Penyelesaian: f
x 1
p x
2
– 2x + p. 7HQWXNDQVHPXDWLWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = xGHQJDQIXQJVLNXDGUDW
y = x
2
– 5x + 4.
Penyelesaian:
7LWLNSRWRQJ GDQ 7HQWXNDQVHPXDWLWLNSRWRQJJUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x
2
– 6x GHQJDQIXQJVL
kuadrat y = x
2
– 8x.
Penyelesaian:
7LWLNSRWRQJ 7DQWDQJDQ7HQWXNDQQLODLa dan b DJDUJUD¿NIXQJVLOLQHDUy = ax + b memotong
JUD¿NIXQJVLNXDGUDWy = x
2
– 4x WHSDWSDGDVDWXWLWLNNRRUGLQDW\DNQL
.DODXGLSHUOXNDQGDSDWPHQJJXQDNDQJUD¿N
Penyelesaian:
Dari persamaan x
2
– 4x + 2 = ax + b diperoleh x
2
±±ax±b .DUHQD WLWLN SHUSRWRQJDQ KDQ\D SDGD VDWX WLWLN NRRUGLQDW \DNQL PDND
IXQJVLNXDGUDWSDGD3HUVDPDDQKDQ\DPHPSXQ\DLVDWXDNDU\DNQLx = 3, atau dapat dituliskan dengan
x
2
±±ax±b x±x± = x
2
– 6x + 9 Diperoleh 4 – a = 6
o a = -2 dan 2 – b = 9 ob = -7. DULIXQJVLNXDGUDWy = 2x
2
– 12x DNDQGLEXDWVXDWXVHJLWLJD7LWLNWLWLNVXGXW
VHJLWLJDWHUVHEXWPHUXSDNDQWLWLNSRWRQJVXPEX;GDQWLWLNSXQFDN7HQWXNDQ luas segitiga tersebut.
Penyelesaian:
Fungsi kuadrat 2x
2
– 12x GDSDWGLXEDKPHQMDGL
2x
2
– 12x x
2
– 6x x±x±
Di unduh dari : Bukupaket.com
MATEMATIKA 539
Diperoleh titik potong sumbu-X SDGDWLWLNNRRUGLQDWGDQ6XPEX
simetri adalah x = -
12 3
2 4
b a
.RRUGLQDWWLWLNSXQFDNDGDODKf Perhatikan gambar di bawah.
1 -1
-1 1
3 2
4 5
Y
-2 -2
2 3
4 5
6 X
XDVVHJLWLJDDGDODKò VDWXDQOXDV
D. Aplikasi Fungsi Kuadrat
Kategori