22
Andaikan hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional bukan merupakan bilangan irrasional. Dengan kata lain, hasil penjumlahannya
merupakan bilangan rasional. Misalkan terdapat bilangan rasional dan bilangan irrasional sedemikian
hingga + merupakan bilangan rasional. Menurut definisi bilangan rasional,
= dan = , untuk suatu bilangan bulat , , , dan , dengan ≠ dan ≠ . Menggunakan substitusi diperoleh
+ = Sehingga
= −
= −
Perhatikan bahwa bentuk −
dan , keduanya merupakan bilangan bulat.
Mengapa, jelaskan pendapat Anda. Akibatnya merupakan hasil pembagian dua bilangan bulat,
− dan
, dengan
≠ . Sehingga menurut definisi bilangan rasional, merupakan bilangan rasional. Hal ini menyebabkan kontradiksi dengan pemisalan awal
bahwa merupakan bilangan irrasional. Pengandaian salah. Dengan demikian terbukti bahwa hasil penjumlahan bilangan rasional dan bilangan irrasional
merupakan bilangan irrasional.
D. Aktivitas Belajar
Kegiatan 1.
1.
Suatu bilangan dilambangkan dengan sedangkan lawannya dilambangkan dengan . Jika
, manakah di antara dan yang merupakan bilangan positif dan manakah di antara dan yang merupakan bilangan negatif?
2.
Pak Aan tahu bahwa jumlah dari dua bilangan rasional selalu merupakan bilangan rasional. Selanjutnya dia menyimpulkan bahwa jumlah dari dua
Modul Pelatihan Matematika SMA
23
bilangan irrasional juga selalu merupakan bilangan irrasional. Berikan beberapa contoh yang menunjukkan bahwa kesimpulan Pak Aan salah.
3.
Bu Ira berpendapat bahwa √ adalah bilangan irrasional karena merupakan
rasio dari √ yang merupakan bilangan irrasional dan √ yang juga
merupakan bilangan irrasional. Apakah pendapat Bu Ira dapat dibenarkan? Berikan alasannya.
4.
Apakah 0 merupakan bilangan rasional? Dapatkah Anda menuliskannya dalam bentuk , dengan dan adalah bilangan bulat dan
≠ ? Jelaskan alasannya.
5.
Nyatakan apakah pernyataan berikut benar atau salah. Berikan alasannya.
a.
Setiap bilangan rasional merupakan bilangan cacah.
b.
Setiap bilangan cacah merupakan bilangan rasional. Diskusikan permasalahan tersebut dan presentasikan hasil kerja Anda.
Kegiatan 2.
1.
Tunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional ℚ bersifat tertutup terhadap
operasi pengurangan.
2.
Tunjukkan bahwa himpunan bilangan rasional Q bersifat tertutup terhadap operasi pembagian dengan bilangan bulat bukan .
3.
Jelaskan apakah himpunan bilangan bulat ℤ bersifat tertutup terhadap operasi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian dengan bilangan bulat bukan .
4.
Diberikan himpunan { , , , } dan operasi ⋆ yang didefinisikan sebagai
⋆ = . Buatlah sebuah tabel perkalian yang menunjukkan seluruh hasil yang
mungkin dari operasi bilangan-bilangan pada himpunan tersebut. Diskusikan permasalahan tersebut dan presentasikan hasil kerja Anda.
E. LatihanKasusTugas
1.
Tentukan
a.
Enam bilangan rasional di antara dan .
b.
Lima bilangan rasional di antara dan .
24
2.
Tunjukkan bahwa ,
6 merupakan bilangan rasional.
3.
Tunjukkan bahwa bilangan-bilangan berikut dapat dinyatakan dalam bentuk dengan dan merupakan bilangan bulat dan
≠ .
a.
, …
b.
, …
c.
, …
4.
Tuliskan sebuah bilangan irrasional di antara dan .
5.
Buktikan bahwa √ merupakan bilangan irrasional.
F. Rangkuman
Himpunan bilangan asli counting numbers atau natural numbers digunakan untuk mencacah atau membilang banyak objek. Notasi atau lambang untuk himpunan
bilangan asli menurut standar internasional adalah ℕ atau untuk notasi umum di
Indonesia adalah . Dengan demikian ℕ = { , , , , , 6, … }
Himpunan bilangan asli yang diperluas dengan menambah bilangan dinamakan himpunan bilangan cacah whole numbers, dinotasikan dengan
�. Dengan demikian � = { , , , , , , 6, , , … }.
Jika lawan dari semua bilangan asli ditambahkan ke dalam himpunan bilangan cacah �, maka akan diperoleh himpunan bilangan bulat integers, dan dinotasikan dengan
ℤ berasal dari bahasa Jerman
Zahlen ” . Dengan demikian ℤ =
{… , − , − , − , − , , , , , , … }. Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk
perbandingan dua bilangan bulat, , dengan bilangan bulat disebut sebagai pembilang dan bilangan bulat
≠ disebut sebagai penyebut. Himpunan bilangan irrasional adalah himpunan bilangan yang representasi
desimalnya tidak berhenti nonterminating atau tidak berulang nonrepeating. Himpunan bilangan real
ℝ merupakan gabungan himpunan bilangan rasional ℚ dan himpunan bilangan irrasional.
