16
Elemen identitas
Terdapat dengan tunggal elemen ℚ sedemikian hingga untuk setiap
ℚ berlaku
+ = + = . Terdapat dengan tunggal elemen
ℚ sedemikian hingga untuk setiap ℚ
berlaku ∙ = ∙ = .
Invers penjumlahan
Untuk setiap ℚ terdapat dengan tunggal elemen −
ℚ sedemikian hingga + −
= − + = , dengan merupakan identitas penjumlahan.
Invers perkalian
Untuk setiap ℚ, dengan ≠ , terdapat dengan tunggal elemen
−
= ℚ sedemikian hingga ∙
−
=
−
∙ = , dengan merupakan identitas perkalian.
4. Bilangan Irrasional
Yoga mempunyai sebidang kebun berbentuk persegi dengan luas 1600 m
2
. Dia merencanakan untuk membuat pagar di sekeliling kebun tersebut. Berapa panjang
pagar yang diperlukan oleh Yoga? Supaya dapat membantu Yoga, kita terlebih dahulu harus mengetahui panjang sisi kebun agar dapat menghitung keliling kebun tersebut.
Misal panjang sisi kebun adalah meter. Berarti Yoga harus menyusun persamaan × = 6 . Dalam hal ini =
karena ×
= 6 atau = 6 . Dengan
demikian Yoga harus membangun pagar sepanjang ×
= 6 meter. Proses menentukan nilai
= ini disebut proses melakukan penarikan akar kuadrat atau
akar pangkat dua dari 1600 dan ditulis sebagai √ 6
= . Bentuk
√ 6 dibaca akar kuadrat dari
00” atau akar pangkat dua dari 00”. Penting untuk dicermati bahwa walaupun
− × −
= 6 , akan tetapi dalam situasi ini panjang sisi tidak mungkin negatif sehingga kita hanya menggunakan nilai
= .
Modul Pelatihan Matematika SMA
17
Secara umum, jika tidak negatif maka
√ adalah suatu bilangan tidak negatif yang hasil kuadratnya sama dengan .
Akar kuadrat dari suatu bilangan nonnegatif adalah suatu bilangan yang jika dikuadratkan hasilnya adalah
. Secara notasi, akar kuadrat positif dari ,
dinayatakan dengan √ , didefinisikan sebagai suatu bilangan sedemikian hingga
√ √ = . Secara umum kita dapat menyimpulkan:
Jika , maka
√ = jika dan hanya jika = dan
.
Jika dan bilangan ganjil, maka √ = jika dan hanya jika = .
Bagaimana dengan situasi mencari penyelesaian = ? Karena kita tidak dapat
mencari bilangan rasional sedemikian hingga = , maka √ disebut bilangan
irrasional. Himpunan bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang representasi desimalnya tidak berhenti nonterminating atau tidak berulang
nonrepeating. Beberapa contoh bilangan irrasional selain √ misalnya
√ , √ , √6, √ , √ , √ . Contoh bilangan irrasional yang lain adalah bilangan � yang merupakan rasio keliling lingkaran terhadap diameternya dan bilangan yang
merupakan bilangan yang digunakan sebagai bilangan dasar dalam pertumbuhan dan peluruhan. Nilai
� sebesar , 6 dan adalah adalah ,
yang diperoleh dengan menggunakan kalkulator hanya berupa nilai pendekatan, bukan
nilai eksak.
Operasi dengan bentuk akar
Beberapa syarat yang perlu dipenuhi dalah menyederhanakan suatu bentuk akar yang merupakan bilangan irasional.
Suatu bentuk akar dapat disederhanakan simplified jika: Bilangan di bawah tanda akar radicand tidak mempunyai faktor dengan
pangkat lebih besar dari Bilangan di bawah tanda akar tidak dituliskan dalam bentuk pecahan atau
menggunakan pangkat negatif Tidak ada notasi akar pada penyebut dari pecahan
18
Aturan bentuk akar
Misal dan adalah bilangan-bilangan positif, maka
a.
√ = c.
√ = √ √
b.
√ = d.
√ =
√ √
5. Bilangan Real
Himpunan bilangan real merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irrasional dan dinotasikan dengan
ℝ.
Representasi desimal
Perhatikan representasi desimal dari sebuah bilangan real. Jika bilangan tersebut adalah bilangan rasional, maka representasi desimalnya adalah berhenti
terminating atau berulang repeating. Contoh:
Gunakan kalkulator untuk menentukan representasi desimal dari bilangan-bilangan rasional berikut.
a.
c.
b.
d. Solusi:
1.
= , merupakan desimal berhenti terminating decimal
2.
= ,666 merupakan desimal berulang repeating decimal,
3.
= , 66 … merupakan desimal berulang repeating decimal
4.
≈ , tampilan layar kalkulator menunjukkan
, Bandingkan hasil perhitungan menggunakan kalkulator dengan menggunakan
pembagian bersusun. Apabila suatu desimal berulang, kita menggunakan tanda bar ̅ ” untuk
menunjukkan banyak angka perulangannya. Sebagai contoh:
Modul Pelatihan Matematika SMA
19
Perulangan satu angka = , 6
̅ Perulangan dua angka
= , ̅̅̅̅; ; = , 6 ̅̅̅̅
Bilangan real yang merupakan bilangan irrasional mempunyai representasi desimal yang tidak berhenti nonterminating dan tidak berulang nonrepeating.
Sebagai contoh: √
= ,
… � =
, …
= ,
… Pada bilangan-bilangan tersebut tidak terdapat pola perulangan sehingga merupakan
bilangan irrasional. Kita mempunyai beberapa cara untuk mengklasifikasikan bilangan real:
Bilangan positif, bilangan negatif, atau nol Bilangan rasional atau bilangan irrasional
Jika representasi desimalnya berhenti, maka merupakan bilangan rasional Jika representasi desimalnya berulang, maka merupakan bilangan rasional
Jika bilangan tersebut tidak mempunyai representasi desimal yang berhenti
atau berulang, maka merupakan bilangan irrasional
Sifat-sifat himpunan bilangan Riil
Misalkan , , ℝ maka berlaku
Penjumlahan Perkalian
Tertutup +
ℝ ℝ
Asosiatif +
+ = + +
= Komutatif
+ = + =
Distributif perkalian
+ =
+
