Saran Penggunaan Modul Gabung rekon SMA kk A

Modul Pelatihan Matematika SMA 11 Karena pembagian didefinisikan dalam bentuk perkalian, aturan-aturan pembagian bilangan bulat identik dengan aturan-aturan perkalian bilangan bulat. Hal yang perlu diperhatikan adalah pada pembagian ÷ , syarat ≠ harus dipenuhi karena pembagian dengan tidak didefinisikan. Mengapa? Perhatikan dua situasi berikut.  Pembagian bilangan bukan dengan . ÷ a�a� = � Apa artinya? Apakah terdapat suatu bilangan � yang menyebabkan ÷ menjadi bermakna? Menurut definisi pembagian, bilangan � seharusnya adalah bilangan yang menyebabkan = ∙ �. Akan tetapi ∙ � = untuk setiap �. Karena diketahui ≠ , maka situasi tersebut menjadi tidak mungkin. Dengan demikian ÷ tidak ada atau tidak didefinisikan.  Pembagian dengan . ÷ = � Apa artinya? Apakah terdapat suatu bilangan � yang menyebabkan ÷ menjadi bermakna? Menurut definisi pembagian, jelas bahwa setiap nilai � dapat memenuhi karena ∙ � = untuk setiap �. Akan tetapi hal ini akan mengakibatkan terjadi keabsurdan. Perhatikan contoh berikut: Jika = maka ∙ = dan jika = maka ∙ = . Karena perkalian masing-masing dengan dan menghasilkan bilangan yang sama, yaitu , maka dapat kita simpulkan bahwa = . Hal ini jelas salah sehingga ÷ dinyatakan sebagai tidak tentu indeterminate. Himpunan ℤ tidak tertutup terhadap operasi pembagian. Untuk membuktikan, pilih 4, 5  ℤ dan ÷ = , dengan ℤ. Sifat tertutup operasi penjumlahan bilangan bulat Untuk , ℤ, maka + ℤ. Sifat tertutup operasi perkalian bilangan bulat Untuk , ℤ, maka ∙ ℤ. 12 Sifat asosiatif bilangan bulat Untuk , , ℤ berlaku  + + = + + .  ∙ ∙ = ∙ ∙ . Sifat komutatif bilangan bulat Untuk , ℤ berlaku  + = + .  ∙ = ∙ . Sifat distributif bilangan bulat Untuk , , ℤ berlaku  ∙ + = ∙ + ∙ . Elemen identitas  Terdapat dengan tunggal elemen ℤ sedemikian hingga untuk setiap ℤ berlaku + = + = .  Terdapat dengan tunggal elemen ℤ sedemikian hingga untuk setiap ℤ berlaku ∙ = ∙ = . Invers penjumlahan Untuk setiap ℤ terdapat dengan tunggal elemen − ℤ sedemikian hingga + − = − + = , dengan merupakan identitas penjumlahan. Aturan kanselasi penjumlahan Jika + � = + maka � = . Bukti: Akan dibuktikan bahwa + � = + maka � = . + � = + Hipo��sis − + + � = − + + K�d�a r�as di�ambah − − + + � = − + + M�ngapa? + � = + M�ngapa? � = M�ngapa? Modul Pelatihan Matematika SMA 13 Aturan kanselasi perkalian Jika ≠ dan ∙ � = ∙ maka � = Coba Anda buktikan aturan kanselasi perkalian.

3. Bilangan Rasional

Kebutuhan manusia yang semakin berkembang, khususnya terkait dengan keakuratan dalam perhitungan dan pengukuran menyebabkan perlunya perluasan sistem himpunan bilangan bulat ℤ. Untuk keperluan ini, dibentuk sistem bilangan baru yang disebut himpunan bilangan rasional. Himpunan bilangan rasional, dinotasikan dengan ℚ, adalah himpunan semua bilangan dalam bentuk dengan dan adalah bilangan bulat dan ≠ . Perhatikan bahwa bilangan rasional berbentuk pecahan. Pada aritmetika jika suatu bilangan dituliskan dalam bentuk berarti ÷ , dengan dinamakan pembilang numerator dan dinamakan penyebut denominator. Apabila dan keduanya bilangan bulat, maka dinamakan sebagai:  pecahan biasa proper fraction jika  pecahan tak biasa improper fraction jika  bilangan cacah whole numbers jika membagi habis Untuk setiap bilangan rasional yang tidak sama dengan , terdapat suatu invers perkalian sedemikian hingga ∙ = . Perhatikan bahwa ∙ = . Bentuk sering dinamakan sebagai kebalikan reciprocal dari . Sifat dasar pecahan Sifat dasar pecahan fundamental property of fractions adalah : Jika adalah sebarang bilangan rasional dan � adalah sebarang bilangan bulat yang tidak sama dengan , maka berlaku ∙ � ∙ � = � ∙ � ∙ =