7
Kegiatan Pembelajaran 1
A. Tujuan
Guru Pembelajar dapat menentukan karakteristik bilangan dan hasil operasi bilangan dalam sistem bilangan
Guru Pembelajar dapat menentukan hubungan di antara bilangan pada berbagai sistem bilangan dan teori bilangan
B. Indikator Pencapaian Kompetensi
Guru Pembelajar dapat menganalisis karakteristik suatu jenis bilangan Guru Pembelajar dapat menganalisis dan menggunakan hubungan berbagai
jenis bilangan dalam menyelesaikan soal-soal dan permasalahan konteks sehari-hari
C. Uraian Materi
Sistem Bilangan 1. Bilangan Asli
Himpunan bilangan yang paling awal digunakan manusia adalah himpunan bilangan yang digunakan untuk mencacah to count banyak objek. Misal untuk mencacah
banyak ternak, banyak rumah, dan sebagainya. Himpunan bilangan ini disebut himpunan bilangan asli natural numbers. Notasi atau lambang untuk himpunan
bilangan asli adalah ℕ internasional atau Indonesia. Pada modul ini akan
digunakan notasi ℕ sehingga ditulis
ℕ = { , , , , , 6, , , , , , , … }
Sifat tertutup
Apabila kita menjumlahkan atau mengalikan dua bilangan asli, kita mengetahui bahwa hasil operasinya juga merupakan bilangan asli. Hal ini sesuai dengan satu sifat
operasi pada bilangan asli, yaitu sifat tertutup closure property.
8
Sifat tertutup operasi penjumlahan pada ℕ
Misalkan ℕ adalah himpunan bilangan asli, dan adalah sebarang bilangan asli
maka berlaku + merupakan bilangan asli. Fakta ini dapat dikatakan bahwa ℕ
tertutup terhadap operasi penjumlahan closed for addition. Contoh :
Apakah himpunan = { , , , , , 6, , , , } tertutup terhadap operasi
penjumlahan? Solusi:
Himpunan tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan karena terdapat bilangan 5, 7
K dan + = dengan .
Definisi perkalian
Perkalian multiplication dinyatakan sebagai penjumlahan berulang. Untuk ≠ ,
perkalian dinyatakan sebagai berikut: × = + + +
⏟
k
Jika = , maka × = .
Sifat tertutup operasi perkalian pada ℕ
Misalkan ℕ adalah himpunan bilangan asli, dan adalah sebarang bilangan asli
maka juga merupakan bilangan asli. Fakta ini dapat dikatakan bahwa
ℕ tertutup terhadap operasi perkalian closed for multiplication.
Contoh : Apakah himpunan
= { , } tertutup terhadap operasi perkalian? Solusi:
Himpunan tertutup terhadap operasi perkalian karena seluruh hasil perkalian yang mungkin terjadi berada di dalam .
× = × =
× = × =
Modul Pelatihan Matematika SMA
9
Sifat komutatif dan asosiatif
Untuk sebarang bilangan asli , , dan berlaku
Sifat komutatif Pada penjumlahan: + = +
Pada perkalian: = Sifat asosiatif
Pada penjumlahan: + + = + + Pada perkalian:
= Sifat komutatif dapat kita gunakan untuk menyusun urutan bilangan yang akan
dioperasikan. Sedangkan sifat asosiatif dapat kita gunakan untuk mengelompokkan bilangan-bilangan yang akan dioperasikan.
Apakah sifat komutatif juga berlaku untuk operasi pengurangan dan pembagian dua bilangan asli? Jelaskan jawaban Anda.
Sifat distributif
Misalkan , , dan adalah sebarang bilangan asli, maka berlaku
+ =
+ Pada himpunan bilangan asli
ℕ berlaku sifat distributif penjumlahan terhadap perkalian, coba Anda jelaskan.
Definisi pengurangan
Operasi pengurangan didefinisikan dalam bentuk penjumlahan sebagai berikut: − = � b�rar�i = + �
Himpunan ℕ tidak tertutup terhadap operasi pengurangan, cukup ditunjukkan satu
contoh penyangkal, sebagai berikut. Dipilih 2, 3
ℕ dan dibuktikan − ≠ − Menurut definisi pengurangan,
− = , karena = + . Tetapi − ℕ karena
menurut definisi pengurangan, = + � dan tidak terdapat x ℕ sehingga 2=3+x.
Jadi, himpunan ℕ tidak bersifat komutatif terhadap operasi pengurangan.
Kategori