Mempunyai limit jumlah atau konvergen jika dan hanya jika |r| 1 dan limit jumlah ditentukan oleh Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen jika dan hanya jika |r| 1.
Modul Pelatihan Matematika SMA
107
Barisan bederajat tiga Bentuk umum suku ke-n adalah u
n
= a n
3
+ b n
2
+ cn + d, dengan a, b, c, d bilangan riil. Proses :
i a+b+c+d 8a+4b+2c+d 27a+9b+3c+d 64a+16b+4c+d ii
7a+3b+c 19a+5b+c
37a+7b+c iii
iv 12a+2b
18a+2b v
6a 6a
Untuk menentukan rumus umum suku ke-n, u
n
dari barisan bilangan 2, 5, 18, 45, 90, … dilakukan dengan membuat proses pengurangan, berikut
i 2 5
18 45
90 ii 3 13
27 45
iii 10
14 18 iv 4 4
Dengan mengamati kedua proses pengurangan, dari iv didapat 6a = 4 sehngga sehingga a = .
Substitusikan a = pada u
1
iii berlaku 10 = 12a + 2b sehingga b = 1.
Substitusi a = dan b=1 pada u
1
ii, didapat 1. = 7a + 3b + c, sehingga c= - .
Substitusi a = , b=1, c= - pada u
1
i, didapat d=5. Jadi, didapat rumus umum suku ke-n adalah
U
n
= n
3
+ n
2
– n + 5 = 4 n
3
+ 3 n
2
– 14 n + 15
108
b. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Geometri Pada barisan yang dibentuk dari barisan geometri relatif panjang prosesnya. Artinya,
pada beberapa tingkat proses pengurangan belum diperoleh bentuk dengan selisih tetap, tetapi pada tingkat pengurangan tertentu selanjutnya, baru terbentuk selisih
tetap. Memang, kita disuruh lebih sabar dalam menemukan barisan yang satu ini. Sebagai contoh dalam pembahasan ini, diberikan suatu barisan yang akan
dicari barisan baru yang diperoleh dengan melakukan pengurangan beberapa kali. Diberikan barisan , 2, 5, 2, 2 , 5 , 2 , …
1 2
5 12
27 58 121
1 3
7 15 31
63 2
4 8
16 32
2 4
8 16
2 4
8 Berdasarkan pengamatan pada proses pengurangan bahwa barisan ini mulai nampak
berpola keteraturan pada tingkat dua. Pada hasil pengurangan tingkat dua, terbentuk 2, 4, 8, 16 dan dikenal suatu barisan yang memuat unsur 2
n
dan ditambah suatu konstanta.
Maka barisan yang memiliki sifat seperti ini, secara umum dirumuskan dengan
u
n
= 2
n
+ k n, untuk n bilangan asli.
Untuk menentukan k, disubstitusikan n=1, diperoleh u
1
= 2
1
+ k .1 1 = 2 + k k = -1.
Jadi, rumus suku ke-n adalah u
n
= 2
n
-1. Contoh :
Tentukan rumus suku ke-n dari barisan berikut 5, 10, 17, 28, 47, 82, 149
Modul Pelatihan Matematika SMA
109
Jawab 5
10 17
28 47
82 149
5 7 11 19 35 67
2 4
8 16 32
2 4 8 16
2 4
8
Sebagaimana contoh 1, diperoleh keteraturan dan memuat unsur 2
n
sehingga rumus umumnya adalah u
n
= 2
n
+ kn. Untuk menentukan nilai k, substitusikan untuk n=1, didapat
5 = u
1
= 2
1
+ k 1 5 = 2 + k k = 3.
Jadi, rumus umum suku ke-n, u
n
= 2
n
+ 3n.