Modul Pelatihan Matematika SMA
19
Perulangan satu angka = , 6
̅ Perulangan dua angka
= , ̅̅̅̅; ; = , 6 ̅̅̅̅
Bilangan real yang merupakan bilangan irrasional mempunyai representasi desimal yang tidak berhenti nonterminating dan tidak berulang nonrepeating.
Sebagai contoh: √
= ,
… � =
, …
= ,
… Pada bilangan-bilangan tersebut tidak terdapat pola perulangan sehingga merupakan
bilangan irrasional. Kita mempunyai beberapa cara untuk mengklasifikasikan bilangan real:
Bilangan positif, bilangan negatif, atau nol Bilangan rasional atau bilangan irrasional
Jika representasi desimalnya berhenti, maka merupakan bilangan rasional Jika representasi desimalnya berulang, maka merupakan bilangan rasional
Jika bilangan tersebut tidak mempunyai representasi desimal yang berhenti
atau berulang, maka merupakan bilangan irrasional
Sifat-sifat himpunan bilangan Riil
Misalkan , , ℝ maka berlaku
Penjumlahan Perkalian
Tertutup +
ℝ ℝ
Asosiatif +
+ = + +
= Komutatif
+ = + =
Distributif perkalian
+ =
+
20
terhadap penjumlahan
Elemen identitas pada penjumlahan
Terdapat ℝ sehingga untuk setiap
ℝ berlaku + = + = Bilangan tersebut dinamakan elemen identitas pada penjumlahan identity for
addition.
Elemen identitas pada perkalian
Terdapat bilangan ℝ sehingga untuk setiap
ℝ berlaku × = × =
Bilangan tersebut dinamakan elemen identitas pada perkalian identity for
multiplication.
Sifat invers pada penjumlahan
Untuk setiap bilangan ℝ, terdapat dengan tunggal bilangan −
ℝ, dinamakan lawan atau invers penjumlahan additive inverse dari , sehingga
+ − = − + = Hasil perkalian suatu bilangan real dengan kebalikannya reciprocal adalah , yang
merupakan elemen identitas pada perkalian. Kebalikan suatu bilangan merupakan invers perkalian dari bilangan tersebut.
Perhatikan contoh berikut. × = ×
= Kita akan mencari bilangan yang jika dikalikan dengan hasilnya .
× =
× =
Karena ℝ, maka merupakan invers dari pada perkalian.
Sifat invers pada perkalian
Untuk setiap bilangan ℝ, dengan ≠ , terdapat dengan tunggal bilangan
−
ℝ, dinamakan kebalikan reciprocal atau invers perkalian dari , sehingga
Modul Pelatihan Matematika SMA
21
×
−
=
−
× =
6. Contoh Pembuktian Terkait Sistem Bilangan
Pada bagian ini akan diberikan beberapa uraian contoh pembuktian terkait sistem bilangan.
1
Buktikan bahwa hasil penjumlahan dua bilangan bulat genap merupakan bilangan bulat genap.
Bukti: Dibuktikan dengan metode pembuktian langsung.
Misalkan dan merupakan sebarang bilangan bulat genap. Akan dibuktikan
bahwa + merupakan bilangan bulat genap. Menurut definisi bilangan genap,
= dan = untuk dan sebarang anggota bilangan bulat. Maka
+ =
+ =
+ Misalkan
= + . Perhatikan bahwa jelas merupakan bilangan bulat karena adalah hasil penjumlahan bilangan-bilangan bulat. Sehingga bentuk
+ dapat dituliskan sebagai
+ = , dengan merupakan bilangan bulat. Karena + = , maka sesuai dengan definisi bilangan genap hasil penjumlahan +
juga bilangan genap. Dengan demikian terbukti bahwa hasil penjumlahan dua bilangan bulat genap merupakan bilangan bulat genap.
2
Buktikan bahwa hasil perkalian dua bilangan bulat ganjil juga merupakan bilangan bulat ganjil.
Coba Anda buktikan, sebagai acuan bahwa m suatu bilangan ganjil jika m = 2n, untuk suatu n bilangan bulat.
3
Buktikan bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional merupakan bilangan irrasional.
Bukti: Dibuktikan dengan metode kontradiksi.
22
Andaikan hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional bukan merupakan bilangan irrasional. Dengan kata lain, hasil penjumlahannya
merupakan bilangan rasional. Misalkan terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional sedemikian
hingga + merupakan bilangan rasional. Menurut definisi bilangan rasional,
= dan = , untuk suatu bilangan bulat , , , dan , dengan ≠ dan ≠ . Menggunakan substitusi diperoleh
+ = Sehingga
= −
= −
Perhatikan bahwa bentuk −
dan , keduanya merupakan bilangan bulat.
Mengapa, jelaskan pendapat Anda. Akibatnya merupakan hasil pembagian dua bilangan bulat,
− dan
, dengan
≠ . Sehingga menurut definisi bilangan rasional, merupakan bilangan rasional. Hal ini menyebabkan kontradiksi dengan pemisalan awal
bahwa merupakan bilangan irrasional. Pengandaian salah. Dengan demikian terbukti bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional
merupakan bilangan irrasional.
D. Aktivitas Belajar
Kegiatan 1.
1.
Suatu bilangan dilambangkan dengan sedangkan lawannya dilambangkan dengan . Jika
, manakah di antara dan yang merupakan bilangan positif dan manakah di antara dan yang merupakan bilangan negatif?
2.
Pak Aan tahu bahwa jumlah dari dua bilangan rasional selalu merupakan bilangan rasional. Selanjutnya dia menyimpulkan bahwa jumlah dari dua
