determinan dari matriks yang merupakan koefisien dari vektor {• }
i
adalah nol, sehingga
|[K] - •
2
[M]| = 0 2-26
Jumlah
mode
pada struktur dengan derajat kebebasan banyak biasanya dapat dihubungkan dengan jumlah massa.
Mode
itu sendiri adalah jenis pola ragam getaran goyangan suatu struktur bangunan. Mode ini hanya merupakan fungsi dari
properti dinamik dari struktur yang bersangkutan dalam hal ini adalah hanya massa dan kekakuan tingkat dan bebas dari pengaruh waktu dan frekuensi getaran. Dengan
adanya hubungan antara jumlah mode dengan jumlah massa struktur, maka bangunan yang mempunyai 5 tingkat misalnya, akan mempunyai 5 derajat kebebasan dan akan
mempunyai 5 jenis ”
mode
” gerakan dan akan mempunyai 5 nilai frekuensi sudut yang berhubungan langsung dengan jenis nomor
mode
nya. Apabila jumlah derajat kebebasan adalah
n
, maka persamaan 2-26 akan menghasilkan suatu polinomial pangkat n yang selanjutnya akan menghasilkan •
i 2
untuk i = 1, 2,3 ...n. Selanjutnya, substitusi masing-masing frekuensi
•
i
ke dalam persamaan 2-25 sehingga akan diperoleh nilai-nilai •
1
, •
2
,........ •
n
.
2.4.4.2 Frekuensi Sudut • dan Normal Modes
Sebagaimana dijelaskan sebelumnya, di dalam menghitung frekuensi sudut untuk struktur yang mempunyai derajat kebebasan banyak MDOF, diambil suatu
anggapan bahwa struktur tersebut dianggap tidak mempunyai redaman atau
C
= 0. Untuk menghitung dan sekaligus menggambar normal modes maka diambil suatu
model struktur seperti pada gambar berikut.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.7 Bangunan 2-DOF dan model matematika
Setiap struktur yang dibebani dengan beban dinamik akan mengalami goyangan. Untuk struktur derajat kebebasan banyak, maka struktur yang
bersangkutan akan mempunyai banyak ragam pola goyangan.
Normal modes
adalah suatu istilah yang sering dipakai pada problem dinamika struktur, dan kata tersebut
diterjemahkan sebagai ragampola goyangan. Kembali pada persoalan inti, suatu persamaan diferensial gerakan dapat
diperoleh dengan memperhatikan
free body diagram
seperti pada gambar 2.7c. Notasi
y
dan
• •
pada gambar 2.7 sama dengan notasi
•
dan
• •
yang menyatakan nilai
displacement
dan percepatan. Berdasarkan
free body diagram
pada gambar 2.7c maka diperoleh
•
•
• •
•
+ •
•
•
•
• •
•
•
•
• •
•
= 0 •
•
• •
•
+ •
•
•
•
• •
•
= 0
2-27 Pers 2-27 dapat ditulis dalam bentuk yang sederhana yaitu,
•
•
• •
•
+ •
•
+ •
•
•
•
• •
•
•
•
= 0 •
•
• •
•
• •
•
•
•
+ •
•
•
•
= 0
2-28
Universitas Sumatera Utara
Pers 2-28 dapat ditulis dalam bentuk matriks yaitu,
• •
•
•
•
• • • •
•
• •
•
• + • •
•
+ •
•
• •
•
•
•
• • •
•
•
•
• = • •
2-29 Persamaan Eigenproblem untuk pers. 2-29 di atas yaitu
• •
•
+ •
•
• •
•
•
•
• •
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
• • •
•
•
•
• = • •
2-30 Dengan •
i
adalah suatu nilai ordinat yang berhubungan dengan massa ke-
i
pada ragam pola goyangan massa ke-
i
. Seperti dijelaskan sebelumnya bahwa pers. 2-30 dapat diperoleh penyelesaiannya apabila nilai determinan sama dengan nol.
• •
•
+ •
•
• •
•
•
•
• •
•
• •
•
•
•
• •
•
•
•
• = 0
2-31 Nilai determinan dari persamaan 2-31 di atas ialah
•
•
•
•
•
•
• { •
•
+ •
•
•
•
• •
•
•
•
}•
•
+ •
•
+ •
•
•
•
• •
• •
= 0
2-32
Struktur dianggap tidak mempunyai redaman sehingga periode getar dicari sebenarnya adalah merupakan
undamped free vibration periods
. Sebagaimana disampaikan pada pembahasan struktur SDOF bahwa periode getar ini akan sedikit
lebih kecil dibanding dengan periode getar yang mana redaman struktur diperhitungkan ingat
•
d
•
, sehingga
T T
d
. Selain itu nilai-nilai
mode shapes
juga tidak dipengaruhi oleh waktu, artinya nilai-nilai tersebut akan tetap asal nilai-nilai massa dan kekakuan tingkatnya tidak
berubah. Karena nilai kekakuan tingkat
k
i
tidak berubah-ubah maka
mode shapes
merupakan nilai untuk struktur yang bersifat elastik, atau hanya struktur yang elastik yang mempunyai nilai
mode shapes
. Selain itu juga nilai
mode shapes
tidak dipengaruhi oleh frekuensi beban. Dengan demikian disimpulkan bahwa nilai-nilai
mode shapes
adalah :
Universitas Sumatera Utara
a. bebas dari pengaruh redaman, b. bebas dari pengaruh waktu,
c. bebas dari pengaruh frekuensi beban dan d. hanya untuk struktur yang elastik.
2.4.5 Getaran Bebas Pada Struktur MDOF 2.4.5.1 Persamaan Difrensial Independen Uncoupling
