Rumus Suku Umum Ke-n pada Barisan Geometri Sifat-sifat Suku ke-n pada Barisan Geometri Rumus suku umum ke-n dari barisan geometri itu ditentukan oleh :

98

b. Sifat-sifat S

n pada Deret Geometri Jumlah n suku pertama deret geometri yang dinotasikan S n , mempunyai sifat-sifat khusus, yaitu : 1 S n = − − atau S n = − − merupakan fungsi eksponen dari n yang memuat suku tetapan − atau − 2 Untuk tiap n bilangan asli, berlaku hubungan S n – S n-1 = u n . Contoh : Diberikan suatu deret geometri 6 + + + + . Tentukan jumlah dari delapan suku pertama deret geometri tersebut. Jawab Berdasarkan soal, didapat suku pertama a = 6, rasio r = � � = = sehingga jumlah n suku pertama S = a − n − = − n − = − n = − , ≠ . Jumlah delapan suku pertama adalah S 8 , dengan � = [ − ] − = , sampai 2 angka desimal Coba Anda kerjakan dengan rumus S n = − − dan bandingkan hasilnya Rumus Jumlah n suku pertama suatu deret geometri u 1 + u 2 + u 3 + … + u n ditentukan dengan S n = − � − , atau S n = � − − , untuk r ≠ , dengan n, a, r masing-masing adalah banyaknya data, suku pertama dan rasio Modul Pelatihan Matematika SMA 99 Contoh : Sepotong kawat mempunyai panjang 124 cm. kawat ini dipotong menjadi 5 bagian sehingga panjang potongan-potongannya membentuk barisan geometri dengan panjang potongan kawat yang paling pendek sama dengan 4cm.Tentukan panjang masing-masing potongan kawat yang didapat. Jawab Misalkan panjang potongan-potongan kawat berturut-turut adalah , , , , membentuk barisan geometri dengan suku pertama = dan rasio . Jumlah suku-suku barisan geometri itu membentuk deret geometri dengan jumlah sama dengan panjang kawat. + + + + = panjang kawat − − = − − = − = − − + = Solusi persamaan ini adalah = , maka suku ke-5 adalah = = . = . Dengan cara yang sama didapat u 3 = 16, u 4 = 32 dan u 5 = 64 Jadi, barisan geometri yang didapat adalah 4, 8, 16, 32, 64.

c. Deret Geometri Tak Hingga

Sebelum masuk materi secara konseptual, pengertian tentang deret geometri tak hingga, lebih baik diilustrasikan pada contoh konteks. Perhatikan ilustrasi berikut. Misalkan satu lembar kertas berbentuk persegi. Kemudian kertas tersebut dibagi menjadi dua, kemudian salah satu bagian tadi, dibagi menjadi dua bagian, dan seterusnya. Sebagai visualisasi proses pembagian kertas, sebagai berikut 100 Proses pembagian tersebut dapat diulangi terus menerus sampai tak hingga kali. Pada pembagian pertama didapat ½ bagian, pembagian kedua bagian, yang ketiga bagian, dan seterusnya. Hasil dari pembagian ini, diperoleh hubungan + + + … = 1. Peragaan yang sederhana ini, sebenarnya menjelaskan pengertian jumlah deret geometri tak hingga. Secara teoritis, dijelaskan sebagai berikut. Berdasarkan definisi, deret geometri dapat ditulis u 1 + u 2 + u 3 + … + u n = a + ar + ar 2 + … + ar n-1 . Sedangkan, jumlah n suku pertama dari deret geometri itu ditentukan oleh S n = − − , untuk r1 Sekarang, jika banyaknya suku-suku penjumlahan deret geometri mendekati tak hingga, maka deret geometri semacam ini dinamakan deret geometri tak hingga. Selanjutnya, penulisan suatu deret geometri tak hingga adalah u 1 + u 2 + u 3 + … + u n + … = a + ar + ar 2 + … + ar n-1 + … Jumlah dari deret geometri tak hingga dinotasikan dengan S dan ditulis S = � � ∞ � � Maknanya, S diperoleh dari S n dengan proses limit, untuk n mendekati tak hingga. Selanjutnya, nilai S = lim ∞ � ditentukan dengan menggunakan teorema limit sebagai berikut lim ∞ � = lim ∞ − − lim ∞ � = lim ∞ − − lim ∞ − = − - − lim ∞ Modul Pelatihan Matematika SMA 101 Berdasarkan persamaan terakhir, diketahui bahwa lim ∞ � ditentukan oleh ada atau tidaknya lim ∞ . Selanjutnya, ada dua kemungkinan nilai lim ∞ , yaitu 1. Jika | r | 1 atau -1 r 1 maka lim ∞ = 0. Akibatnya, diperoleh lim ∞ � = − - −  lim ∞ � = − Deret geometri tak hingga semacam ini dikatakan mempunyai limit jumlah atau konvergen. Limit jumlah ini dilambangkan dengan S, sehingga diperoleh S = − . Sedangkan, untuk | r | 1 atau -1 r atau r 1 dapat ditunjukkan bahwa lim ∞ = ±∞ sehingga diperoleh lim ∞ � = − - − . ±∞  � � ∞ � � = ±∞ Deret geometri tak hingga semacam ini dikatakan tidak mempunyai limit jumlah atau divergen. Contoh : Hitunglah limit jumlah pada deret geometri tak hingga berikut 4 – 2 + 1 – + … Definisi Deret geometri tak hingga a + ar + ar 2 + … + ar n-1 + … dikatakan 1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen jika dan hanya jika |r| 1 dan limit jumlah ditentukan oleh S = − 2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen jika dan hanya jika |r| 1.