Bentuk Standar Fungsi Boole

Dengan sifat AB = A + B dan B A  = A B persamaan 6-5 dapat dituliskan menjadi : _____________________________ Y = Y = A B C + A B C + A B C + ABC ______ ______ _____ ____ = A B C A B C A B C ABC = A + B + C A + B + C A + B + C A + B + C . 6-6 Fungsi Boole seperti disajikan pada persamaan 6-6 merupakan bentuk standar hasil kali dari jumlah Product of Sum. Jika diperhatikan dengan seksama setiap bentuk product of sum memenuhi sifat-sifat : a. Fungsi tersebut terdiri dari faktor-faktor b. Setiap faktor berupa jumlahan OR dari variabel-variabel c. Semua variabel fungsi muncul pada setiap faktor bentuk kanonik. Setiap faktor dari fungsi Boole dalam bentuk product of sum juga disebut maxterm suku maksimum. Untuk menyingkat penulisan, setiap maksterm diberi simbol M yang diikuti dengan angka indeks menurut nomor barisnya. Untuk persamaan 6-6 dapat dituliskan kembali sebagai Y = A + B + C A + B + C A + B + C A + B + C . = 000 . 100 . 101 . 111 = M . M 4 . M 5 . M 7 =  M 0,4,5,7. 6-7 Secara sederhana maksterm atau product of sum dapat disajikan dengan cara sebagai berikut : a. Nyatakanlah A,B,C,D ,… dengan 0 dan A , B , C , D ,… dengan 1 b. Nyatakanlah kombinasi biner stiap faktor menjadi desimal n c. Nyatakanlah Y =  M n, dengan n merupakan nilai desimal dari setiap faktor. Contoh 3 : Y = fA,B,C = A + B + C A + B + C A + B + C = 111 . 110 . 001 = 7 . 6 . 1 =  M 1,6,7. Contor 4 : Y = fA,B,C,D =  M 11,8,3,1,0. = 1011 . 1000 . 0011 . 0001 . 0000 = A +B+ C + D A +B+C+DA+B+ C + D A+B+C+ D A+B+C+D. Jika diperhatikan dengan seksama, kedua persamaan 6-4 dan 6-7 dijabarkan dari tabel kebenaran yang sama. Dengan demikian dapat dituliskan kembali bahwa : Y = f A,B,C =  m 1,2,3,6 =  M 0,4,5,7. Terlihat bahwa jika m = {1,2,3,6}, M = {0,4,5,7} dan misalkan S = {0,1,2,3,4,5,6,7}, maka m  M = 0 dan m  M = S. Jadi m = M 1 dan M = m 1 sifat komplemen. Sifat tersebut juga dapat diperoleh secara analitis dengan menerapkan aljabar Boole tanpa tabel kebenaran. Sebagai ilustrasi marilah kita coba untuk menyatakan fungsi Y = f A,B,C = A + BC + A C dalam bentuk minterm dan maksterm seperti berikut : Y = A + BC + A C = A C+ C + A+ A BC + A C = AC + A C + ABC + A BC + A C = AC + AC + ABC + A BC = ACB+ B + A C B+ B + ABC + A BC = ABC + A B C + AB C + A B C + ABC + A BC = ABC + A B C + AB C + A B C + A BC = 111 + 101 + 110 + 100 + 011 = 7 + 5 + 6 + 4 + 3 =  m 3,4,5,6,7. Y = A + BC + A C = A+B A+C A C = A+B+A C A+C+A C = A+B+A A+B+ C A+C+A A+C+ C = A+B A+C A+B+ C = A+B+C C A+C+B B A+B+ C = A+B+C A+B+ C A+B+C A+ B +C A+B+ C = A+B+C A+B+ C A+ B +C = 000 . 001 . 010 = 0 . 1 . 2 =  M 0,1,2. Dari ilustrasi tersebut tampak bahwa : Y = A + AB + A C =  m 3,4,5,6,7 =  M 0,1,2. Sifat komplemen tersebut dapat digunakan untuk mengubah minterm menjadi maksterm atau sebaliknya. Contoh 5 : Ubahlah minterm Y = f A,B,C = ABC + A B C + A B C + A BC menjadi maksterm Y = ABC + A B C + A B C + A BC = 111 + 100 + 010 + 011 = 7 + 4 + 2 + 3 =  m 2,3,4,7. Sedangkan bentuk makstermnya adalah : Y = fA,B,C =  M 0,1,5,6 = 000 . 001 . 101 . 110 = A+B+C A+B+ C A +B+ C A + B +C.

2. Peta Karnaugh Peta K

Peta Karnaugh digunakan sebagai salah satu metode untuk menyederhanakan fungsi Boole pernyataan logika. Peta Karnaugh merupakan penggambaran secara grafik semua kombinasi variabel-variabel yang terlibat dalam suatu pernyataan logika. Dengan demikian peta Karnaugh merupakan metode untuk menunjukkan hubungan antara variabel masukan dan keluaran yang diinginkan. Peta Karnaugh terdiri dari kolom dan baris di mana cacah kolom dan baris bergantung pada banyaknya variabel yang terlibat dalam suatu pernyataan logika. Beberapa catatan tentang peta Karnough adalah sebagai berikut : a. Jika ada m variabel untuk kolom dan n variabel untuk baris, maka diperlukan 2 m kolom dan 2 n baris yang membentuk 2 m+n kotak atau sel. Jumlah kotak tersebut sama dengan banyaknya baris dalam tabel kebenaran. Hal ini juga berarti bahwa banyaknya variabel fungsi logika ada m+n. b. Nilai dari kombinasi variabel pada setiap sel digunakan untuk memberikan nomor sel yang bersangkutan. Nilai tersebut menunjukkan nomor baris pada tabel kebenaran. c. Sel-sel pada peta Karnough digunakan untuk meletakkan suku minterm atau faktor maksterm yang sesuai. d. Tanda 1 digunakan untuk menyatakan bahwa suatu sel berisi minterm, sedangkan tanda 0 menyatakan bahwa sel itu berisi maksterm. Untuk lebih jelasnya marilah kita perhatikan beberapa contoh berikut, dimulai dari fungsi logika dengan 3 variabel masukan sebagai Y = f A,B,C. Tabel kebenaran fungsi logika tersebut ditentukan sebagaimana tampak pada Tabel 6- 2 berikut ini. Tabel 6-2 : Nomor Baris Masukan Keluaran A B C Y 1 1 1 1 2 1 1 3 1 1 4 1 5 1 1 6 1 1 1 7 1 1 1 Berdasarkan pada tabel 6-2 dapat dituangkan dalam peta Karnough dengan beberapa cara. Cara pertama kita tetapkan m = 2 cacah variabel untuk kolom A B C A B C A B C AB C ada 2, yaitu A dan B, dan n = 1 cacah variabel untuk baris ada 1, yaitu C. Dengan demikian cacah kolom 2 m = 2 2 = 4, dan cacah baris ada 2 n = 2 1 = 2. Peta Karnaugh untuk cara tersebut adalah sebagai berikut : AB C A B 00 A B 01 AB 11 A B 10 C : 0 000 0 010 2 110 6 100 4 C : 1 001 1 011 3 111 7 101 5 Cara ke dua kita tetapkan m = 1 cacah variabel untuk kolom ada 1, yaitu A, dan n = 2 cacah variabel untuk baris ada 2, yaitu B dan C. Dengan demikian cacah kolom ada 2 m = 2 1 = 2, dan cacah baris ada 2 n = 2 2 = 4. Peta Karnaugh untuk cara tersebut adalah sebagai berikut : A BC A A 1 B C : 00 000 100 4 B C : 01 001 1 101 5 BC : 11 011 3 111 7 B C : 10 010 2 110 6 Untuk kedua cara di atas masing-masing memiliki cacah sel yang sama, yaitu 2 m + n = 2 2 + 1 = 2 1 + 2 = 2 3 = 8. Perhatikan bahwa nomor sel ditunjukkan oleh Nilai dari kombinasi variabel Nomor baris Keadaan : m = 2 n = 1 Keadaan : m = 1 n = 2 Nilai dari kombinasi variabel Nomor baris kombinasi biner dari nilai variabel yang bersilangan di sel itu. Sebagai contoh perhatikan beberapa bagian peta di bawah ini Selanjutnya ditetapkan dahulu bahwa kita akan memilih menyatakan fungsi logika dalam bentuk sum of product yang berarti pula kita menggunakan bentuk minterm. Sehingga berdasarkan tabel 6-2 kita ambil nomor baris di mana Y = 1, yaitu terjadi pada baris-baris nomor 0, 1, 2, dan 6. Dengan demikian, kita menempatkan 1 ke dalam sel-sel yang bernomor 0, 1, 2, dan 6 tadi. Setelah bentuk minterm tersebut diisikan pada sel-sel yang sesuai akan diperoleh peta Karnaugh seperti berikut : A B 00 000 0 C : 0 A 000 0 B C : 00 atau A B C = 000 2 = 0 A B 01 011 3 C : 1 A 011 3 BC : 01 atau A BC = 011 2 = 3 A B 10 101 5 C : 1 A 1 101 5 B C : 01 atau A B C = 101 2 = 5 dan seterusnya.