Suku Tengah pada Barisan Geometri

Modul Pelatihan Matematika SMA 101 Berdasarkan persamaan terakhir, diketahui bahwa lim ∞ � ditentukan oleh ada atau tidaknya lim ∞ . Selanjutnya, ada dua kemungkinan nilai lim ∞ , yaitu 1. Jika | r | 1 atau -1 r 1 maka lim ∞ = 0. Akibatnya, diperoleh lim ∞ � = − - −  lim ∞ � = − Deret geometri tak hingga semacam ini dikatakan mempunyai limit jumlah atau konvergen. Limit jumlah ini dilambangkan dengan S, sehingga diperoleh S = − . Sedangkan, untuk | r | 1 atau -1 r atau r 1 dapat ditunjukkan bahwa lim ∞ = ±∞ sehingga diperoleh lim ∞ � = − - − . ±∞  � � ∞ � � = ±∞ Deret geometri tak hingga semacam ini dikatakan tidak mempunyai limit jumlah atau divergen. Contoh : Hitunglah limit jumlah pada deret geometri tak hingga berikut 4 – 2 + 1 – + … Definisi Deret geometri tak hingga a + ar + ar 2 + … + ar n-1 + … dikatakan 1. Mempunyai limit jumlah atau konvergen jika dan hanya jika |r| 1 dan limit jumlah ditentukan oleh S = − 2. Tidak mempunyai limit jumlah atau divergen jika dan hanya jika |r| 1. 102 Jawab Menurut soal, didapat deret geometri tak hingga dengan a = 4, r = - ½ |r|1 sehingga deret konvergen dan memiliki limit jumlah. Dengan menggunakan rumus jumlah deret tak hingga diperoleh S = − = + = 4 . = 2 Contoh : Diberikan deret geometri tak hingga 2 + 3 + + + Selidikilah apakah memiliki limit jumlah dan beri alasannya. Jawab Berdasarkan, didapat deret geometri tak hingga dengan a = 2, r = = 1½ sehingga |r| 1. Karena |r| 1 maka lim ∞ � = ∞ sehingga tidak memiliki limit jumlah. Contoh : Jumlah suatu deret geometri tak hingga adalah 4 + 2 √ sedangkan rasionya adalah ½ √ . Tentukan suku pertama deret tersebut Jawab Diketahui bahwa limit jumlah S = 4 + 2 2 dan r = ½ √ , |r| 1 sehingga menurut rumus limit jumlah diperoleh S = = − 4 + 2√ = − √ a = 4 + 2 √ 1- ½ √ = 4 - 2√ + 2√ – 2 a = 2. Jadi, suku pertama dari deret geometri tak hingga adalah 2. Modul Pelatihan Matematika SMA 103 Contoh : Sebuah bola dijatuhkan ke lantai dari suatu tempat yang tingginya 5 m. setiap kali bola itu memantul akan mencapai yang dicapai sebelumnya. Hitunglah panjang lintasan yang dilalui bola itu sampai berhenti Jawab Panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti adalah 5+ . 5 + . 5 + 2 5+ 2 5+ ... 51 + 2 + 2 + 3 + ... 51 + 2 Bentuk pada adalah deret geometri tak hingga dengan a= , r= sehingga S = − = − = = . Panjang lintasan bola sampai berhenti = 51 + 2 . 2 =25.

3. Barisan Selain Barisan Aritmetika dan Geometri

Banyak diantara siswa bahkan sebagian guru matematika yang menganggap bahwa barisan itu hanya barisan aritmetika dan geometri. Kalau siswa mungkin wajar karena materi barisan yang dibahas hanya barisan aritmatika dan geometri. Tetapi kalau guru, sebenarnya kurang layak. Untuk menambah wawasan tentang barisan, berikut akan dibahas beberapa barisan yang bukan barisan aritmetika dan bukan barisan geometri. Pada barisan aritmetika selisih setiap dua suku yang berturutan adalah tetap, sedangkan pada barisan geometri perbandingan sua suku yang berturutan juga tetap. Artinya, pada pengurangan pertama, untuk barisan aritmetika dan pembagian pertama pada barisan geometri, sudah nampak jelas hasilnya. Tetapi berbeda pada barisan ini, setelah proses pengurangan yang pertama, belum menghasilkan konstanta yang tetap, tetapi setelah pengurangan kedua, atau ketiga, dan seterusnya baru muncul konstanta yang tetap. Sebagai contoh, barisan , , 2, , 2 , , … Bisa dilihat selisih dua suku yang berurutan masing- masing adalah , 5, , , , … dan bukan konstanta tetap tetapi sudah membentuk pola bilangan. Kalau dilanjutkan , didapat selisih setiap dua unsur 104 berurutan adalah tetap, yaitu 2. Permasalahan yang muncul, sampai berapa tingkat, proses yang menghasilkan selisih yang tetap.

a. Barisan Bertingkat dengan Landasan Barisan Aritmetika

Salah ciri khusus barisan aritmetika terletak pada selisih dua suku yang berurutan. Pada barisan aritmetika, hasil pengurangan dua suku yang berurutan pada tahap pertama sudah diperoleh konstanta tetap. Pada barisan berikut, pengurangan dua suku yang berurutan belum tetap. Sifat ini digunakan untuk membentuk barisan baru. Caranya adalah menentukan selisih dari setiap dua suku yang berturutan, kemudian hasilnya dibentuk barisan. Apabila pada pengurangan pertama belum terbentuk keteraturan pola maka dilakukan proses yang sama pada barisan yang didapat. Langkah ini dilanjutkan sampai diperoleh selisih dua suku yang berturutan adalah tetap. Barisan baru ini bergantung pada berapa tingkat tahap, derajat proses pengurangannya yang menghasil selisih tetap sehingga namanya dikaitkan dengan tahap derajatnya. Bentuk umum dari barisan-barisan ini merupakan fungsi dalam variabel n, dengan bilangan asli dan a, b, c, d bilangan riil, yaitu  fn = a n + b, barisan berderajat pertama, aritmetika  fn = a n 2 + b n + c, barisan berderajat kedua  fn = a n 3 + b n 2 + c n + d, barisan berderajat ketiga, dan seterusnya. Definisi  Suatu barisan u 1 , u 2, u 3 , …, u n dinamakan Barisan berderajat satu jika selisih tetap yang diperoleh dalam satu tingkat pengurangan barisan aritmetika.  Suatu barisan u 1 , u 2, u 3 , …, u n dinamakan Barisan berderajat dua jika selisih tetap yang diperoleh dalam dua tingkat pengurangan.  Suatu barisan u 1 , u 2, u 3 , …, u n dinamakan Barisan berderajat tiga jika selisih tetap yang diperoleh dalam tiga tingkat pengurangan.