2. Pola Distribusi Normal Distribusi normal Gausian mungkin merupakan distribusi probabilitas yang
paling penting baik dalam teori maupun aplikasi statistik. Fungsi-fungsi dari distribusi Normal:
a. Fungsi Kepadatan Probabilitas
−
− =
2 2
2 exp
2 1
σ µ
π σ
t t
f ;
∞ ∞
−
t
b. Fungsi Distribusi Kumulatif
∫
− −
=
t
dt t
t F
2 2
2 exp
2 1
σ µ
πσ c. Fungsi Keandalan
∫
∞
− −
=
t
dt t
t R
2 2
2 exp
2 1
σ µ
π σ
d. Fungsi Laju Kerusakan
t R
t f
t h
=
Kosep reliability distribusi normal tergantung pada nilai μ rata-rata dan σ
standar deviasi.
3. Pola Distribusi Eksponensial Distribusi eksponensial sering digunakan dalam berbagai bidang, terutama
dalam teori keandalan. Hal ini disebabkan karena pada umumnya data kerusakan mempunyai perilaku yang dapat dicerminkan oleh distribusi
eksponensial. Distribusi eksponensial akan tergantung pada nilai λ, yaitu laju kegagalan konstan.
Fungsi-fungsi dari distribusi Eksponensial: a. Fungsi Kepadatan Probabilitas
t
e t
f
λ
λ
−
=
t
b. Fungsi Distribusi Kumulatif
t
e t
F
λ −
− = 1
c. Fungsi Keandalan
t
e t
R
λ −
= d. Fungsi Laju Kerusakan
λ
= t
h
4. Pola Distribusi Lognormal Distribusi lognormal merupakan distribusi yang berguna untuk
menggambarkan distribusi kerusakan untuk situasi yang bervariasi. Distribusi lognormal banyak digunakan di bidang teknik, khusunya sebagai model untuk
berbagai jenis sifat material dan kelelahan material. Fungsi-fungsi dari distribusi Lognormal.
Fungsi-fungsi dari distribusi Lognormal: a. Fungsi Kepadatan Probabilitas
− −
=
2 2
2 ]
[ exp
2 1
σ µ
π σ
t t
t f
;
∞ ∞
−
t
b. Fungsi Distribusi Kumulatif
∫
− −
=
t
dt t
t t
F
2 2
2 ]
[ exp
2 1
σ µ
π σ
c. Fungsi Keandalan
1 2
] [
exp 2
1
2 2
t F
t R
dt t
t R
t
− =
− −
=
∫
∞
σ µ
π σ
d. Fungsi Laju Kerusakan
t R
t f
t h
=
Kosep reliability distribusi Lognormal tergantung pada nilai μ rata-rata dan
σ standar deviasi.
5. Pola Distribusi Gamma Distribusi Gamma memiliki karakter yang hampir mirip dengan distribusi
Weibull dengan shape parameter β dan scale parameter α. Dengan
memvariasikan nilai kedua parameter tersebut maka ada banyak jenis sebaran data yang dapat diwakili oleh distribusi Gamma.
Fungsi-fungsi dari distribusi Gamma: a. Fungsi Kepadatan Probabilitas
, ;
; exp
1
≥ ≥
−
Γ =
−
β α
α β
α
β β
t t
t t
f b. Fungsi Distribusi Kumulatif
∫
−
Γ =
− t
dt t
t t
F
1
exp α
β α
β β
c. Fungsi Keandalan 1
t F
t R
− =
∫
∞ −
−
Γ =
t
dt t
t t
R α
β α
β β
exp
1
d. Fungsi Laju Kerusakan
t R
t f
t h
=
3.5. Uji
Kolmogorov-Smirnov
Dalam menganalisis kesesuaian data dapat dimanfaatkan Uji Goodness of fit
kesesuaian antara frekuensi hasil pengamatan dengan frekuensi yang diharapkan. Alternatif dari uji goodness of fit yang dikemukakan oleh A.
Kolmogorov dan N.V.Smirnov dua matematikawan yang berasal dari Rusia,
adalah Kolmogorov–Smirnov, yang beranggapan bahwa distribusi variabel yang sedang diuji bersifat kontinu dan sampel diambil dari populasi sederhana. Dengan
demikian uji ini hanya dapat digunakan bila variabel yang diukur paling sedikit dalam skala ordinal.
Ada beberapa keuntungan dan kerugian relatif dari uji kesesuaian Kolmogorov
–Smirnov dibandingkan dengan uji kesesuaian Chi-Kuadrat, yaitu : 1. Data dalam uji Kolmogorov–Smirnov tidak perlu dilakukan kategorisasi.
Dengan demikian semua informasi hasil pengamatan terpakai. 2. Uji Kolmogorov–Smirnov bisa dipakai untuk semua ukuran sampel, sedang
uji Chi-Kuadrat membutuhkan ukuran sampel minimum tertentu.
3. Uji Kolmogorov–Smirnov tidak bisa dipakai untuk memperkirakan parameter populasi. Sebaliknya uji Chi-Kuadrat bisa digunakan untuk memperkirakan
parameter populasi dengan cara mengurangi derajat bebas sebanyak
parameter yang diperkirakan.
4. Uji Kolmogorov–Smirnov memakai asumsi bahwa distribusi populasi teoritis
bersifat kontinu.
Langkah–langkah uji Kolmogorov–Smirnov sebagai berikut: 1. Susun frekuensi-frekuensi berurutan dari nilai terkecil sampai nilai terbesar.
2. Susun frekuensi kumulatif dari nilai–nilai teramati itu.
3. Konversikan frekuensi kumulatif itu ke dalam probabilitas, yaitu ke dalam fungsi distribusi frekuensi kumulatif f
s
4. Carilah probabilitas luas area kumulatif untuk setiap nilai teramati. Hasilnya ialah apa yang kita sebut F
x.
t
x
i
5. Susun F
.
s
x berdampingan dengan F
t
x. Hitung selisih absolut antara F
s
x
i
dan F
t
x
i
6. Statistik uji Kolmogorov – Smirnov ialah selisih absolut terbesar F
pada masing – masing nilai teramati.
s
x
i
dan F
t
x
i
D =
yang juga disebut deviasi maksimum D, ditulis sebagai berikut:
x F
x F
i t
i s
−
maks, i = 1,2,….N. Prinsip dari uji Kolmogorov–Smirnov ialah menghitung selisih absolut
antara fungsi distribusi frekuensi kumulatif sampel F
s
x dan fungsi distribusi frekuensi kumulatif teoritis F
t
x pada masing – masing interval kelas.
Hipotesis yang diuji dinyatakan sebagai berikut, yaitu: Ho : Fx = Ftx untuk semua x dari
− ∼sampai + ∼ Hi : Fx
≠ Ftx untuk paling sedikit sebuah x Dengan Fx adalah fungsi distribusi frekuensi kumulatif populasi pengamatan.
Statistik uji Kolmogorov – Smirnov merupakan selisih terbesar antara F
s
x dan F
t
D = x yang kita sebut deviasi maksimum D. Statistik D ditulis sebagai
berikut :
` x
F x
F
t s
−
maks, i = 1,2,…n Nilai D kemudian dibandingkan dengan nilai kritis pada tabel distribusi
pengambilan sebagian data, pada ukuran sampel n dan tingkat kemaknaan α. Ho
ditolak bila nilai teramati maksimum D lebih besar atau sama dengan nilai kritis D maksimum. Dengan penolakan Ho berarti distribusi teoritis berbeda secara
bermakna. Sebaliknya dengan menolak Ho berarti terdapat perbedaan bermakna antara distribusi teramati dan distribusi teoritis.
3.6. Penentuan
Optimal Preventive Replacement Age untuk Meminimasi Downtime
8
Dalam beberapa kasus, karena kesulitan dalam menentukan biaya untuk melakukan kegiatan perawatan atau untuk memaksimalkan utilisasi dari peralatan
tersebut, kebijakan penggantian lebih ditujukan untuk meminimasi total downtime waktu dimana fasilitas dalam keadaan tidak dapat dipakai dioperasikan
8
Gaspersz, Vincent. Analisis Sistem Terapan Berdasarkan Pendekatan Teknik Industri. Hal 552
