Berdasarkan prinsip keseimbangan dinamik
free body diagram
pada gambar 2.3, maka dapat diperoleh hubungan,
• • • •
•
• •
•
= • • • • •• • • • •+ •
•
+ •
•
= • •
2-1 dimana:
f
D
= c.
• •
2-2 f
S
=
• . •
2-3 Apabila persamaan 2-2 dan 2-3 disubtitusikan ke persamaan 2-1, maka
akan diperoleh
• • •+ • . • + • . • •= • •
2-4 Persamaan 2-4 adalah persamaan diferensial gerakan massa suatu struktur SDOF
yang memperoleh pembebanan dinamik
P t
. Pada problem dinamika yang penting untuk diketahui adalah simpangan horizontal tingkat atau dalam persamaaan tersebut
adalah
ut
.
2.4.2 Persamaan Diferensial Struktur SDOF Akibat Base Motion
Beban dinamik yang umum dipakai pada analisa struktur selain beban angin adalah beban gempa. Gempa bumi akan mengakibatkan permukaan tanah menjadi
bergetar yang getarannya direkam dalam bentuk akselelogram. Tanah yang bergetar akan menyebabkan semua benda yang berada di atas tanah akan ikut bergetar
termasuk struktur bangunan. Di dalam hal ini masih ada anggapan bahwa antara fondasi dan tanah pendukungnya bergerak secara bersama-sama atau fondasi
dianggap menyatu dengan tanah. Anggapan ini sebetulnya tidak sepenuhnya benar karena tanah bukanlah material yang kaku yang mampu menyatu dengan fondasi.
Kejadian yang sesungguhnya adalah bahwa antara tanah dan fondasi tidak akan
Universitas Sumatera Utara
bergerak secara bersamaan. Pondasi masih akan bergerak horizontal relatif terhadap tanah yang mendukungnya. Kondisi seperti ini cukup rumit karena sudah
memperhitungkan pengaruh tanah terhadap analisis struktur yang umumnya disebut
soil-structure interaction analysis
. Untuk menyusun persamaan diferensial gerakan massa akibat gerakan tanah
maka anggapan di atas tetap dipakai, yaitu tanah menyatu secara kaku dengan kolom atau kolom dianggap dijepit pada ujung bawahnya. Pada kondisi tersebut ujung
bawah kolom dan tanah dasar bergerak secara bersamaan. Persamaan diferensial gerakan massa struktur SDOF akibat gerakan tanah selanjutnya dapat diturunkan
dengan mengambil model seperti pada gambar 2.4.
Gambar 2.4 Struktur SDOF akibat base motion Chopra,1995
Berdasarkan pada
free body diagram
seperti gambar di atas maka deformasi total yang terjadi adalah
•
•
• = • • + •
•
•
2-5 Dari
free body diagram
pada gambar 2.1b, dengan adanya gaya inersia f
1
maka persamaan keseimbangannya menjadi
•
•
+ •
•
+ •
•
= 0
2-6 dimana gaya inersia adalah
•
•
= • • •
•
2-7
Universitas Sumatera Utara
Dengan mensubstisusikan persamaan 2- 2, 2-3 dan 2-7 ke persamaan 2-6 dan menggunakan persamaan 2-5, maka diperoleh persamaan sebagai berikut,
• • •+ • . • + • . • •= • • • •
•
•
2-8 Persamaan ini disebut persamaan diferensial relatif karena gaya inersia, gaya redam
dan gaya pegas yang ketiga-tiganya timbul akibat adanya simpangan relatif. Ruas kanan pada persamaan 2-8 disebut sebagai beban gempa efektif atau beban gerakan
tanah efektif. Ruas kanan tersebut seolah menjadi gaya dinamik efektif yang bekerja pada elevasi lantai tingkat. Kemudian gaya luar ini akan disebut sebagai gaya efektif
gempa
•
• • •
• = • • • •
•
•
2-9
2.4.3 Persamaan Difrensial Struktur MDOF 2.4.3.1 Matriks Massa, Matriks Kekakuan dan Matriks Redaman
