2.4.5.2 Getaran Bebas Tanpa Redaman
Untuk membahas pemakaian modal analisis pada struktur getaran bebas tanpa redaman, maka perlu dikemukakan prinsip-prinsip pokok yang akan dilakukan.
Seperti telah disampaikan pada persamaan 2-33 bahwa simpangan struktur dapat diperoleh dengan menjumlahkan produk antara koordinat
normal modes
dengan faktor amplitudo
Z
untuk setiap
mode
yang ada. Untuk itu disamping
normal modes
, faktor amplitudo tersebut harus dicari terlebih dahulu. Prinsip tersebut dapat
dinyatakan sebagai berikut,
{• } = [
•
]{• }
Maka faktor amplitudo Z adalah,
{• } = [
•
]
• •
{• }
2-52 Dengan
[
•
]
• •
adalah nilai inverse atas modal matriks dan
{• }
vektor simpangan horizontal.
Prinsip pemakaian getaran bebas pada modal analis ini dapat dilakukan dengan memberikan nilai-nilai simpangan awal yang kemudian dinyatakan dalam
vektor simpangan
{• }
. Apabila faktor amplitudo
Z
akibat adanya simpangan awal pada persamaan 2-52 telah dihitung, maka respon struktur simpangan struktur
dapat diperoleh dengan substitusi kembali persamaan tersebut ke dalam persamaan sebelumnya.
Secara manual, yang menjadi masalah adalah bagaimana memperoleh nilai inverse atas modal matriks
[
•
]
• •
seperti pada persamaan 2-52 Nilai tersebut salah satunya dapat diperoleh dengan memperhatikan
generalized mass matrix
sebagai berikut,
[ •
•
] = [
•
]
•
[ • ][
•
]
2-53
Universitas Sumatera Utara
dengan [• ] adalah modal matriks. Maka
2-54 Suatu alasan mengapa
generalized mass matrix
dipakai karena matriks massa adalah matriks diagonal sehingga perkalian matriks dapat dilakukan secara lebih
mudah.
Generalized mass matrix
seperti tersebut pada persamaan 2-54 juga merupakan matriks diagonal sehingga nilai inverse matriksnya dapat dilakukan
dengan mudah. Apabila nilai inverse modal matrix seperti pada persamaan 2-54 telah dihitung maka faktor amplitudo
Z
seperti pada pers. 2-52 dapat dihitung.
Gambar 2.9 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas tanpa redaman
Universitas Sumatera Utara
2.4.5.3 Getaran Bebas Dengan Redaman Damped Free Vibration Systems
Apabila pembahasan di atas diperhatikan maka hitungan yang relatif panjang adalah dalam rangka menghitung nilai invers modal matriks [• ]
-1
. Untuk mencari nilai tersebut sebetulnya dapat dipakai cara yang lain yang relatif lebih mudah. Untuk
itu pembahasan akan dimulai dari persamaan,
• =
•
•
•
•
+
•
•
•
•
+
•
•
•
•
+ …. . +
•
•
•
•
2-55 Apabila pers. 2.4.55 dikalikan awal premultiply dengan •
• •
M maka, •
• •
• • =
•
• •
M
•
•
•
•
+
•
• •
M
•
•
•
•
+
•
• •
M
•
•
•
•
+ …. . +
•
• •
M
•
•
•
•
2-56 Pada pembahasan hubungan orthogonal telah diketahui bahwa perkalian pada suku-
suku ruas kanan pers. 2-56 akan sama dengan nol kecuali untuk koordinat • yang subskribnya sama. Dengan demikian persamaan 2-56 akan menjadi,
•
• •
• • =
•
• •
M
•
•
•
•
Maka
•
•
=
•
• •
•
•
• •
•
•
•
•
2-57 Dengan logika yang sama juga akan diperoleh hubungan,
• •
•
=
•
• •
•
•
• •
•
•
•
• •
2-58 Dengan memperhatikan persamaan 2-52 maka vektor modal amplitudo {Z}j dapat
diperoleh dengan,
{• }
•
= [
•
]
• •
{• }
•
2-59 Persamaan 2-59 juga berarti bahwa melalui nilai inverse modal matriks maka akan
dapat diperoleh modal amplitudo,
Z
j
yaitu modal amplitudo untuk tiap-tiap mode. Selanjutnya dengan memperhatikan persamaan 2-57 dan 2-59 maka diperoleh
hubungan,
Universitas Sumatera Utara
2-60 Untuk struktur MDOF yang mempunyai redaman, modal amplitudo
Z
j
dapat dihitung berdasarkan,
2-61 Langkah yang pertama adalah menghitung modal amplitudo awal Z
j
0 dan modal kecepatan awal Z
j
0.
Universitas Sumatera Utara
Gambar 2.10 Respon struktur MDOF akibat getaran bebas dengan redaman
2.4.5.4 Persamaan Diferensial Dependen Coupling
Kategori