Baik per. 2-62 dan pers. 2-63 sebetulnya terdiri atas beberapa banyak persamaan yang sering terkait antara persamaan satu dengan persamaan yang lain. Seperti
disebut sebelumnya persamaan itu disebut
coupled equations
atau
dependent equations
.
2.4.5.5 Penyelesaian Persamaan Diferensial Gerakan
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya bahwa respon yang paling penting di dalam persoalan analisis dinamik struktur baik SDOF maupun MDOF adalah
simpangan horisontal tingkat. Dengan diketahuinya simpangan horisontal tingkat, maka gaya geser tingkat dan momen guling struktur dapat dihitung. Pendekatan yang
dipakai pada penyelesaian persamaan diferensial suatu permasalahan yang sudah kompleks adalah pendekatan numerik tahap demi tahap
step by step
. Selain jenis beban, durasi beban, step integrasi •t maka jumlah derajat
kebebasan akan bertambah sesuai volume pekerjaan. Kombinasi dari durasi beban yang panjang, step integrasi yang kecil dan derajat kebebasan yang banyak akan
menuntut memori komputer yang cukup besar. Banyaknya massa derajat kebebasan juga akan berakibat pada munculnya banyak pola ragam goyangan mode shapes
sebagaimana telah dibahas sebelumnya. Terdapat beberapa cara yang dapat dipakai untuk menyelesaikan persamaan diferensial gerakan yang kesemuanya mempunyai
kelebihan dan kekurangannya masing-masing.
2.4.5.6 Metode • - Newmark Incremental Formulation
Metode • -Newmark merupakan salah satu metode numerik yang dapat dipakai untuk keperluan integrasi persamaan diferensial
coupled
struktur MDOF
Universitas Sumatera Utara
secara langsung. Metode • -Newmark yang dimaksud misalnya adalah metode yang berdasar pada
incremental method
. Untuk struktur yang berperilaku linier inelastik ataupun non-linier inelastik, maka perlu dikembangkan model integrasi yang dapat
mensimulasikan perubahan kekakuan menurut fungsi dari waktu. Pada metode • -Newmark, persamaan diferensial yang berlaku pada interval
yang ditinjau adalah seperti pers. 2-62 dan dapat ditulis kembali menjadi,
[ • ] • •• ••
•
+ [ • ] • •• ••
•
+ [ • ]•• • •
•
= • •• •
•
2-64 Apabila beban dinamik yang dipakai adalah beban gempa maka untuk struktur
MDOF pers. 2.4.63 di atas adalah,
[ • ] • •• ••
•
+ [ • ] • •• ••
•
+ [ • ]•• • •
•
= • {• } • •• ••
• •
2-65 Perlu diingat bahwa pada Metode • -Newmark memakai perjanjian notasi untuk
perubahan simpangan
•• • •
, perubahan kecepatan
• •• ••
dan perubahan percepatan
•• • ••
adalah
• •
•
= •
•• •
• •
•
,
• • •
•
= • •
•• •
• • •
•
, dan
• • •
•
= • •
•• •
• • •
•
2-66 Sedangkan perubahan intensitas pembebanan pada interval yang ditinjau adalah,
• •• •
•
= •• •
•• •
• •• •
•
2-67a Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka
• •• •
•
= {• } • •• ••
• •• •
• •• ••
• •
•
2-67b Pada integrasi numerik, perubahan percepatan pada langkah ke-i
• • •
•
ialah
• • •
•
=
• • • •
•
• •
•
•
• • • •
• •
•
•
• • •
• •
•
2-68 Sedangkan perubahan kecepatan pada langkah yang sama
• • •
•
adalah,
• • •
•
=
• • • •
• •
•
•
• •
• •
•
+ • • • 1 •
• • •
• • •
•
2-69
Universitas Sumatera Utara
Perubahan simpangan dapat dicari dengan persamaan,
• •
•
=
• ••
•
••
2-70a Dimana
•• = • • +
• • • • •
+
• • • •
•
•
2-70b
• ••
•
= •
•• •
• •
•
+ • • •
•
+ • • •
•
2-70c Untuk struktur MDOF akibat beban gempa bumi, maka
• ••• •
•
= {• } • •• ••
• •• •
• •• ••
• •
• + • • •
•
+ • • •
•
2-71a Dimana nilai a dan b ialah
• = •
• • • •
• +
• •
• •
dan
• = •
• • •
• + • • •
• • •
• 1• • •
2-71b Selanjutnya simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval adalah,
•
•• •
= •
•
+ • •
•
2-72a
• •
•• •
= • •
•
+ • • •
•
, 2-72b
• •
•• •
= • •
•
+ • • •
•
2-72c Tahapan-tahapan integrasi numerik metode ß-Newmark sebagai berikut:
1. nilai
k
,
m
,
•
dan
d
t
diketahui. 2. Disusun matrix massa [M], matrix redaman [C] dan matrix kekakuan [K].
3. Dihitung nilak
k
, nilai
a
dan
b
. 4. Dihitung nilai
• •• •
•
,
• •
•
,
• • •
•
dan
• • •
•
5. Dihitung simpangan, kecepatan dan percepatan pada akhir interval
•
•• •
= •
•
+ • •
•
• •
•• •
= • •
•
+ • • •
•
,
• •
•• •
= • •
•
+ • • •
•
Universitas Sumatera Utara
2.4.6 Persamaan Difrensial Struktur MDOF akibat Base Motion
