• •
•
•
•
•
•
• • • •
•
• •
•
• •
•
• + • •
•
+ •
•
• •
•
• •
•
•
•
+ •
•
• •
•
• •
•
•
•
• • • •
•
• •
•
• •
•
•
+
• •
•
+ •
•
• •
•
• •
•
•
•
+ •
•
• •
•
• •
•
•
•
• • •
•
•
•
•
•
• =
• •
•
• •
•
• •
•
• •
Pers. 2-15 dapat ditulis dalam matriks yang lebih kompleks,
[ • ] {• •} + [ • ] {• •} + [ • ] {• } = {• • }
2-16 Yang mana [
M
], [
C
] dan [
K
] berturut-turut adalah mass matriks, damping matriks dan matriks kekakuan yang dapat ditulis menjadi,
[ • ] = •
•
1
•
2
•
3
• ,
[ • ] = •
•
1
+ •
2
• •
2
• •
2
•
2
+ •
3
• •
3
• •
3
•
3
• dan
[ • ] = •
•
1
+ •
2
• •
2
• •
2
•
2
+ •
3
• •
3
• •
3
•
3
•
2-17
Sedangkan
{• •}
,
{• •}
dan
{• }
dan
{• • }
masing-masing adalah vektor percepatan, vektor kecepatan, vektor simpangan dan vektor beban, atau
{• •} = •
•
•
1
•
•
2
•
•
3
•
,
{ • •} = •
•
•
1
•
•
2
•
•
3
•
,
{• } = •
•
1
•
2
•
3
•
• • •
{• • } = •
•
1
• •
2
• •
3
•
•
2-18
2.4.3.2 Matriks Redaman
Pada persamaan diferensial di atas, maka tersusunlah berturut-turut matriks massa, matriks redaman dan matriks kekakuan. Sebagaimana telah dibahas
sebelumnya bahwa kekakuan kolom sudah dapat dihitung secara lebih pasti. Kekakuan kolom dapat dihitung berdasarkan model kekakuan balok yang dipakai.
Dengan demikian matriks kekakuan sudah dapat disusun dengan jelas. Pada bagian lain yang sudah dibahas adalah massa struktur. Apabila model distribusi massa
struktur sudah dapat dikenali dengan baik, maka massa setiap derajat kebebasan juga
Universitas Sumatera Utara
dapat dihitung dengan mudah. Akhirnya matriks massa juga dapat disusun secara jelas. Maka sesuatu yang perlu dibahas lebih lanjut adalah matriks redaman. Sebelum
menginjak matriks redaman maka akan dibahas terlebih dahulu jenis dan sistem redaman.
2.4.3.3 Non Klasikal Non Proporsional Damping
Apabila matriks massa dan matriks kekakuan telah dapat disusun, maka selanjutnya menyusun matriks redaman. Pada struktur SDOF, koefisien redaman
c
dapat dihitung. Koefisien redaman
c
ialah produk dari rasio antara redaman dengan redaman kritik. Sistem redaman secara umum terbagi menjadi dua yaitu redaman
klasik
clasiccal damping
dan redaman non-klasik
non-clasiccal damping
. Damping non-klasik tergantung pada frekuensi
frequency dependent
. Clough dan Penzien 1993 memberikan contoh damping non-klasik.
Pada gambar 2.5a tampak kombinasi antara struktur beton di bagian bawah misalnya dan struktur baja pada bagian atas. Jenis bahan akan mempengaruhi rasio
redaman. Antara struktur beton dan struktur baja akan mempunyai perbedaan rasio redaman yang cukup signifikan. Oleh karena itu sistem struktur mempunyai rasio
redaman yang berbeda. Prinsip non-klasikal damping akan berlaku pada struktur tersebut. Pada gambar 2.5b adalah sistem struktur yang memperhitungkan efek
pengaruh tanah dalam analisis struktur. Analisis struktur seperti itu biasanya disebut analisis interaksi antara tanah dengan bangunan
soil-structure interaction analysis
. Struktur tanah umumnya mempunyai kapasitas meredam energi atau mempunyai
rasio redaman yang jauh lebih besar daripada bangunan atas. Disamping itu interaksi
Universitas Sumatera Utara
antara tanah dan fondasi sebenarnya adalah interaksi
frequency dependent
, artinya kualitas interaksi akan dipengaruhi oleh frekuensi beban yang bekerja.
Apabila interaksi antara tanah dengan struktur dipengaruhi frekuensi, maka kekakuan dan redaman interaksi juga
frequency dependent
. Pada kondisi tersebut sistem struktur tidak akan mempunyai standar
mode shapes
akan dibahas kemudian. Dengan memperhatikan kenyataan-kenyataan seperti itu maka ada empat
hal yang perlu diperhatikan.
Pertama
rasio redaman struktur atas yang dipengaruhi oleh level respon,
kedua
rasio redaman pada stuktur atas dan bawah sangat berbeda,
ketiga
rasio redaman struktur bawah tergantung pada frekuensi beban dan
keempat
sistem struktur tidak akan mempunyai standar
mode shapes
. Apabila analisis struktur memperhatikan hal itu semua, maka problemnya tidak hanya terletak pada redaman
tetapi penyelesaian yang komprehensif terhadap sistem struktur. Penyelesaian
soil- structure interaction
pada bangunan bertingkat banyak tidak sederhana dan cukup sulit. Oleh karena itu memperhitungkan redaman non-klasik ini memerlukan
kemampuan yang sangat khusus.
Gambar 2.5 Struktur dengan damping non-klasik Clough Pensien, 1993
a b
Universitas Sumatera Utara
2.4.3.4 Klasikal Proposional Damping
